Correction : Algèbre linéaire, Coeur et nilespace d'un endomorphisme

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels et applications linéaires.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 165
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

2.

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

4.a

Correction

est un endomorphisme deet on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces
vectoriels.
∀∈+1=Im+1,∃∈tel que=+1() donc=(())∈Im=. Ainsi+1⊂.
∀∈=ker, on a+1()=(())=()=donc∈ker+1=+1. Ainsi⊂+1.
⊂. Pour tout∈ℕ,∈carest un sous-espace vectoriel de, donc∈.
Soitλ,∈ℝet,∈. Pour tout∈ℕ,,∈, orest un sous-espace vectoriel dedonc
λ+∈et doncλ+∈.
⊂.∈1car()=donc∈.
Soitλ,∈ℝet,∈. Il existe,∈ℕtel que∈et∈.
Posons=max(,) . On a,⊂donc,∈.
Orest un sous-espace vectoriel dedontλ+∈puisλ+∈.
Soit∈. Pour tout∈ℕ, on a∈donc()∈+1. Ainsi∀∈ℕ* ,()∈.
De plus0=Im0=Im Id=, donc()∈0. Ainsi()∈pour tout∈ℕet donc()∈.
Soit∈. Il existe∈ℕtel que∈c’est à dire tel que()=.
Si>0 , alors−1(())=donc()∈−1puis()∈.
Si=0 , alors0()=donc=car0=Id . Mais alors()=et donc()∈.
Siest un automorphisme dealors pour tout∈ℕ,l’est aussi.
On a donc=carsurjectif et= {}carinjectif. Au final=et= {}.
Par récurrence sur∈ℕ.
Pour=0 : ok
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
La suite ( décroissante donc) est++1⊂+.
Soit∈+,∃∈tel que=+() .
Or()∈=+1donc∃∈tel que()=+1() et donc
=(())=(+1())=++1()∈++1. Ainsi+⊂++1.
Par double inclusion,+=++1, puis par HR,=++1.
Récurrence établie.
L’ensemble=∈ℕ/=+1est une partie deℤ, non vide (via l’hypothèse du 4.) et minorée,
elle possède donc un plus petit élément.
Puisque la suite ( décroissante et stationnaire à partir du rang) est() donc=∩=().
∈ℕ
Soit∈. On a()()∈(). Or()=2()donc il existe∈tel que()()=2()() .
 
Posons alors=()() et=−.
Clairement=+t∈()=.
e
De plus()()=()()−()()=()()−2(())=donc∈().
Par récurrence sur∈ℕ.
Pour= ok0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
On a déjà+⊂++1car ( croissante.) est
Soit∈++1. On a++1()=donc()∈+1.
Or+1=donc()∈et donc+()=i.e.∈+. Aines++1⊂+.
Par double inclusion+=++1. Par HR, 1=. Récurrence établie.
+ +

4.b

4.c

5.a

5.b

6.a

6.b

6.c

Soit=∈ℕ/+1=.
est une partie deℤde la question 3., non vide., minorée par 0 et par l’hypothèse
Elle possède donc un plus petit élément.
La suite ( croissante et stationnaire à partir du rang) est() donc=∪=().
∈ℕ
Soit∈()∩. Il existe∈tel que=()() et on a()()=.
  ==.
On a alors2()()=()()=donc∈2(). Or2()=()donc( )( )
Ainsi()∩⊂ {}, l’autre inclusion est aussi vraie car()etsont des sous-espaces vectoriels
donc()∩{}.
=
On sait déjà⊂+1.
Soit∈+1. On a+1().
=
  +
()∈=+1donc∃∈tel que()=1()
.
+1()=donne alors+2()=donc∈+2=+1puis+1()=i.e.()=.
Ainsi+1⊂et finalement=+1.
On sait déjà+1⊂.
Soit∈. Il existe∈tel que=() .
1
()=+()∈+1=+2donc il existe∈tel que+1()=+2() .
On a alors+1(−())=doncW