Cours Probas-discrètes

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Extrait

UE 4.12
PROBABILITES DISCRETES
V. RIES
10 decembre 2009Chapitre 1
Probabilite sur un ensemble ni
1.1 Modelisation d’une experience aleatoire
Il n’est pas necessaire d’ˆetre mathematicien pour pouvoir a rmer qu’ il risque
fort de geler cette nuit ou encore qu’il y a peu de chances que le ticket de loto que je
viens de valider me rende millionnaire. Mais pourprecisercesrisques ou ces chances,
c’est-a-dire pour faire du “calcul des probabilites”, il faudra, au prealable, modeliser
l’experience aleatoire en termes mathematiques. Precisement, il va s’agir :
– dechoisir,parmiles“choses”susceptiblesdeserealiserlorsdecetteexperience,
celles auxquelles on s’interesse : on les appelleraevenements aleatoires;
– d’associer, a chacun de ces evenements aleatoires, la probabilite qu’il se realise
quandone ectueral’experience.Cettedeuxiemeetapeconsisteenfaitade nir
une application de l’ensemble des evenements aleatoires dans R. Cette appli-
cation sera naturellement nommee probabilite et notee P dans ce cours : si
E est le nom d’un evenement aleatoire, P(E) est le nombre “probabilite de
l’evenement aleatoire E ”.
1.1.1 Evenements, univers, resultats possibles
Lors de la modelisation d’une experience aleatoire, on ne quali era peut-ˆetre pas
d’evenementaleatoiretoutcequiestsusceptibledeserealiserlorsdecetteexperience.
Parexemple,sil’experienceconsistealancerundeordinaire, voir le de rebondir trois
fois avant de s’immobiliser fait partie des choses possibles mais ne presente aucun
interˆet pour la plupart des jeux.
Si on ne s’interesse qu’au nombre de points que montrera la face superieure du de
apres s’ˆetre immobilise, il est possible d’observer au plus trois points, de n’observer
qu’un seul point, d’observer un nombre pair de points, etc... Chacune de ces “choses
1possibles” sera donc un evenement aleatoire . Mais dresser une liste exhaustive des
evenements est loin d’ˆetre facile, mˆeme pour une experience aleatoire aussi simple.
Il existe, dans l’ensemble des evenements, une relation d’ordre (partiel) qu’on
pourrait nommer “implication” : si on observe un nombre impair de points, alors on
observe au plus cinq points; si le nombre de points observes est divisible par trois,
1 bien que le terme d’evenement puisse sembler bien emphatique pour une experience aussi futile
2alors il n’est ni 4 ni 5; s’il est exactement 5, il est superieur a 3 etc... Lesevenements
le nombre de points obtenus est 1, ..., le nombre de points obtenus est 6 sont mini-
maux pour cette relation d’ordre : on dit que ces evenements sontelementaires.
Cette relation d’ordre rappelle evidemment la relation d’inclusion dans l’en-
semble des parties non vides d’un ensemble, relation pour laquelle les ensembles
minimaux sont les singletons. L’idee vient alors naturellement de representer chaque
evenement aleatoire par une partie d’un ensemble , appele univers, dont les sin-
gletons representent les evenements elementaires. Ainsi, si
= {1,2,3,4,5,6}, on
observe au plus trois points se represente par{1,2,3}, on n’observe qu’un seul point
se represente par{1} et on n’observe un nombre pair de points par{2,4,6}.
Pour simpli er, les evenements aleatoires seront tout bonnement identi es aux
sous-ensembles de
; l’ensemble desevenements aleatoires est alorsP( ) (ce qui fait
curieusement de
et de∅ deux evenements aleatoires qu’on nomme respectivement
evenement certain et evenement impossible). Chacun des elements de
est
2appele un resultat possible de l’experience. L’univers
est ainsi l’ensemble des
resultatspossibles;ilfaudraveilleranepasconfondreleselementsde
(lesresultats
possibles ω) avec les singletons deP( ) (les evenements elementaires {ω}) qui sont
de nature mathematique totalement di erente.
L’experience se conclut donc par l’obtention d’un (et un seul) des resultats pos-
sibles et on dit qu’un evenement aleatoire E se realise si le resultat de l’experience
appartient a E. Notons que, a l’issue de l’experience, plusieursevenements aleatoires
(mais un seul evenement elementaire) se seront realises.
L’exemplesimplistedulancerd’undepourraitlaissercroirequ’ atouteexperience
aleatoire est automatiquement associe un unique univers mais ce n’est evidemment
pas le cas : pour modeliser le tirage au hasard dans un jeu de trente-deux cartes de
huit cartes qu’on pourra reordonner a sa guise quand on les aura toutes en main,
l’univers naturel est l’ensemble des arrangements possibles de huit cartes puisque les
cartes sont tirees l’une apres l’autre. Mais on peut lui preferer celui (plus petit et
plus simple) des combinaisons de huit cartes puisque l’ordre dans lequel les cartes
auront ete tirees ne joue souvent aucun role.ˆ
De fa con generale, tout ensemble de resultats possibles d’une experience aleatoire
constitue un univers coherent a condition que, a l’issue de l’experience, un et un seul
de ces resultats ait pu se produire : pour decrire le lancer d’un de,{1,3,5,pair} est
un univers coherent contrairement a{1,2,3,pair}. Mais il ne su t pas qu’un univers

