Correction : Analyse, Algorithme de Babylone

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques récurrentes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 344
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

3.d

Correction

Partie I

Par récurrence sur∈ℕ, montrons,∈ℕ∗.
Pour= ok0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
∗
+1=+2∈ℕ,+1=+∈ℕ∗.
Récurrence établie.
Pour=0 : ok
Pour>0 :=−1+2−1≥−1+−1=.
   
+1=++11=++2=++12=1+1+1 .

2 (+2)−2(+1)(1−2 )−2(1−2) 1−2−2
+1− =+1=+1=+1
Puisqa12 2−12 2−12
ue=≥1 on+− =+1− ≤2−.
 
−
Par récurrence on a aisément :−2≤2120−o 22r2 −1<1 donc22−1→0 puis
par comparaison→2 .
+2=+1+2+1=+1+2(+)=+1+2++−1=2++1.=2,=1 .
(suite récurrente linéaire double d’équation caractéristique : une ) est2=2+1 de racines 1+2 et
1−2 donc∃λ,∈ℝtels que∀∈ℕ,=λ(1+2)+(1−2 ).
0=1 et1=0+20=3 donne :λλ(+1=2)1(1 2) . 3
 + + − =
+1+1
Après résolutionλ=2+ et 1=22−1d’ où=1+22+1−. 2
2
+2=+1++1=+2++1=(+1−)+2++=12++1.
( ( une suite récurrente linéaire double de même équation caractéristique que) est) .
donc∃λ,∈ℝtels que∀∈ℕ,=λ(1+2 )+(1−2).

0=1 t1=0+0= :2 donneλ+=1
e.
λ(1+2)+(1−2)=2
+1+1
Après résolutionλ=22+1 te 2=22−d o’2 ù1=1+22−12−. 2
+1+1
1+2 1+2
∼2 te ∼2 2 1 car−2<2+1 .
Par suite=∼ donc2 et→2 .


1.

2.

3.

1.

2.a

2.b

Partie II

Par récurrence sur∈ℕ, montrons les trois propriétés simultanément.
Pour= it’s good0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
Comme 1, 2=1+2est bien définie.
∈,+12

De plus+1≤122+21=2 et+1≥211+22=1 donc+1∈1, 2 .
Enfin puisque∈ℚ, on a+1∈ℚpar opérations sur les nombres rationnels.
Récurrence établie

1 1 1
+1−2=+ −2=−
22

donc+1−2=

−

2 1 1 1 2 2−
+−2=2− +2
2
−
21 122−2
− = − =
2 2 .2 2


−2
+1−2=−
2
Par suite−2≤120−

2≤12−


2 car∈ .1, 2

→
2 0 et par comparaison→

Partie III

3=7121= ,1, 4173=1, 414 et 2= à1, 414 10−3près.

2
−2
+1=+1−2=2=+1−2.
+1−2 1−2−2 1−2 2

+1

2 .

ératio es+1−02
ns sur les limit→donc il existe∈ℕtel que pour tout≥ce
Par op 1−2 2
terme est inférieur en valeur absolue à 1 .
2
On obtient alors par récurrence :∀≥,≤21−et puisque 21−→0 on conclut→0 .
Ainsi la suite ( 2 plus) converge vers vite que la suite () .