Le problème de l agrégation : un essai de synthèse - article ; n°1 ; vol.23, pg 20-53
35 pages
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Description

Revue économique - Année 1972 - Volume 23 - Numéro 1 - Pages 20-53
In this paper, we give a general formulation of the aggregation problem, which includes both the aggregation of weak orderings (Arrow aggregation), and that of functional relationships, whether probabilistic or not (econometric problem of aggregation).
The general impossibility of perfect aggregation induces us to define approximate aggregation. Of course, the estimation problems must be taken into account in practical cases : the model (detailed or simplified) to be used depends on the relative independance of the behaviors one seeks to aggregate.
In this paper, we give a general formulation of the aggregation problem, which includes both the aggregation of weak orderings (Arrow aggregation), and that of functional relationships, whether probabilistic or not (econometric problem of aggregation).
The general impossibility of perfect aggregation induces us to define approximate aggregation. Of course, the estimation problems must be taken into account in practical cases : the model (detailed or simplified) to be used depends on the relative independance of the behaviors one seeks to aggregate.
34 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié par
Publié le 01 janvier 1972
Nombre de lectures 36
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Extrait

Monsieur Vivien Levy-Garboua
Monsieur François-Bernard
Denizot
Le problème de l'agrégation : un essai de synthèse
In: Revue économique. Volume 23, n°1, 1972. pp. 20-53.
Résumé
In this paper, we give a general formulation of the aggregation problem, which includes both the aggregation of weak orderings
(Arrow aggregation), and that of functional relationships, whether probabilistic or not (econometric problem of aggregation).
The general impossibility of perfect aggregation induces us to define approximate aggregation. Of course, the estimation
problems must be taken into account in practical cases : the model (detailed or simplified) to be used depends on the relative
independance of the behaviors one seeks to aggregate.
Abstract
In this paper, we give a general formulation of the aggregation problem, which includes both the aggregation of weak orderings
(Arrow aggregation), and that of functional relationships, whether probabilistic or not (econometric problem of aggregation).
The general impossibility of perfect aggregation induces us to define approximate aggregation. Of course, the estimation
problems must be taken into account in practical cases : the model (detailed or simplified) to be used depends on the relative
independance of the behaviors one seeks to aggregate.
Citer ce document / Cite this document :
Levy-Garboua Vivien, Denizot François-Bernard. Le problème de l'agrégation : un essai de synthèse. In: Revue économique.
Volume 23, n°1, 1972. pp. 20-53.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_0035-2764_1972_num_23_1_4080080
LE PROBLEME DE L'AGREGATION
Un essai de synthèse *
i/ECONOMiE se présente comme une discipline séparée en deux bran
ches distinctes par leurs buts et par leurs méthodes : la micro-économie
et la macro-économie. En fait, les deux sciences ne sont évidemment
pas étrangères, leurs concepts sont souvent voisins, et bien des raiso
nnements macro-économiques sont étayés par des hypothèses de com
portement micro-économiques.
L'étude de l'agrégation des modèles est une manière d'aborder
simultanément le problème de la distinction entre ces deux parties de
la science économique et celui du passage de l'une à l'autre.
Depuis 1946 l les nombreux ouvrages et articles qui y ont été con
sacrés, dans des directions très diverses, ont permis d'élucider un bon
nombre des problèmes rencontrés dans la théorie économique. Cet
article propose une formalisation qui permet de rendre compte de façon
synthétique 2 de la plupart de ces études, et d'en expliciter les diffé
rentes démarches.
Pour cela nous donnerons d'abord une définition de l'agrégation
qui permette de poser clairement le problème général.
Les nombreux échecs rencontrés dans les cas usuels, nous con
duiront alors à sacrifier certaines exigences théoriques à des considé
rations pratiques : ce sera l'objet de la deuxième partie consacrée à
l'agrégation approchée.
* Nous tenons à remercier très vivement, pour leurs conseils, leurs suggestions et l'aide
qu'ils nous ont apportée dans la publication de cet article, MM. Guillaume, Jean Ullmo et
Yves Ullmo. Mais suivant la tradition, nous portons seuls l'entière responsabilité de tout ce