soit coherent : il faut en outre que chaqueevenement aleatoire puisseˆetre identi e
a une partie de . Pour le lancer d’un de par exemple, {1,3,5,pair} ne peut servir
d’univers si observer au plus trois points doit faire partie de la liste des evenements.
On verra dans la suite l’interˆet de pouvoir utiliser simultanement plusieurs uni-
vers pour decrire la mˆeme experience aleatoire.
Remarquons en n que, quel que soit l’univers choisi, la formulation “en fran cais”
2ou, plus brievement, un possible ou une eventualite ou encore, plus simplement, un cas
3d’un evenement aleatoire est simplement une propriete caracteristique de l’ensemble
auquel on a identi e cet evenement. Par exemple, l’assertion on observe un nombre
pair de points (sous-entendu : quand le resultat de l’experience est ω) est la valeur
en ω de la propriete ˆetre pair qui caracterise la partie{2, 4, 6} de .
1.1.2 Operations dans l’ensemble des evenements
Avoir choisi d’identi er les evenements aleatoires aux parties de
permettra
d’utiliser tous les outils mathematiques de la theorie elementaire des ensembles, et
cen particulier les operations dans P( ) : ∪,∩, etc... Ainsi, pour le lancer d’un de,
si F = le nombre de points obtenus est 6, G = le nombre de points obtenus est pair
c cet H = lee de points est inferieur a 4, F ∪ (G ∩H ) est un autre
evenement aleatoire K.
c cQuand il est noteF∪(G ∩H ), la signi cation concrete de l’evenement aleatoire
K n’est pas evidente, contrairement a sa formulation en termes de proprietes ca-
racteristiques et de connecteurs logiques associes aux operations dans P( ) : le
nombre de points obtenus est 6 ou il n’est ni pair ni inferieur a 4 (c’est-a-dire clai-
rement le nombre de points obtenus est 5 ou 6).
L’utilisation en probabilite d’expressions de la logique elementaire ne se limite
cpas aux connecteurs : l’evenement aleatoire A est appele contraire de l’evenement
A et on quali e d’ incompatibles, plutˆot que disjoints, deux evenements aleatoires
dont les proprietes caracteristiques sont incompatibles, c’est- a-dire deux parties de

dont l’intersection est vide.
Lanotiond’incompatibilitejoueunrˆolefondamentalenprobabilite,enparticulier
quand on doit reunir des evenements, et on utilise le symbole ] de preference a ∪
pour signi er que les deux evts aleatoires qu’on reunit sont incompatibles.
Notons que troisevenements aleatoires peuvent avoir une intersection vide sans pour
autant ˆetre incompatibles deux a deux : on n’ecrit
]
Bk
k∈K
que si les evenements aleatoires B sont incompatibles deux a deux. Mˆeme si cek
n’est pas mentionne explicitement, l’utilisation du symbole ] sous-entend que les
evenements qu’on reunit sont (deux a deux) incompatibles.
Par de nition, des evenements aleatoires qui constituent une partition de

sont incompatibles deux a deux. Une telle famille d’evenements aleatoires est ap-
pelee systeme complet (d’evenements). Des qu’on dispose d’un systeme com-
plet{B } , toutevenement aleatoire A peut s’ecrire comme reunion d’evenementsk k∈K
aleatoires incompatibles deux a deux :
]
A = (A∩B ) (1.1)k
k∈K
Leplus“ n”dessystemescompletsestl’ensembledesevenementselementaires.Pour
ce systeme, l’equation (1.1) s’ecrit
] ]
A = (A∩{ω}) = {ω} (1.2)
ω∈
ω∈A
41.1.3 L’application probabilite
Que la matiere qui constitue le de avec lequel on va jouer soit ou non homogene
ne change rien au choix de l’univers
par lequel on modelisera le lancer de ce de
mais l’application-probabilite dependra evidemment de cette (in)homogeneite : plu-
3sieurs applications-probabilite di erentes pourront donc ˆetre de nies sur un mˆeme
ensembleP( ) d’evenements aleatoires.
Mais une application quelconque P de P( ) dans R ne sera pas forcement une
application-probabilite : mˆeme si le de avec lequel on joue est truque, le bon sens
exige que le nombreP(on obtient exactement 6 points) soit de toutes fa cons inferieur
ou egal au nombreP(le nombre de points obtenus est pair).
Comme l’indique le titre du chapitre, on s’y limitera aux experiences aleatoires
modelisables a l’aide d’un univers
ni. Dans cette situation, on connait au moins
une application deP( ) dans R : celle qui, a toute partie E de , associe le nombre
des elements qui constituent E. Cette application, souvent notee Card, possede une
propriete remarqua