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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 273 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Formes bilinéaires
quadratiques
symétriques
et
Exercice 1[ 00001 ][correction]
Etablir que
Z01(t) dt
q(P) =P(t)P00
définit une forme quadratique surR[X]et exprimer sa forme polaire.
Enoncés
formes
Exercice 2[ 00002 ][correction]
Soientf1 f2∈E?etq(x) =f1(x)f2(x). Montrer queqdéfinit une forme
quadratique surEet exprimer sa forme polaire.
Exercice 3[ 00004 ][correction]
Soitqune forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique positiveϕ
sur unR-espace vectorielE. Pourx∈E, montrer
q(x) = 0⇔ ∀y∈E ϕ(x y) = 0
Exercice 4[ 00003 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie.
a) Soientf gdeux formes linéaires deE. Montrer queq(x) =f(x)g(x)est une
forme quadratique.
b) Soientqune forme quadratique etHun hyperplan. On suppose que pour tout
x∈H,q(x) = 0. Montrer queqest le produit de deux formes linéaires.
Exercice 5X MP[ 02940 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C).
On suppose
{X∈CnX?AX=X?BX= 0}={0}
Montrer qu’il existeP∈GLn(C)telle queP?AP
supérieures.
etP?BP
sont triangulaires
Exercice 6[ 03078 ][correction]
Soitqune forme quadratique non nulle surM2(C)telle que
∀(A B)∈ M2(C) q(AB) =q(A)q(B)
Montrer queqs’annule sur le complémentaire de GL2(C)puis queqest le
déterminant.
Exercice 7CCP MP[ 03787 ][correction]
PourPappartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose
1
φ(P) =Z−1P2(t) dt
1
a) Montrer queφ12est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera.
b) Calculer la matrice de la forme quadratiqueφdans la base canonique.
c) En déduire la forme analytique donnant l’expression deφrelativement à la
base canonique.
d) Ecrire
φ(P) =αa2+βb2+γc2
avecα β γ∈Reta b cles coordonnées dePdans une base à préciser.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
ϕ(P Q(4)1=q(−Q 1)) =Z1(t)Q(t) dt
P+Q)−q(P P(t)Q00(t) +P00
20
est une forme bilinéaire symétrique et doncqest une forme quadratique dontϕ
est la forme polaire.
Exercice 2 :[énoncé]
ϕ(x y) =41(q(x+y)−q(x−y)) =21(f1(x)f2(y) +f1(y)f2(x))est une forme
bilinéaire symétrique et doncqest une forme quadratique dontϕest la forme
polaire.
Exercice 3 :[énoncé]
(⇐)il suffit de prendrey=x.
(⇒)Par Cauchy Schwarz, on sait
|ϕ(x y)|26q(x)q(y)
ce qui permet de conclure.
Exercice 4 :[énoncé]
a)qest la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique
ϕ(x y) =12(f(x)g(y) +f(y)g(x)).
b) Soitaun vecteur n’appartenant pas àH. Pour toutx∈E, on écrit de manière
uniquex=h+λaet on observe aisément quex7→hetx7→λsont des
applications linéaires. En introduisantϕla forme polaire deq, on a
q(x) =q(h) + 2λϕ(a h) +λ2q(a) =λ(2ϕ(a h) +λq(a)) =f(x)g(x)avecf(x) =λ
etg(x) = 2ϕ(a h) +λq(a)formes linéaires.
Exercice 5 :[énoncé]
Raisonnons par récurrence surn∈N?
.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn−1>1.
SoientA B∈ Mn(C)vérifiant
{X∈CnX?AX=X?BX= 0}={0}
2
ConsidéronsP(λ) = det(A+λB).
CasdetAdetB6= 0.
Pest un polynôme complexe non constant donc il existeλ, nécessairement non
nul tel queP(λ) = 0.
Par suite, il existeX∈Cn,X6= 0tel queAX+λBX= 0.
SoitF={Y∈CnY?AX= 0}.
Puisqueλ6= 0,F={Y∈CnY?BX= 0}.
SiX∈FalorsX?AX= 0et doncX?BX= 0ce qui entraîneX= 0ce qui est
exclu.
