Exercices de mécanique des fluides – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Dynamique des fluides

Pascale Piquemal

Description

Ces exercices de mécanique des fluides, proposés avec des réponses partielles ou des aides, sont présentés en 4 séries : (1) Bilans macroscopiques (2) Cinématique des fluides (3) Dynamique des fluides (4) Viscosité des fluides

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mécanique des fluides

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

PC*Lyc´eeHoche

Me´caniquedesfluides

Dynamique des fluides

Sujet 1 : Jet d’eau

Pascale Piquemal 08/12

Del’eaucouled’unrobinet`ade´bitconstant.Onobservequelasectiondujetd’eaudiminuequand
l’altitudediminue,interpre´ter.

Sujet 2 : Vidange d’un tuyau torique
Un tuyau fixe a la forme d’un quart de tore de centre O, de rayon moyen
R et de rayona << R. Il est rempli d’eau de masse volumiqueµ.
A l’instantt= 0eno,teAsme´re´ti´usesstiestxa`esvelenl`echonsbou
Betl’eaucoule.Al’instantt,onrep`ereleniveaudelasurfacelibre
par l’angleα(t)veleitfaueqestleo`uCtaleizonh’roevlcOraCtcue
centredelasurfacelibre.UnpointMquelconque´etantrepe´re´parses
coordonn´eeshampdesvitessesestdela
v−(−M−− t→)(r==v(θR,t)θ)u→oθsnpuopesuql.ece
forme−
1/ Montrer que v(θsapdnepe´den)t,deθet exprimer v en fonction de
R etα.
2/Etablirl’´equationdiffe´rentielledudeuxi`emeordredontestsolutionα(t)octe.retnemmeduiEnd´re
sanscalculscommentladure´eτde vidange varie en fonction de R et g.

R´esultat:¨α(π2−α) +gRsinα=gR.

Sujet3:Diffe´rencedeniveauentrelesdeuxbergesd’unerive
Onseplacea`lasurfacedelaterreenunpointdelatitude(λ= 45◦ye,pO`ze)relotcdaaln(sOlxe,Ore)
avecOzlaverticaleascendante.Unerivie`recouled’Ouestversl’Est.L’´ulementestsuppos´eper-
eco
manentetirrotationnel.L’eauestassimil´eea`unfluideparfait,deplusincompressible.
1/Caract´eriserlechampdesvitessespuisdespressionsdanslere´f´erentielterrestreenconside´rantle
re´fe´rentielg´eocentriquegalile´en.
2/Larivi`ereayantunelargeur`´ffidalreulave´,aeeued’levuaudinique´eorcetherenertndselxue
berges.
R´esultat:Δp= 2µΩ sinλ`v=µgΔz.

Sujet 4 : Deux fluides immiscibles
Lesdeuxfluides,nonmiscibles,sontsuppose´sparfaits,incompressibles(masses
volumiquesµ1etµ2lolaaLerotnn.O)utudelatotrueugneeparlesbeoccup´
fluides (la section du tube est constante).
1/De´finirl’´etatd’e´quilibredusyst`eme.
2/Etudierlemouvementparrapporta`l’e´quilibre

Re´sultat:ω2=µ1(L−2µh12)g+µ2h2

Sujet5:Re´gimefluvialettorrentiel
L’eau,fluideincompressible,s’´ecouledansuncanaldefondhorizontaletdesectionrectangulaire
variable (largeur`eLlsgientuuehr.)ethal.Lartcie´aracanseudle`ellraeng´uxsaaruocedsaptnostn
vitesseestsuppose´euniformedansunesectiondroite,ellevautvodans la section`oetho.
1/ Montrer queh+v2=constante=HC.tnuclarelr´enimegerepnemaH.
2/Calculerled´ebitv2oglumique D en fonction de H, h, g et`. Etudier la fonction D(h),`,`oethoe´atnt
fix´ees.
3/ SoitDmntMorgrecadul.naxamtlamidelibe´urdoargeunelpouruq,eemtnqieuarhpee´nn`, il
existe deux valeursh1eth2sspoleiborscspreadnoa`tnˆmnudeme´ebitD < Dm.
1

PC*Lyce´eHoche

M´ nique des fluides
eca

Pascale Piquemal 08/12

4/Silecanalsubitunpetitr´etr´ecissementΔ` << `naltusvitureiDcsueh?evolens´uelsd,qsnaa
valeurinitialedeh.Onparledere´gimetorrentieletd´imefluvial.Applicationauxpilesd’unpont.
e reg

Sujet6:TubeenUavecsectionsdiff´erentes
Lefluideestsuppos´eparfaitetincompressible(massevolumiqueµ). On
suppose ques << S1etS2taonizorehubutndtnailerlalestcois.e´attn
lesdeuxr´ecipientscylindriquesdesectionsrespectivesS1etS2. L est
suffisamment”grand”(a`pre´ciser).
D´eterminerz1(t)etz2(t)le cadre des petites oscillations (dans z1(t)et
z2(t)<< ho).

