PCSIB Mécanique

Description

PCSIB Mécanique 2011-2012 TD11 Système de deux points matériels 4 Positronium 1. Comme les 2 particules ont même masse, le centre de masse C est au milieu du segment reliant les 2 particules et les rayons des trajectoires sont identiques. 2. L'énergie potentielle est due uniquement à l'interaction électrostatique entre l'électron et le positron (l'interaction gravitationnelle est négligeable) donc, en notant r la distance entre les 2 particules : Ep = ? e 2 4pi0r Le centre de masse étant fixe dans le référentiel du laboratoire, on a Ec = E?c . Comme l'énergie cinétique barycentrique E?c est l'énergie cinétique d'une particule fictive M de masse µ = m 2 m+m = m 2 , repéré par le vecteur position ??? CM = ????? M1M2, on en déduit que Ec = 12 m 2 v 2 avec ??v = d ??? CM dt . Ainsi, E = 14mv 2 ? e 2 4pi0r Expression de v en fonction de r La particule fictive décrit un cercle de rayon r, de centre C et n'est soumis qu'à la force d'interaction : ?? F = ? e 2 4pi0r2 ??ur où ??ur est le vecteur unitaire dirigé de C vers M . Cette force étant centrale, le moment cinétique ??? ? est un vecteur constant : le mouvement est plan.

• interaction électrostatique entre l'électron


• minimum de ep


• vecteur constant


• système isolé


• particule


• energie cinétique

Sujets

• Système isolé
• Particule
• Énergie cinétique

Informations

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Extrait

PCSIB

MÉcanique

2011-2012

TD11 SystÈme de deux points matÉriels 4 Positronium 1. Commeles 2 particules ont mme masse, le centre de masseCest au milieu du segment reliant les 2 particules et les rayons des trajectoires sont identiques.

2. L’Énergiepotentielle est due uniquement À l’interaction Électrostatique entre l’Électron et le positron (l’interaction gravitationnelle est nÉgligeable) donc, en notantrla distance entre les 2 particules : 2 e E p =− 4π 0 r ∗ Le centre de masse Étant fixe dans le rÉfÉrentiel du laboratoire, on aE c =E. Comme c ∗ l’Énergie cinÉtique barycentriqueEest l’Énergie cinÉtique d’une particule fictiveMde masse c −−→−−−→ 2 m m µ= =, repÉrÉ par le vecteur positionCM=M 1 M 2 , on en dÉduit que m+m2 1m 2 E c =v 2 2 −−→ −→ dCM avecv=. dt Ainsi, 2 1 2e E=mv− 4 4π 0 r

Expression deven fonction der La particule fictive dÉcrit un cercle de rayonr, de centreCet n’est soumis qu’À la force −→ 2 e −→−→ d’interaction :F=− 2 u r oÙu r est le vecteur unitaire dirigÉ deCversM. 4π 0 r −→ ∗ Cette force Étant centrale, le moment cinÉtiqueσest un vecteur constant : le mouvement −−→ −→ −→−→ ˙ est plan. De plus, en coordonnÉes polaires,CM=ru r etv=rθu θ (carrest constant) donc 2 ˙ r θest une constante du mouvement. −→ ˙ Commerest constant, on en dÉduit queθest constant et donc que la norme devest constante : le mouvement circulaire est uniforme. 2 −→ 2 v −→ ˙ Ainsi,a=−u~θr r =−u r et en appliquant le PFD À la particule fictive, on a r