Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Matrices : indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 100
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire

1

Réponses et Indications (Matrices)

Exercice 1 (d’après ESLSCA 99)
Partie A
 −− −
1) A2=142654et=− − −
10 10 9 A3111312201938132738.
2) a=6 ,b= −11 etc=6 . DoncA3=6A2−11A+6I.
3) ExprimerIen fonction deAet factoriser parA.
ible et
Aest inversA−1=16(A2−6A+11I)=61−−412−−522−222.
4) S={(3,2,1)}. Le système équivaut àAxyz=2831. Résoudre en utilisantA−1.

Partie B
1P−1=1220−0212.
) 2 2 1
− − −
1 0 0
2) B=0023et∀n∈Bn=002001n003n.
0 0
3) Raisonner par récurrence.

4) ∀n∈An=21−−222nn+n+2+21−++242×××333nnn−222+−n2+22n+n++12+4−2×23××n33nn−121×+−333nnn.

Partie C
1) Pour chaque matriceM, calculerAMetMA.
2) UtiliserM=AetAN=NA.
3) M=Aéquivaut à−1A=AM−1.
4) UtiliserA=PDP−1et=PM'P−1pour écrireM=A.
5) La matriceDvérifie :d=i.
D=(di,j) avecdi,j=0 sii≠jeti,i
(
DoncMD=(jmi,j) etDM=imi,j Donc) .D=DMssi :mi,j=0 sii≠j.
 −− + −
6) M∈⇔ ∃(a,b,c)∈3M=12−442bbb+−242ccc22aa−4b42bb+4c22cc−aa2c+cc.
− + + −
Exercice 2
1) et 3)A=010010etP−1=−452−−473−121. Au 2) Raisonner par récurrence.
4−8 5

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

Algèbre linéaire 2

=
4) T=D+JavecD=010002200etJ0000010.
0 0
1 0 0
5) Tn0 2nn2n−1. Utiliser la formule du binôme en vérifiantDJ=JD.
= 20 0n
6) Raisonner par récurrence.

7) ∀n∈An=444+++(((nnn−−−2)2)2132)nn+n+21−−−444+++8((25(−−−333nnn2)2)2)nnn−+1111++(1+(nn−n−221n))+212nn−1.
8) ∀n∈un=7+(n−4)2n. UtiliserXn=AnX0.
Exercice 3 (d’après HEC 98 voie T)
Partie A : Dérivées successives d’une fonctionf
1) f' (x)=(−x2+x)e−xetf"(x)=(x2−3x+1)e−x.
=
2) et 3)ap+1= −ap,bp+12ap−bpetcp+1=bp−cp. Eta1= −1 ,b1=1 etc1=0 .
Partie B : Puissances d’une matrice
1) J=000000201doncJ2=000000020et∀p≥3Jp=0 .
 
2) Utiliser la formule du binôme carAp=(J−I)pavecIJ=JI.
1 0 0
3) ∀p∈Ap=(−1)p−2p1 0.
p(p−1)−p1
Partie C : Retour aux dérivées def
∀p∈f(p)(x)=(−1)p[x2+(1−2p)x+(p−1)2]e−x.
Exercice 4 (d’après Ecricome 2003 voie E)
Partie A : Inversion de la matriceP
23 4 4etP3=75111070180=3P2−P−I.
P=300123 
DoncP−1= −P2+3P−I=−11−12−10.
0 0 1
Partie B : Puissances de la matriceA
J=0 0 1 .
P−1AP=T=D+JavecD=010002002et0 0 0
0 0 0
Par la formule du binô1 0 0
Tn0 2nn2n−1
.
me :=0 0 2n

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Algèbre linéaire

3

Par récurrence :=−=−1+2nn+1
AnPTnP1−1+2
0
Partie C : Commutant de la matriceA
1) UtiliserM=AetM .' '
=
2) UtiliserA=PTP−1etM=PQP−1.

2−2n+1
2 2n
−
0

−11+((nn+22)12)nn−1.
− + +
2n

a x y
3) RésoudreTQ=QTpour une matriceQ=zbcuvd.
4) −a+2b2a−2b−a+b+2c
M∈(A)⇔ ∃(a,b,c)∈3M= −a+b2a−b−a+b+c. EcrireM=PQP−1.
0 0b
= −
5) K=−−1122−−11,L12−1112etN=000010002 (. C’est une base deA) .
0 0 00 0 1
Exercice 5 (d’après Ecricome 99 voie S)
1) Ecri (h1,1=1 et∀j∈2,4h1,j=0
H=havec
rei,j)h∀2i,1=∈a, 2,4h3,1=∀jb∈ e, t2h44,1=hic,j=ai−1,j−1etH même.' de
4
Calculer les coefficientsmi,j=hi,kh'k,jdeHH' .
k=1
e 1) :
2) Raisonner par récurrence en utilisant lU1=−112etUn+1=Un+VnU1.
2 1 21 0−1
W2= 00 0
3) W=0211−−−21,1 0−1et∀n≥3Wn=0.
V=W+2I, donc par la formule du binôVn=2n−3n2n2+47+nn7n+4848nn−n−2n−2−74−nn7n8.
me :+
.
4) ∀n∈MnX=X. Doncan=cn=1−(n2−n−4)2n−2etbn= −4−(n−4)2n
M1 (n2n4)2n(n7n8)2nn2n(n7n)2n.
=−2−1−−−2222+0−−1−3−30−−11−22+0−1−3−3
n
n n n n
−4−(n−4)2n2 2−n2
n n n n n n n
1−(− −4)2n(+7 )2n2n−(+7−8)2n
Exercice 6 (EM Lyon 2009 voies E et S)
Partie A
1) 2=1 0rée de1 0.
(Rθ)0 1. Donc, pour tout réelθ,Rθest une racine car0 1

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Algèbre linéaire 4

2) Montrer que la matricecdab2=0100n’a pas de solution.
Partie B
1) Utiliser un développement limité de 1+ten 0.
2) Q(X)=18−164X.
3) R=I+12N−81N2. Utiliser l’égalité polynômiale du 2).

4) A=I+NavecN3=0 . DoncR=I+21N−81N2=00211083211.
1
Partie C
1) UtiliserR=PSP−1etA=PDP−1.
(
2) SD=(si,jdj,j) etSD=di,isi,j) , et sii≠j, on adi,i≠dj,j, doncsi,j=0 .
3) S2=Dssi∀i∈1,nsi,i= ±di,i, doncDa 2nracines carrées.
2 1 1−1 1 1
P11P I1111
4) P2=121121=P+2I, donc−=2(−)=21−1−1.

D=010400009&