Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Fonction de deux variables

Brigitte Bonnet

Description

Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 64
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

2R
8.FonctiV.4ons.de.deux.v.ariables.T.able.des.mati?resums1.G?n?ralit.?sD?v2.1.1.Und'ordreminim.um.de2top.ologie.de5Chapitre?es..1........limit?.........3.3...........emen...........deux.?.vril.d'ordre...................3.emen211.2.Ensem.ble.de.d?nition.d'une.fonction.de.deux.v?esariables.....................D?v.limit?...................4.fonction2ari1.3Bonnet,Repr?senInternationaltationonnegraphique.D?riv.partielles.1.......................................3.2.elopp.t.d'ordre............................2.1.4.F.onctions.partielles4.D?riv.partielles.2.......................................3.4.elopp.t.d'ordre..................................3.25LimitesExtremetd'unecondetinvuit?ables3Brigitte3LycD?rive?esdepartiellesalb3A3.120112R
M = (x ;y ) M = (x ;y )1 1 1 2 2 2
p
2 2d(M ;M ) = (x x ) + (y y )1 2 2 1 2 1
A;B;C
d(A;B) =d(B;A)
d(A;B) 0 d(A;B) = 0)A =B
d(A;B)d(A;C) +d(C;B)
A r A
2r M R d(A;M)<r
2A r M R d(A;M)r
2 2R U R M U
M U

2 E E =f(x;y)2R =x> 0;y> 0g
2 R
2 2M R M R M
2R
2f R R
f : (x;y)7 !f(x;y)
2f R f(x;y)
1 2f(x;y) =x + y + 1 D =Rf
2
f(x;y) = (lnx)(lny) D U =f(x;y)=x> 0;y> 0gfp
2 2f(x;y) = 1 x y D (0; 0)f
x+y 2 2 2 2f(x;y) =e x y ln(x +y ) D =R f (0; 0)gf
~ ~ ~(O;i;j;k)
2f R R (x;y;z)
z =f(x;y)
p
2 2f(x;y) = 1 x y f
(0; 0) z 0
1
f(x;y) = x + y + 1 f
2
1
z =x + y + 1
2
pard?niplanest:?eydparquartSiLeeert.Soitouvpun?retrepr?sensnedeuxertel'espaceeststrictemenunetouvaert.Pouvd'uneouledebduestExemplesunlaouvlaert.vD?nition1:ncen4:LaSoitSoitUner?lsuntriangulaire)?l?menestt1.3del'espace:unExemplesPythagore..LaOncetteappdesellecovtelsoisinagedesdeune.cestoutRouvprertladecendansyuedeconeucten,.defonctionestditeum.ferm?eBonnet,oule?deInternational1.Vponneunvrilcouplede2conc)tb)est(launtousvtationoisinageOndercort?hacun?redeopri?t?ssesth?or?mepestointationts.distance1.2vEnseml'ensemboinleespacederepd?nitionemend'une:fonctionoinde.deuxgraphiquevdansariables.SiOnrepr?senconsid?requeuner?elfonctionrnsdeeti?remebrenevnomersdee1,:etsoitSiquientreLacendedesurertetativouvfouletionbplanuned'?quationexisteUnil1,deL'ensemtreblebdeetd?nitionradeonded)estositif.letsous-ensemr?elbleetdedetunoin:form?D?nitiondes(In?galit?couples.de:r?elssym?trique).telsdistancequea)pcouplestoutourourRepr?senpgrque,phique.existe.consid?reExempleseuclidien:aa)pSoit?tellerepdeortonormalpartie:unePrestdedeleertdonn?eouv.Unrepr?sen:graphique3fonctionD?nitionde.orthonormal,:ersqueesttelsbledeptstsencetb)deSoitordonn?es?l?mundestblerelativensemquel'planesttsonpyparraCettedetationetest:surfacetrel'espace.cen:estcouplesletequona:remart:de,plansurfacedeeferm?e?ouleebtativlade?me,fonctionmestDedemi-sph?r.dequetretelsledeettsraenon?l?ma.ecC'estr?elsun.ouvcouplesert.trec)lidienneSoitdistancedes:bleD?nitionl'ensemologieestlaonfacyrepr?senraedelaetotreccentopdeun:deerte,ouvdeestminimla1.1bG?n?ralit?souletenantCette2est.aneEnBrigittepLycarticuliere:deUnalbouvAert2011f fx
f :x7!f(x;y)x
y
f y f(x;y)y
R R
2f U R M = (x ;y ) U0 0 0
M U0
lim f(x;y) =‘ , 8> 0;9> 0 = (d(M ;M)< et M2U))jf(x;y) ‘j<0
(x;y)!(x ;y )o 0
2f U R M = (x ;y ) U f0 0 0
M0
lim f(x;y) =f(x ;y )0 0
(x;y)!(x ;y )0 0
M M0 0
f
f g (x ;y ) g(x ;y ) = 00 0 0 0
g
(x ;y )0 0

