RDM 6 : mémorisation des matrices globales, méthodes de calcul

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• Publié par: Nisor
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RDM 6 : m¶emorisation des matrices globales, m¶ethodes de calculs Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans D¶epartement G¶enie M¶ecanique et Productique http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 26 juin 2006 { 29 mars 2011 Table des matieres 1 Pr¶esentation 1 2 Partition des degr¶es de libert¶e 2 3 M¶emorisation des matrices globales 3 4 R¶esolution d’un systeme d’¶equations lin¶eaires 5 5 Recherche des valeurs et vecteurs propres 6 5.1 Pr¶esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5.2 M¶ethode d’it¶eration inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.3 M¶ethode d’it¶eration sur sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.4 D¶ecalage du spectre de valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 R¶ef¶erences 10RDM 6 1 1 Pr¶esentation Les principales ¶etapes du calcul sont : V¶eriflcation des donn¶ees Construction des tables : { Construction de la table des n uds et de la table des ¶el¶ements { Partition des degr¶es de libert¶e { Calcul de la place m¶emoire n¶ecessaire au calcul { Segmentation des matrices globales Calcul des matrices ¶el¶ementaires et assemblage des matrices globales : { Matrice de rigidit¶e { Matrice de masse pour une analyse dynamique { Matrice de rigidit¶e g¶eom¶etrique pour la recherche des charges critiques { Vecteur(s) force(s) pour une analyse statique Factorisation de la matrice de rigidit¶e globale : T[K]=[L][D][L] Analyse statique : Pour chaque probleme statique : { R¶esolution du systeme d’¶equations lin¶eaires : [K]fUg=fFgi i ouiestlenum¶eroduprobleme(cassimpleoucombinaison).S’ilyadesd¶eplacementsimpos¶es non nuls, le logiciel g¶enere un cas de charges 0 qui se r¶eduit aux d¶eplacements impos¶es. ¶{ Edition d’un flchier neutre Analyse dynamique : { R¶esolution du probleme aux valeurs propres : 2[K]fUg=! [M]fUg ¶{ Edition d’un flchier neutre2 M¶emorisation des matrices globales et m¶ethodes de calculs Flambement lin¶eaire { R¶esolution du probleme aux valeurs propres : [K]fUg=¡‚[M]fUg ¶{ Edition d’un flchier neutre A la fln du calcul, le logiciel g¶enere un flchier dont l’extension est .res. Ce flchier contient des infor- mations sur le d¶eroulement du calcul. 2 Partition des degr¶es de libert¶e R¶ef¶erences : [1, 9, 11] Les degr¶es de libert¶e de la structure (d.d.l.) sont num¶erot¶es de fa»con a obtenir la partition de ceux-ci en trois sous-ensembles : { D¶eplacements inconnus : (L) { D¶eplacements connus non nuls : (P) { D¶eplacements nuls : (S) La partition des d.d.l. induit une partition des matrices globales : vecteur force fFg, vecteur d¶epla- cementfUg, matrice de rigidit¶e [K], ... : 8 9 8 9 2 3 fF g fU g [K ] [K ] [K ]< = < =L L LL LP LS 4 5fFg= fF g ; fUg= fU g ; [K]= [K ] [K ] [K ] ; :::P P PL PP PS: ; : ; fF g fU g [K ] [K ] [K ]S S SL SP SS Les lignes et les colonnes associ¶ees aux d¶eplacements nuls ne sont jamais assembl¶ees. La partition des d.d.l . est efiectu¶ee avant la segmentation en blocs des matrices globales (voir m¶emo- risation des matrices globales). Analyse statique : Les ¶equations d’¶equilibrefFg=[K]fUg s’¶ecrivent : ‰ • ‚‰ fF g [K ] [K ] fU gL LL LP L= fF g [K ] [K ] fU gP PL PP P Les d¶eplacements