PSI Mai MATHEMATIQUES

Description

PSI Mai 2011 MATHEMATIQUES Préparation à l'oral Planche 1 Exercice 1 : Soit E = IRn[X]. On considère l'application ? : E ? IR P 7?? ∫ 1 ?1 P (t) 1+t2dt Soient (x0, x1, · · · , xn) n + 1 réels distincts. Démontrer qu'il existe n + 1 réels uniques (a0, a1, · · · , an), tels que :?P ? E,?(P ) = n∑ k=0 akP (xk). Donner une méthode « pratique» de calcul des ai. Exercice 2 : 1) Montrer que, pour 0 < x < 1, f(x) = ∫ x 0 ln (1? t) t dt = ∫ 1 1?x ln t 1? t dt. 2) En admettant que +∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 , montrer que f ( 1 2 ) = ? +∞∑ n=1 1 2nn2 = (ln2)2 2 ? pi2 12 . 3) A l'aide du développement en série de Fourier de la fonction 2pi périodique coïnci- dant avec l'identité sur [?pi, pi], montrer le résultat précédemment admis.

• nature de la surface d'équation x2


• déterminant de la matrice ?


• a1 a1


• réelles distinctes


• déterminant égal

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mai 2011
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Mai 2011

PrÉparation À l’oral

Planche 1 Exercice 1: SoitE=IR n [X]. On considÈre l’application ϕ:E→IR R 1 P(t) P→7− 2 dt − 1 1+t Soient(x 0 , x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )n+ 1rÉels distincts. DÉmontrer qu’il existen+ 1rÉels uniques(a 0 , a 1 ,∙ ∙ ∙, a n ), tels que :∀P∈E, ϕ(P) = n X a k P(x k ). k=0 Donner une mÉthode « pratique» de calcul desa i . Exercice 2: Z Z x1 ln(1−t)lnt 1) Montrer que, pour0< x <1,f(x) =dt=dt. 0 t 1−x 1−t +∞   +∞ X X 2 22 1π(1 1ln2)π 2) En admettant que=, montrer quef=−=−. 2n2 n26 2n2 12 n=1n=1 3) A l’aide du dÉveloppement en sÉrie de Fourier de la fonction2πpÉriodique conci- dant avec l’identitÉ sur[−π, π], montrer le rÉsultat prÉcÉdemment admis. Planche 2 Exercice 1: On dÉfinit la suite de fonctions(f n ) n∈IN par : ∗ √ p ∗ ∀x∈[0,1], f 1 (x2 + 2) =xet∀n∈fIN , n+1 (x2 +) =f n (x). 1. Etablir que :∀x∈[0,1],(f n (x)) n∈IN est croissante, majorÉe par 2 et minorÉe par ∗ √ 2. 2. Etablir la convergence simple de(f n (x)) n∈IN sur[0,1]. ∗ Z 1 dx 3. Etudier la suite(a n ) n∈IN oÙa n = r . ∗ q 0 p √ 2 +2 +∙ ∙ ∙+ 2+ 2x Exercice 2: √ √ SoitPla courbe d’Équationx+y= 1. π 4 4 1. Justifier qu’il existeθ∈[0,],x(= cosθ), y= sin(θ). 2 2. Montrer quey=xest un axe de symÉtrie pourP.   1 1 √ 3. Trouver une Équation cartÉsienne dePdans le repÈre(O, I, J)oÙI= 2 −1   1 1 etJ=. √ 2 1 4. En dÉduire nature, construction et longueur deP.

1