Knotengruppen Darstellungen und Invarianten von endlichem Typ

Michael Eisermann

Description

Knotengruppen-Darstellungen und Invarianten von endlichem Typ Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitat zu Bonn vorgelegt von Michael Eisermann Bonn 2000

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Extrait

Knotengruppen-Darstellungenund
Invariantenvon endlichemTyp
Inaugural-Dissertation
zur
ErlangungdesDoktorgrades
der
Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakulta¨t
ander
RheinischenFriedrich-Wilhelms-Universita¨t zuBonn
vorgelegt von
MichaelEisermann
Bonn2000Angefertigt mit Genehmigung
der Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakulta¨t
der RheinischenFriedrich-Wilhelms-Universita¨t Bonn
Referent:Prof.Dr. C.-F.Bo¨digheimer
Korreferent:Prof.Dr. F.Pop
Tagder Promotion:13. Januar 2000
MathematicsSubject Classification:
57M25Knots and links in the 3-sphere
57M27 Invariants ofknots and3-manifolds
57M05 Fundamental group and presentations
20C40 Computational methods
57–04 Explicit machine computation and programs
ADiese Arbeit wurde mit LT X2 im Formatamsbookgesetzt.E
Die Verwendung derSchriftfamilie NewCentury Schoolbook
wurde durch das Paketnewcentrealisiert.
Druck: Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universita¨t Bonn
ISSN 0524–045X
"WeißschimmertdaseinsameSegel
im blassblauenNebeldesMeeres!
Was suchtesimfernenLande?
Was ließesam Heimatstrand zuru¨ck?
Die Wellenspielen,derWindpfeift,
und derMastbiegtsichund knarrt.
O weh–seinGlu¨cksucht esnicht,
und esfliehtauch nicht davor.
MichailLermontov,DasSegel
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...Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Zum Aufbau dieserArbeit ................................................. 2
TeilI:Knotengruppen-Darstellungen ...................................... 2
TeilII:Vassiliev-Invarianten .............................................. 5
Bezeichnungen ............................................................. 7
TEIL I: KNOTENGRUPPEN-DARSTELLUNGEN
Kapitel 1. Grundbegriffe der Knotentheorie 9
1.1. Knoten und Verschlingungen ........................................ 9
1.2. Die Kategorie derTangles ........................................... 11
1.3. Zo¨pfeund Markov-Zu¨ge ............................................. 12
1.4. Diagramme und Reidemeister-Zu¨ge ................................. 14
1.5. Verbundene Summe ................................................. 16
1.6. Spiegelung, Reversion, Inversion .................................... 17
1.7. Wassind und was sollen Invarianten? .............................. 18
Kapitel 2. Darstellungen von Knotengruppen 21
2.1. Die Knotengruppe ................................................... 22
2.2. Die Wirtinger-Pra¨sentation ......................................... 23
2.3. Knoten und lange Knoten ........................................... 24
2.4. Fa¨rbungen von Knotendiagrammen ................................. 25
2.5. Die Kategorie derQuandel .......................................... 28
2.6. Quandel von Knoten und langen Knoten ............................ 28
2.7. Quandel- versus Gruppenfa¨rbungen ................................ 31
2.8. Fa¨rbungszahlen und Zopfgruppen-Darstellungen ................... 32
2.9. HomomorpheBilder von Knotengruppen ........................... 34
Kapitel 3. Fa¨rbungspolynome 35
3.1. Definition ............................................................ 35
3.2. Anwendungen und Beispiele ........................................ 36
3.3. Die Longitudengruppe ............................................... 38
3.4. Der Fa¨rbungsring ................................................... 39
3.5. PerfekteGruppen ................................................... 41
3.6. Verbundene Summe und Symmetrien ............................... 43
3.7. Periodische Knoten .................................................. 45
3.8. Mo¨gliche Verfeinerungen ............................................ 48
3.9. Mo¨gliche Verallgemeinerungen ...................................... 49
vvi Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4. Zentrale Erweiterungen 51
¨4.1. Uberlagerung perfekterGruppen ................................... 51
4.2. Hochhebung von Fa¨rbungspolynomen ............................... 53
4.3. Beispiele ............................................................. 54
4.4. Universelle Fa¨rbungsgruppen ....................................... 55