inconnus sont solution du systeme d’¶equations : [K ]fU g=fF g¡[K ]fF gLL L L LP P Analyse dynamique : 2Le probleme aux valeurs propres [K]fUg=! [M]fUg se r¶eduit a : 2[K ]fU g=! [M ]fU gLL L LL LRDM 6 3 3 M¶emorisation des matrices globales R¶ef¶erences : [3, 5, 9] Un calcul de structure par la m¶ethode des ¶el¶ements flnis n¶ecessite souvent d’importantes ressources informatiques (temps de calcul et place m¶emoire). Ces ressources peuvent ^etre diminu¶ees par : { le choix de m¶ethodes de r¶esolution qui utilisent les propri¶et¶es des matrices globales (sym¶etrie, matrice bande, ...). { la renum¶erotation des n uds. Dans RDM , les matrices globales (matrice de rigidit¶e, matrice masse, ...) sont stock¶ees selon lam¶ethode profll ou ligne de ciel . Elles sont de plus d¶ecompos¶ees en blocs qui sont m¶emoris¶es sur le disque. Consid¶erons la structure (10 n uds, 10¶el¶ements) repr¶esent¶ee sur la flgure et supposons, pour simpli- fler, que chaque n ud possede un seul degr¶e de libert¶e : L’assemblage conduit a la matrice de rigidit¶e globale : 2 3 £ : : : : £ : : £ : 6 7: £ £ £ : : : : : £6 7 6 7: £ £ : : : : : : :6 7 6 7: £ : £ £ £ : : £ :6 7 6 7: : : £ £ : : : : :6 7[K]=6 7£ : : £ : £ £ £ : :6 7 6 7: : : : : £ £ : : :6 7 6 7: : : : : £ : £ : :6 7 4 5£ : : £ : : : : £ : : £ : : : : : : : £ ou chaque£ repr¶esente un terme non nul. Dans cette matrice, la contribution de l’¶el¶ement 4¡6 est localis¶ee en [4;4], [4;6], [6;4] et [6;6]. Le stockage de cette matrice n¶ecessite la m¶emorisation de 10£10 = 100 r¶eels. Si l’on tient compte de la sym¶etrie de la matrice de rigidit¶e, il su–t de m¶emoriser les termes situ¶es sur la diagonale et au dessus de la diagonale soit (10£11)=2=55 r¶eels. Lors de la factorisation de la matrice de rigidit¶e, les termes nuls situ¶es sur une colonne au dessus du premier terme non nul n’interviennent pas. Il n’est pas utile de les stocker. Les termes utiles de la matrice de rigidit¶e sont m¶emoris¶es, colonne par colonne, dans une matrice4 M¶emorisation des matrices globales et m¶ethodes de calculs ligne [A] : 2 3 A(1) A(10) A(21) 6 7A(2) A(3) A(5) A(11) A(22) A(30) 6 7 6 7A(4) A(6) A(12) A(23) A(31)6 7 6 7A(7) A(8) A(13) A(24) A(32)6 7 6 7A(9) A(14) A(25) A(33)6 7[K]=6 7A(15) A(16) A(18) A(26) A(34)6 7 6 7A(17) A(19) A(27) A(35)6 7 6 7A(20) A(28) A(36)6 7 4 5A(29) A(37) A(38) Cette m¶ethode de stockage est appel¶ee m¶ethode profll ou m¶ethode ligne de ciel. Elle n¶ecessite la m¶e- morisation de 38 r¶eels. Pour des problemes de grande taille, la m¶emoire centrale ne peut pas contenir toute la matrice [A]. Cette derniere est divis¶ee en blocs qui sont m¶emoris¶es sur le disque. Avec notre exemple, si on limite la taille des blocs a 15 r¶eels, la matrice de rigidit¶e [K] est m¶emoris¶ee sur le disque dans 3 blocs [A], [B] et [C] : 2 3 A(1) A(10) B(6) 6 7A(2) A(3) A(5) A(11) B(7) C(1) 6 7 6 7A(4) A(6) A(12) B(8) C(2)6 7 6 7A(7) A(8) A(13) B(9) C(3)6 7 6 7A(9) A(14) B(10) C(4)6 7[K]=6 7A(15) B(1) B(3) B(11) C(5)6 7 6 7B(2) B(4) B(12) C(6)6 7 6 7B(5) B(13) C(7)6 7 4 5B(14) C(8) C(9) La place m¶emoire n¶ecessaire au stockage de la matrice de rigidit¶e [K] d¶epend de la num¶erotation des n uds. Consid¶erons l’exemple pr¶ec¶edent et renum¶erotons les n uds : Le stockage de la matrice de rigidit¶e n¶ecessite, avec cette num¶erotation, la m¶emorisation de 24 r¶eelsRDM 6 5 dans deux blocs [A] et [B] : 2 3 