De mmeAX6= 0car comme ci-dessusAX= 0entraîneX= 0.
On en déduit queFest un hyperplan etCn=Vect(X)⊕F.
Soientϕetψles formes sesquilinéaires représentées parAetB.
On peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux restrictions àFdes formes
sesquilinéairesϕetψ. En formant une base deCnen accolantXet une base deF
trigonalisant les restrictions deψetψ, on obtient une base deCntrigonalisantϕ
etψpuisque∀Y∈F ϕ(Y X) =Y?AX= 0etψ(Y X) =Y?BX= 0.
Par formule de changement de base, ce qui précède signifie qu’il existe
P∈GLn(C)vérifiantP?APetP?BPsont triangulaires supérieures.
Exercice 6 :[énoncé]
Commençons par quelques résultats préliminaires. . .
Calculonsq(I2).
PuisqueI2=I22, on aq(I2) =q(I22) =q(I2)q(I2)doncq(I2) = 0ou 1.
Siq(I2) = 0alors pour toutA∈ M2(C),q(A) =q(A×I2) =q(A)q(I2) = 0et
˜
doncq= 0ce qui est exclu.
On en déduitq(I2) = 1.
Etudions maintenant les valeurs deqsur des matrices semblables.
SoientA B∈ M2(C)semblables.
Il existeP∈GL2(C)tel queB=P−1APet alorsq(B) =q(P−1)q(A)q(P) =q(A)
carq(P−1)q(P) =q(I2) = 1.
Ainsiqprend les mmes valeurs sur des matrices semblables.
Calculonsq(A)pour
E12=0100
A=
PuisqueE122=O2, on aq(E12)2=q(E122) =q(O2) = 0et doncq(E12) = 0.
Calculonsq(A)pour
A=E11=0100
PuisqueE121=E11, on aq(E11)2=q(E121) =q(E11)et doncq(E11) = 0ou 1.
Par l’absurde, supposonsq(E1 1) = 1
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
PuisqueAest semblable àE22,q(E11) =q(E22).
Par l’identité du parallélogramme
q(E11+E22) +q(E11−E22) = 2(q(E11) +q(E22)) = 4.
Orq(E11+E22) =q(I2) = 1etq(E11−E22) = 1ou−1car(E11−E22)2=I2.
C’est absurde.
On en déduitq(A) = 0et au passage on observeq(E11−E22) =−1.
Considérons maintenantA∈ M2(C)non inversible.
La matrice est semblable à
0001ou00λ0
Dans les deux casq(A)
Considérons maintenant
ronsq(A) =λµ.
= 0.
A=λ00µet mont
A=λ1000+µ
0
0
0
1
donc
q(A) =λ2q(E11) + 2λµϕ(E11 E22) +µ2q(E22)
Orq(E11) =q(E22) = 0et
ϕ(E11 E22(14=)q(E11+E22)−q(E11−E22)21=)
doncq(A) =λµ= detA.
L’identité qui précède est encore vraie siAest diagonalisable et puisque
l’applicationqet l’applicationdetsont continues et coïncident sur l’ensemble des
matrices diagonalisables qui est une partie dense dansM2(C), on peut conclure
que l’applicationqest le déterminant surM2(C).
Exercice 7 :[énoncé]
a) On vérifie sans peine que
ϕ(P Q) =Z−11P(t)Q(t) dt
définit un produit scalaire sur l’espace considéré et queφ(P) =ϕ(P P).
b) On remplit la matrice en calculantϕ(Xi Xj). On obtient la matrice
2203200223053
3
c) En écrivantP=a+bX+cX2, la matrice précédente permet de calculerφ(P)
et l’on obtient
φ(P) = 2a223+b2+23ac+25c2
d) On peut aussi écrire
avec
φ(P) = 2(a16+c)2+32b23+910c2
P= (a+c6) +bX+c(X2−16)
On obtient alors une forme
φ(P) =αa2+βb2+γc2
aveca b cles coordonnées dePdans la base(1 X X2−16). Notons que
d’autres solutions sont aussi possibles. . .
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