4.5. Unendliche Fa¨rbungsgruppen ....................................... 56
4.6. Reduktionauf endliche Fa¨rbungsgruppen .......................... 57
4.7. Anwendung auf Fa¨rbungspolynome ................................. 58
Kapitel 5. Ein schneller Algorithmus zur Knotenfa¨rbung 61
5.1. Erzeuger der Knotengruppe ......................................... 62
5.2. Ein typisches Beispiel ............................................... 64
5.3. Fa¨rbungsskripte und ihre Komplexita¨t ............................. 66
5.4. Reduktionrationaler Tangles ....................................... 68
5.5. Optimierte Skripteund ihre Komplexita¨t ........................... 71
5.6. Anwendungen und Beispiele ........................................ 73
5.7. Diedurchschnittliche Komplexita¨t .................................. 74
5.8. Conway-Polyeder .................................................... 76
5.9. Arboreszente Knoten ................................................ 78
5.10. AbschließendeBemerkungen ........................................ 80
TEIL II: INVARIANTEN VON ENDLICHEM TYP
Kapitel 6. Grundbegriffe der Vassiliev-Theorie 81
6.1. Definition nach Birman und Lin .................................... 81
6.2. Prominentestes Beispiel:dasJones-Polynom ........................ 82
6.3. DieVassiliev-Filtrierung der Tangle-Kategorie ..................... 84
6.4. LineareDarstellungen der Zopfgruppen ............................ 85
6.5. Vassiliev-Invarianten aus R-Matrizen ............................... 86
6.6. Vassiliev-Invarianten aus der Artin-Magnus-Darstellung .......... 88
Kapitel 7. Der Kontsevich-Isomorphismus 91
7.1. DieHopf-Algebrader Knoten ....................................... 91
7.2. DieHopf-Algebrader Sehnendiagramme ........................... 92
7.3. DieAlgebra derVassiliev-Invarianten .............................. 95
7.4. Der Kontsevich-Isomorphismus ..................................... 95
7.5. OffeneFragen ....................................................... 96
Kapitel 8. Vassiliev-Invarianten sind Polynome 97
8.1. Twistfolgen .......................................................... 98
8.2. Geometrische Folgen ................................................ 99
8.3. Geometrische Gitter ................................................. 100
8.4. Charakterisierung von Vassiliev-Invarianten als Polynome ......... 101
8.5. Invarianten in endlicher Charakteristik ............................ 102
8.6. Anwendung auf Brezel-Knoten ...................................... 104
8.7. DieSuche nach nicht-unterscheidbaren Knoten .................... 105
8.8. Anwendung auf Zopfgruppen ........................................ 107Inhaltsverzeichnis vii
Kapitel 9. Fa¨rbungszahlen sind nicht von endlichemTyp 109
9.1. Sequentiell beschra¨nkte Invarianten ................................ 109
9.2. Zopfindex,Geschlecht, Entknotungs- und Bru¨ckenzahl ............. 110
9.3. Die Anzahl derKnotengruppen-Darstellungen ...................... 112
9.4. NilpotenteGruppen ................................................. 113
9.5. Verallgemeinerung auf Verschlingungen ............................ 114
Zusammenfassung 117
Fa¨rbungspolynome ........................................................ 117
Algorithmen ............................................................... 118
Vassiliev-Invarianten ...................................................... 118
Offene Fragen ............................................................. 120
Anhang A. Alexander-Moduln 121
Anhang M. Metazyklische Gruppen 123
Anhang P. DiskretePolynomfunktionen 124
Literaturverzeichnis 127
Nachwort 133
Lebenslauf 135Oft schonhatteersoempfunden,oftschonsogedacht,sogefu¨rchtet.
(...) undnachWochenoderMonaten,nachQualoderBeta¨ubungwardie
Auferstehunggekommen,neuerBrand,neuerAusbruchderunterirdischen
Feuer,neueglu¨hendereWerke,neuergla¨nzenderLebensrausch.
Sowaresgewesen,unddieZeitenderQual unddesVersagens,
dieelendenZwischenzeitenwarenvergessenwordenunduntergesunken.
HermannHesse, Klingsors letzterSommer
Einleitung
Die mathematische Untersuchung von Knoten beginnt in der ersten Ha¨lfte
des 19.Jahrhunderts mit C.F.Gauß und seinen Studien zur Elektrodynamik.Sie
wurdefortgefu¨hrtvonseinemSchu¨lerJ.B.Listing,demwirauchdieBezeichnung
Topologie verdanken. Als eigensta¨ndiges Gebiet wurden Knoten von P.G.Tait,
T.P.KirkmanundC.N.Littlebehandelt,diegegenEndedes19.Jahrhunderts eine
empirische Klassifikation einfacher Knoten unternahmen. Mit der Entwicklung
vonTopologieundalgebraischerTopolo