Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Réduction des endomorphismes et des matrices : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 689
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire  

1

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES   Exercice 1  2 1 1   1) Déterminer les valeurs propres de la matrice A=     1 11 21 2   .  2) Déterminer les sous-espaces propres associés à chacune de ces valeurs propres. 3) La matriceAest-elle diagonalisable ? 4) CalculerA n . Exercice 2

SoitE un espace vectoriel de base=(e 1 ,e 2 ,e 3  de l’endomorphisme) etE de    −4−6 0   matrice A=6 7 2  dans la   0 2−2    base. 1)  du vecteurDéterminer l’image paru= −2e 1 +e 2 +2e 3 . 2) Déterminer le noyau de . 3)  Déterminer le sous-espace propre associé.Montrer que 2 est valeur propre de . 4)  estMontrer quedéterminer une base de vecteurs propres. diagonalisable et Exercice 3 (d’après ESC 2002 voie E) On considère un paramètre réelm. Soitf de l’endomorphisme  3  qui a pour matrice dans la base canonique de  3 : A=      −2 2 2 − 2 2 + 2 − m m− 2 2 + 2 − m m      . 1) Montrer que, quel que soit le réelm, 0 est valeur propre def. 2) Montrer que 2 et 3 ne dépendent pas dem. Les comparer. 3) En déduire que 0 et 2 sont les seules valeurs propres possibles def. 4) Montrer que, quel que soit le réelm, 2 est valeur propre def. 5) Dans cette question, on suppose quem=0 . a) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =2 . b) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =0 . c) La matriceAest-elle diagonalisable ? 6) Dans cette question, on suppose quem≠0 . a) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =. 2 b) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =0 . c) La matriceAest-elle diagonalisable ? d) Montrer que les vecteurs u=(0,1,− 1) , v=(1,1,− 1) et w=(1,0,− 1) forment une base de  3 et déterminer la matriceBdefdans cette base. e) Montrer qu’il existe une matricePinv P −1 AP=    000 010   . ersible telle que   0 0 2   

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012