s1S1+1S2)
R´esultat:ω2=sho(g(1S1+1S2)+L

Sujet 7 : Vase de Tantale
Unr´ecipientcylindrique(desectionS)d’axeverticalestalimenteen
´
eauparl’interme´diaired’unrobinetRdede´bitlumiqueD´
vo suppose
constantmaisr´eglable.Onluiadjointunsiphondevidangerepre´sente´
parletubecreuxrecourb´eABC(sectiondutubee´gale`as).S >> s.
1/De´crirequalitativementl’´evolutiondusyste`meselonlesvaleursdeD.
On calculera d’abord le d´bit du siphon.
e
2/Danslecasd’unre´gimepe´riodique,´evaluerlaperiodeTdesoscilla-
´
tions.
R´esultats:Dsiphon=s√2gzet le siphon s’amorce enz=H2et se
d´esamorceenz=H1. SiD > D2=s√2gH2lec,´eadrdbosie;D2> D >
D1=s√2gH1s;erbiliiyluai,sitinepo´equond’D < D1=s√2gH1er,lesmegi´eique,´ectp´eriodirer
´
(Dsiphon−D)dt=−dzet integrer.

Sujet 8 : Effet Magnus et voile de Flettner
Un bateau est muni d’un cylindre vertical de rayon R et de hauteur h, tournant autour d’un axe
verticala`lavitesseangulaire−→ω=ω e−→zeetsibliaitapfrrpsecnmoe`l´misideuinflau’L.satseria
leventsouffle`aunevitesseuniformeconstante−→u=u e−→xopettneielemtned.L’´ecouesssteviesld
Φ1=u→cosθ(rR2+r)erxfiildnarpp.enOqueelleudycotrutnuaudevmentouvedaumsponerrocd
−−
−
v→1=gradΦ1’L.meluoce´itevtdenseesv−→2=2Cπre−→θpourr > Rcorrespond`al’eff’dtertnenıˆanemeet
l’airparlecylindreenrotation.Onsupposeradanstoutleprobl`emelere´gimepermanent´etabliet
l’´ecoulementdufluideirrotationnel.
1/ Donner la relation entre la constanteCetω, quandu= 0. On
arquera que, dans ce mod`le, la vitesse de l’air sur le cylindre est
rem e
celle du cylindre.

Re´sultat:C= 2πR2ω.

2/ Sachant que pourr > Revudtnemetropmocleeil´sod´etremutˆentpe
parlasuperpositiondes´ecoulementscaracte´ris´esparv−→1etv−→2, calculer,
encoordonn´eespolaires,lescomposantesdelavitesseduvent.Tracerleslignesdecourantcorrespon-
dant`al’´ecoulementdua`v−→1soievr´.Pntmeleeurlesmodificationsudsea`v−→2co´eemulttenalot.opru’l
Donner l’allure des lignes de courant.
3/Sachantque,loindubateau,leventn’estpasperturbe´etquelapressioneste´gale`alapression
atmosphe´rique,de´terminerenfonctiondel’angleθ, la pression autour du cylindre (r=R).
4/D´eterminerlescomposantesdelare´sultantedesforcesdepressionquis’exercentsurlecylindre
parunite´dehauteur.
2

PC*Lyce´eHoche

Re´sultat:−2πµR2ωue−→y.

Mecanique des fluides
´

Pascale Piquemal 08/12

Repr´esentercetteforcesurlafigureou`vousaveztrace´leslignesdecourantetpr´eciserleszonesde
forteetdebassepression.Cephe´nome`nes’appellel’effetMagnus.
5/Pr´ecisersurunsch´emalesensderotationducylindrecorrespondant`auneforcepropulsive.Quelle
est l’allure du vent la plus favorable ?
6/ La vitesse du vent est10ms−1. La masse volumique de l’air est13kgm−3. Le cylindre a une
hauteur de5met un rayon de30cm. La vitesse angulaire a pour valeurω= 30rads−1. Calculer la
valeurnume´riquemaximaledelaforcepropulsive.
7/Apartirdel’e´tudepre´ce´dente,expliquerpourquoiuneballeanim´eed’unevitesseinitiale−u→=u e−→x
parrapport`aunr´ef´erentielgalil´eenetd’unevitessederotationpropre−→ω=ω e−→zeecajirtoutirrtence´d
courbe.

Sujet 9 : Paradoxe de d’Alembert
Unfluideparfait(nonvisqueux),conside´r´ecommeinfini,incompressible,
de ma qµs’´ ¸
sse volumi ue ecoule de facon non tourbillonnaire autour d’une
sphe`redecentreOetderayonR,maintenuefixe.Loindel’obstacle,
e−→z.
l1’/´ecSoouilteumnenptoteesntticealradcetve´irtise´essspeasrdleucthyapempΦ(dMes tv)it=es(s1es+v2Rro(33t))vo(t)e−→z∙O−−M→.
Ende´duirelechampdesvitesses.
a
2/De´montrerquet∂∂µ+Φµv22 +p+µgzest un invariant spatial ` t
fix´emaisquelconque.
3/End´eduirelechampdepressionsauseindufluide.
4/Calculerlare´sultantedesforcesdepressionquis’exercentsurla
h`
sp ere.
5/Quedevientcetter´esultantelorsquevo(t)etfnsedne´iaittdanndpe?et
6/Commentre´soudreceparadoxeditded’Alembert,auvudecequel’onaapprisdanslecourssur
latraıˆne´eline´aireouquadratiqued’unesphe`redansune´coulementfluide?
7/PourretrouverlaforcedetraG