f (x ;y )0 0
f :x7!f(x;y ) f :y7!f(x ;y)x 0 y 0
x y0 0
xy
f f(x;y) = (x;y) = 0 f(0; 0) = 0
2 2x +y
f :x7!f(x; 0) f :y7!f(0;y) Rx y
f x
1f(x;x) =
2
f U (x ;y ) U0 0
f :x7!f(x;y ) x fx 0 0
x (x ;y )0 0
@f f(x;y ) f(x ;y )0 0 00(x ;y ) =f (x ;y ) = lim0 0 0 0x x!x@x 0 x x0
f :y7!f(x ;y) y fy 0 0
y (x ;y )0 0
@f f(x ;y) f(x ;y )0 0 00(x ;y ) =f (x ;y ) = lim0 0 0 0y
y!y@y 0 y y0
uetin.illeetcon1.4Applicationsort:silesm?mepqueolyn?mes,:lesunefonctionsetrationnellesdesoncietpartielleconuntindeues:enunetoutonpqueoinunetdedelesleur,ensemortest?testenune8tiellesBonnet,une?etInternationalunVSionnesurvrilestquotienditestd'ordreconvtinetuecenentfonctionunlaD?nition6)si(d?rivetonnoneable,admetlesd'ordredeuxpartielapplicationonsestpartiellesommeues:tinvconD?nitionfonctionspadeux1tSoitsond?nieetertSiour.m?mesenoinet.uefonctiontinsconopestemarenables,ue.tin?econparfonctionsecdeuxvidedeinsonnotetencbonoutin?l?meuesertrespd?nieectiv:ementint2enariation,duit,tableproDeetatlecommesomme,eut.ersAestttendestiondit!d?la?er?ciproparquelesdeCescer?elth?or?me:estfonctionfausse.fonctionExempleparam?tre).:consid?r?eSoitvLad?nielaLafonctionded?nie:paronctions:?estrobtiend'ordreonD?nitionlimites:lesssurfonction?rationssuropouvdeslimitepropri?t?sleslespsipropri?t?sD'apr?sles:pquetemart6onRla:partie,limitesetlesi?rationstLesseulemenqueetRsid?rivenen.AlorsLesonappliquecationsadmetpartiellesd?rivuepartielletin1conrappest?Alorsen.adenonttersecti?l?men,etonun:etaitdetr?eertouleouvtouteuntelsurded?nienfonctionununedesonouvtsurtoutesfonctiondeuxSoitconstan6teuit?sconnLimitesulles.surlimites...Soitv,auet?e,entellesparticulierm?me,ellesl'applicsonitpartiellec?tudierondonctinpues,env0.fonctionsPd?rivarenconttreon:sonn'estunepasrconvtinpartielleue1enrapp(0,0)?puisqueenpfonctionsour.tassooetunotettoutr?elqui7lanonpartiellenlaulDe:unD?nitioncr?elle.alorsariableariablev(laseulepard'uneestfonctionsfonctiondeariables..deux3fonctionD?rivSoit?es5partiellespartielles3.1FD?rivble3ded?nition.BrigitteTh?Lycore?mede1alb:ASi2011 (x;y) U f x
y f x y U
@f @f 0 0U f f fx y@x @y
1f C (x ;y ) U0 0
@f @f
(x ;y ) U0 0
@x @y
2 2 2f(x;y) =x y +y + 3x f x y R
@f @f 2(x;y) = 2xy + 3 (x;y) =x + 2y
@x @y
x+yf(x;y) =e + ln(x y) D f(x;y)=x>ygf
@f 1 @f 1x+y x+y(x;y) =e + (x;y) =e
@x x y @y x y
1 2f C U R M = (x ;y ) U0 0 0
V M M = (x;y) V0
@f @f
f(x;y) =f(x ;y ) + (x x ) (x ;y ) + (y y ) (x ;y ) +d(M ;M)(x;y)0 0 0 0 0 0 0 0 0
@x @y
lim (x;y) = 0
(x;y)!(x ;y )0 0
1C (x ;y )0 0
p@f @f
2 2f(x +h;y +k) =f(x ;y ) +h (x ;y ) +k (x ;y ) + h +k (h;k)0 0 0 0 0 0 0 0
@x @y
1C U
(x ;y ) U U0 0
x y (x ;y ) U0 0
2@ f @ @f 00(x ;y ) = (x ;y ) =f (x ;y )20 0 0 0 0 0x2@x @x @x
2@ f @ @f 00(x ;y ) = (x ;y ) =f (x ;y )0 0 0 0 0 0xy
@x@y @x @y
2@ f @ @f 00(x ;y ) = (x ;y ) =f (x ;y )0 o 0 0 0 0yx@y@x @y @x
2@ f @ @f 00(x ;y ) = (x ;y ) =f (x ;y )20 0 0 0 0 0y2@y @y @y
2f U R
2 2@ f @ f
M = (x ;y )0 0 0
@x@y @y@x
(x ;y )0 0
2f C (x ;y ) U f0 0
(x ;y ) U0 0
x
y
surunouvertpartiellesfonctionaoin?eadmetadmetdeste).sd?vd?riv?es?esSipartiellesth?or?med'ordreec2tentinunortpTh?oindetortpdit,unconolyn?me?galesenwetoin,vd?nieortde:surde(resp.vrilsur1).limit?)t.si,:etouvseulemenadmettantunesi,onsesdedeuxuned?riv?es?espartiellepartiellesalorsd'ordreoin1th?or?meadme:ttpe(resp.nouvtadmetellecons-m?mes:des(d?rivExemple?essurpartiellenescd'ordreune1d'ordreparrapprapp(resp.ortemen??critureAlorspet?me?enetsurenrt.approetdesExempled'ordre2pardeet:enertv(resp.fonctionsurAutremenouv?e).deuxOnsonnoteues:1unrsursonSoitce..seappasScclD?nitiondefonctionfonctionclasseuneun(IciortSoitrapp:sur2r?mesi?esd?rivpartielles2oruesTh?)1?l?mendeest,Soite1rded:'ortd(resp.limit?uestonementeloppadmetD?vd?riv3.2partielle.sonestparleetdemi-plan?ouv:ertt).eloppAlorsduetAutrenot?esoinetce,orce3faitSoitonuneclassed?niedeunsure).aneceximationasetth?or?metScd?rivwpartielless'applique2l'ordreadmetlequelrappd?riv?par),ortdittquedansclasseparunortoisinagededeoutoutevtn'a.fonctionsd?rivun.ouvcesertd?riv)partiellessurtsitinsesen,d'ordredeuxpd?rivrles,?esellesfonctiontUneen:p10tD?nitionCe2estd'ordreel?tiellesderhpaarz.?es11D?rivUne3.3a.depp.enIlpexistetun?Siparv:oisinage(resp.puntioneourtde)foncaunedestel?esqued'ordreptoutesourtintoutenp?oinsurtoutoubien(resp.de:etDans.cD?nitionleonnede9h:arzd?nit:deuxdansUneonfonctione,estrappnouv?ellespuisd'rapportance.?Bonnet,,?l'inInternationalerse,VpasdeimpclasseBrigitteenLycd?rive(resp.desuralbpartiellesA42011(x ;y )0 0
@f @f
p = (x ;y ) q = (x ;y )0 0 0 0
@x @y
2 2 2 2@ f @ f @ f @ f
r = (x ;y ) s = (x ;y ) = (x ;y ) t = (x ;y )0 0 0 0 0 0 0 02 2@x @x@y @y@x @y
2 2f C U R M = (x ;y ) U0 0 0
V M M = (x +h;y +k) V0 0 0
2 2h k 2 2
f(x +h;y +k) =f(x ;y ) +ph +qk +r +shk +t + (h +k )(h;k)0 0 0 0
2 2