qui pourrait déplaire aux lecteurs.
1. Date de parution de quatre articles sur le sujet, par Klein, May et Shu Shan Pu (cf.
Bibliographie).
2. Cette tentative nous a été suggérée par la lecture de l'article de M. Malinvaud, « L'agré
gation dans les modèles économiques », Cahiers du C.N.R.S., 1956. LE PROBLEME DE L'AGREGATION 21
Enfin, nous étudierons comment le problème de l'estimation interfère
avec celui de l'agrégation 3.
I
DÉFINITION ET POSITION DU PROBLÈME
1 _ INTRODUCTION
Un modèle peut être défini comme une structure formelle donnée
a priori dont on espère qu'elle rendra compte de la réalité. Toutefois,
il apparaît qu'en général il est possible d'en tester la valeur au regard
des objectifs, souvent pratiques, qu'on lui a assignés.
Mathématiquement, il se présente sous la forme d'un ensemble
de relations entre des variables censées représenter tel ou tel aspect
de la réalité ; (dans le cas de l'économie, les variables devront avoir
une signification économique).
Il est souvent utile, parfois indispensable, de construire, à partir
d'un modèle « microscopique », que nous appellerons désormais mo
dèle détaillé, un modèle « macroscopique », le modèle simplifié, ne
serait-ce que parce que la justesse d'une étude microscopique se paiera
bien plus cher qu'une étude macroscopique, globale.
Une telle représentation d'un modèle détaillé par un modèle simp
lifié est l'objet de l'agrégation4.
2. — FORMALISATION
2-1. Représentation formelle
Si nous traduisons cette définition d'une manière purement formelle,
une agrégation A permet d'associer à tout modèle Mo pris dans un
ensemble ^0 de modèles d'un certain type — qui sera précisé plus
bas — un modèle M pris dans un ensemble dt de modèles d'un
type différent. A est donc une application de M \ dans Jt ', ce qui
peut être représenté par le schéma suivant :
Mo € J/o ^ M = A (Mo) £ Jt .
3. Le manque de place et le désir de mettre l'accent plus sur la synthèse que sur l'analyse
dans cette rédaction nous ont conduit à omettre toutes les démonstrations des résultats originaux
de cet article.
4. Cf. Malinvaud, Cahiers du C.N.R.S., 1956. 22 REVUE ECONOMIQUE
2-2. Le problème de l'agrégation
II est bien évident que dans la pratique on ne voudra pas d'une
agrégation entièrement arbitraire. A devra vérifier un certain nombre
de conditions, que nous verrons dans chaque cas particulier, être
suggérées tantôt par la nécessité de la cohérence mathématique, tantôt
par un souci d'efficacité, tantôt enfin par des impératifs éthiques. Dans
tous les cas, ces contraintes seront imposées par l'utilisateur qui les
choisira en fonction des buts qu'il poursuit.
Dans l'ensemble des applications de Jf0 dans M, noté Jt °, ces
conditions données a priori définissent un sous-ensemble sé(s& ' tz<Jt °).
auquel A est astreint à appartenir (A Ç. se).
Ce qui est ici appelé problème de l'agrégation est l'étude de se ;
il convient en effet de répondre à la question : s4 est-il ou non vide ?,
c'est-à-dire : existe-t-il une agrégation A de Jt Jf ° satisfaisant aux
conditions exigées ?
2-3. Nature des ensembles Jt '0 et J(
Jusqu'à présent, nous avons posé ce problème d'une manière
purement formelle, sans nous préoccuper en particulier de la nature
des ensembles «/#0 et <M ; essayons maintenant de la préciser davantage.
Nous avons vu qu'un modèle se présente sous la forme d'une
famille de relations Rx .... Ra, la relation Ri portant sur px variables
xi± .... Xjpi, assujetties respectivement à appartenir aux ensembles
Ei]L .... Eipi. Une telle relation peut alors être entièrement représentée
par son graphe Gi, c'est-à-dire par le sous-ensemble du produit carté
sien E;iX ...xEipi, formé de tous les pruples (x^ ... xipi) vérifiant la
relation Rj. De même, nous pouvons admettre que le modèle considéré
est lui-même entièrement représenté par son graphe G=GiX....XG„
formé de tous les (pi + .... + pn)-uples de variables satisfaisant aux n
relations simultanément.
Nous identifierons désormais le modèle à son graphe. Supposons
donc que les variables du modèle détaillé Mo appartiennent à une
famille d'ensemble (Ei)i£l, et celles du modèle simplifié à une famille
(Ej).£ . Les graphes de ces deux modèles peuvent alors être reconnus
comme des sous-ensembles des produits cartésiens II Et et JI Ej
respectivement. i G i t £y
Notons alors f [ II EJ l'ensemble formé de tous les sous-ensembles
de II Ei (respectivement f ( II Ej) pour Ü Ej). Nous pouvons
i € i t i € J i € J
alors résumer ce qui précède par : LE PROBLEME DE L'AGREGATION 23
Mo € f (ïï -Ei)
M G f (II Ej) -.:..
itj
Mais Mo et M ne sont pas des modèles arbitraires ; toute relation
e

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