A(1) A(3) 6 7A(2) A(4)6 7 6 7A(5) A(6)6 7 6 7A(7) A(8) A(10)6 7 6 7A(9) A(11) B(1)6 7[K]=6 7A(12) B(2)6 7 6 7A(13) B(3) B(5) B(8)6 7 6 7B(4) B(6) B(9)6 7 4 5B(7) B(10) B(11) Remarque : la partition des degr¶es de libert¶e (x Partition des degr¶es de libert¶e) induit une partition des blocs. Chaque matrice globale (rigidit¶e, masse, ...) est segment¶ee en NBL blocs correspondant auxd.d.l.inconnusetNBPblocscorrespondantauxd.d.l.impos¶es(nonnuls).Lepremierd.d.l.impos¶e correspond toujours au d¶ebut d’un bloc. 4 R¶esolution d’un systeme d’¶equations lin¶eaires R¶ef¶erences : [3, 5, 9] Soit a r¶esoudre le systeme d’¶equations lin¶eaires : [K]fUg=fFg ou [K] est la matrice de rigidit¶e,fFg le vecteur force etfUg le vecteur d¶eplacement. La m¶ethode de r¶esolution utilis¶ee dans RDM est la m¶ethode de Gauss. Le calcul se fait en quatre ¶etapes : 1. D¶ecomposition de Crout de la matrice de rigidit¶e globale : T[K]=[L][D][L] ou [L] est une matrice triangulaire inf¶erieure dont les termes diagonaux sont ¶egaux a l’unit¶e et [D] est une matrice diagonale. Si le nombre de liaisons est su–sant tous les pivots6 6 M¶emorisation des matrices globales et m¶ethodes de calculs sont strictement positifs. 2. R¶esolution du systeme triangulaire inf¶erieur : [L]fYg=fFg 3. R¶esolution du systeme diagonal : ¡1fXg=[D] fYg 4. R¶esolution du systeme triangulaire sup¶erieur : T[L] fUg=fXg 5 Recherche des valeurs et vecteurs propres R¶ef¶erences : [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 6, 10] 5.1 Pr¶esentation R¶esoudreleproblemeauxvaleurspropresconsisteatrouverlescouples (‚;fug) quisatisfontl’¶equa- tion : [K]fug=‚[M]fug avec fug=f0g (5.1) Les problemes trait¶es sont les suivants : Recherche des modes propres de vibration Le probleme a r¶esoudre s’¶ecrit : 2[K]fug=! [M]fug (5.2) ou { [K] est la matrice de rigidit¶e de la structure. { [M] est la matrice de masse. { ! est une pulsation propre. { fug est le vecteur des d¶eplacements associ¶e a la pulsation !. Remarque : dans RDM , les matrices de masse sont consistantes. Flambement lin¶eaire Le probleme a r¶esoudre s’¶ecrit : [K]fug=¡‚ [K ]fug (5.3)C ouRDM 6 7 { [K] est la matrice de rigidit¶e de la structure. { [K ] est la matrice de rigidit¶e g¶eom¶etrique. { ‚ est un coe–cient de charge critique.C { fug est le vecteur des d¶eplacements associ¶e a ‚ .C Remarque 1 : en fait, on r¶esout le probleme aux valeurs propres : [K ]fu g=‚[M ]fu g (x Partition des degr¶es de libert¶e) (5.4)LL L LL L Remarque 2 : les valeurs propres sont les solutions de l’¶equation caract¶eristique : det([K ]¡‚[M ])=0 (5.5)LL LL Remarque3 :lenombredemodespropresdemand¶esnedoitpasexc¶ederlenombrededegr¶esdelibert¶e excit¶es. Plus pr¶ecis¶ement, en l’absence de modes rigides (la structure est isostatique ou hyperstatique int¶erieurement et ext¶erieurement), ce nombre est ¶egal au rang de la matrice [M ]. Consid¶erons, parLL exemple, la structure suivante : Les matrices [K ] et [M ] sont ¶egales a :LL LL 2 3 2 3 2k ¡k 0 m 0 0 4 5 4 5[K ]= ¡k 2k ¡k ; [M ]= 0 m 0 (5.6)LL LL 0 ¡k 2k 0 0 m Cette structure possede autant de modes propres de vibration que de degr¶es de libert¶e. Les trois pulsations propres sont (en rad/s) : r r r k k k ! =0:7654 ; ! =1:4142 ; ! =1:8478 (5.7)1 2 3m m m Supprimons la masse port¶ee par le n ud 3 : Le nombre de degr¶es de libert¶e et la matrice [K ] ne changent pas. Par contre, la matrice [M ]LL