f U
(x ;y ) V (x ;y ) (x;y) V f(x;y) f(x ;y )0 0 0 0 0 0
f (x ;y ) V (x ;y )0 0 0 0
(x;y) V f(x;y)f(x ;y )0 0
2 2f(x;y) =x +y
(x;y) f(x;y) 0 f(x;y) = 0,x = 0 et y = 0
f
(x ;y ) f0 0
f
2 2f C U R (x ;y )0 0
f
2f (x ;y ) f C0 0
x7!f(x;y ) y7!f(x ;y)0 0
x y f0 0
(x ;y )0 0
(x ;y ) f f0 0
2 2h k 2 2f(x +h;y +k) f(x ;y ) =r +shk +t + (h +k )(h;k)0 0 0 0
2 2
2 2h k
r +shk +t h k
2 2 ! 22 2 2h k k h h
Q(h;k) =r +shk +t = r + 2s +t
2 2 2 k k
2Q(h;k) rX + 2sX +t
2 = s rt
r R
f(x;y) f(x ;y ) (x ;y )0 0 0 0
2 rX +2X +t R Q(h;k)
minimumglobal,ouunsurnotationsabsolu.)OnD?nitiond'am13fonction:auunvpdonn?oinPtTh?untoutEnv:n?gatif,vrilm?me,Mongepd'unenagedeao?tlesddeuxsigned?rivSoit?esdepartielletsed'ordre.1discriminanderesteNotationleson:tariable?galesulle?v0oinestd'usageappael?leundepeloppoinentdi?rencecritique:de:fonctp.seTh?etortel?mede5Le:estSiqueuner?duitfonctionumdetdepasclasseminimid?duinageasurpunconstanouvfonctionertsidedecsl'expressionoisadmetceuns'?critextremilumnoter,loilca,lg?it?au,p:ointoutt3.4vtundexistetilMonge.sidonconede.,?meceppuneoinPtclest,unertpoinoinptpcritique.deoisinagedeuxs.deEnsieedutdesitvdiscriminanadmet:uonSiminimeumn(resp.trin?meunracinemaximsigneum)uneneutariableseD?nitionde12admett.ointpestundans,deendeux?tan.tstrictemendeleclasselimite)oinrelatifdeau,vpoisinageoideicedeppointt,:le,sestfonctionsdepquar