Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Formes bilinéaires symétriques et formes Exercice 6 [ 03078 ] [correction] Soit q une forme quadratique non nulle surM (C) telle que2quadratiques ∀(A,B)∈M (C),q(AB) =q(A)q(B)2 Exercice 1 [ 00001 ] [correction] Montrer que q s’annule sur le complémentaire de GL (C) puis que q est le2Etablir que Z 1 déterminant. 00q(P) = P(t)P (t)dt 0 définit une forme quadratique sur R[X] et exprimer sa forme polaire. Exercice 7 CCP MP [ 03787 ] [correction] Pour P appartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose Z 1 2Exercice 2 [ 00002 ] [correction] φ(P) = P (t)dt ? −1Soient f ,f ∈E et q(x) =f (x)f (x). Montrer que q définit une forme1 2 1 2 quadratique sur E et exprimer sa forme polaire. 1/2a) Montrer que φ est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera. b) Calculer la matrice de la forme quadratique φ dans la base canonique. c) En déduire la forme analytique donnant l’expression de φ relativement à la Exercice 3 [ 00004 ] [correction] base canonique. Soitq une forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique positive ϕ d) Ecrire 2 2 2sur unR-espace vectoriel E. Pour x∈E, montrer φ(P) =αa +βb +γc avec α,β,γ∈R et a,b,c les coordonnées de P dans une base à préciser.q(x) = 0⇔∀y∈E,ϕ(x,y) = 0 Exercice 4 [ 00003 ] [correction] Soit E unR-espace vectoriel de dimension finie. a) Soient f,g deux formes linéaires de E. Montrer que q(x) =f(x)g(x) est une forme quadratique.

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Langue Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Formes bilinéaires
quadratiques

symétriques

et

Exercice 1[ 00001 ][correction]
Etablir que
Z01(t) dt
q(P) =P(t)P00
définit une forme quadratique surR[X]et exprimer sa forme polaire.

Enoncés

formes

Exercice 2[ 00002 ][correction]
Soientf1 f2∈E?etq(x) =f1(x)f2(x). Montrer queqdéfinit une forme
quadratique surEet exprimer sa forme polaire.

Exercice 3[ 00004 ][correction]
Soitqune forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique positiveϕ
sur unR-espace vectorielE. Pourx∈E, montrer

q(x) = 0⇔ ∀y∈E ϕ(x y) = 0

Exercice 4[ 00003 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie.
a) Soientf gdeux formes linéaires deE. Montrer queq(x) =f(x)g(x)est une
forme quadratique.
b) Soientqune forme quadratique etHun hyperplan. On suppose que pour tout
x∈H,q(x) = 0. Montrer queqest le produit de deux formes linéaires.

Exercice 5X MP[ 02940 ][correction]
SoientA B∈ Mn(C).
On suppose
{X∈CnX?AX=X?BX= 0}={0}

Montrer qu’il existeP∈GLn(C)telle queP?AP
supérieures.

etP?BP

sont triangulaires

Exercice 6[ 03078 ][correction]
Soitqune forme quadratique non nulle surM2(C)telle que

∀(A B)∈ M2(C) q(AB) =q(A)q(B)

Montrer queqs’annule sur le complémentaire de GL2(C)puis queqest le
déterminant.

Exercice 7CCP MP[ 03787 ][correction]
PourPappartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose
1
φ(P) =Z−1P2(t) dt

1

a) Montrer queφ12est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera.
b) Calculer la matrice de la forme quadratiqueφdans la base canonique.
c) En déduire la forme analytique donnant l’expression deφrelativement à la
base canonique.
d) Ecrire
φ(P) =αa2+βb2+γc2

avecα β γ∈Reta b cles coordonnées dePdans une base à préciser.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
ϕ(P Q(4)1=q(−Q 1)) =Z1(t)Q(t) dt
P+Q)−q(P P(t)Q00(t) +P00
20
est une forme bilinéaire symétrique et doncqest une forme quadratique dontϕ
est la forme polaire.

Exercice 2 :[énoncé]
ϕ(x y) =41(q(x+y)−q(x−y)) =21(f1(x)f2(y) +f1(y)f2(x))est une forme
bilinéaire symétrique et doncqest une forme quadratique dontϕest la forme
polaire.

Exercice 3 :[énoncé]
(⇐)il suffit de prendrey=x.
(⇒)Par Cauchy Schwarz, on sait
|ϕ(x y)|26q(x)q(y)

ce qui permet de conclure.

Exercice 4 :[énoncé]
a)qest la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique
ϕ(x y) =12(f(x)g(y) +f(y)g(x)).
b) Soitaun vecteur n’appartenant pas àH. Pour toutx∈E, on écrit de manière
uniquex=h+λaet on observe aisément quex7→hetx7→λsont des
applications linéaires. En introduisantϕla forme polaire deq, on a
q(x) =q(h) + 2λϕ(a h) +λ2q(a) =λ(2ϕ(a h) +λq(a)) =f(x)g(x)avecf(x) =λ
etg(x) = 2ϕ(a h) +λq(a)formes linéaires.

Exercice 5 :[énoncé]
Raisonnons par récurrence surn∈N?
.
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn−1>1.
SoientA B∈ Mn(C)vérifiant

{X∈CnX?AX=X?BX= 0}={0}

2

ConsidéronsP(λ) = det(A+λB).
CasdetAdetB6= 0.
Pest un polynôme complexe non constant donc il existeλ, nécessairement non
nul tel queP(λ) = 0.
Par suite, il existeX∈Cn,X6= 0tel queAX+λBX= 0.
SoitF={Y∈CnY?AX= 0}.
Puisqueλ6= 0,F={Y∈CnY?BX= 0}.
SiX∈FalorsX?AX= 0et doncX?BX= 0ce qui entraîneX= 0ce qui est
exclu.
De mmeAX6= 0car comme ci-dessusAX= 0entraîneX= 0.
On en déduit queFest un hyperplan etCn=Vect(X)⊕F.
Soientϕetψles formes sesquilinéaires représentées parAetB.
On peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux restrictions àFdes formes
sesquilinéairesϕetψ. En formant une base deCnen accolantXet une base deF
trigonalisant les restrictions deψetψ, on obtient une base deCntrigonalisantϕ
etψpuisque∀Y∈F ϕ(Y X) =Y?AX= 0etψ(Y X) =Y?BX= 0.
Par formule de changement de base, ce qui précède signifie qu’il existe
P∈GLn(C)vérifiantP?APetP?BPsont triangulaires supérieures.

Exercice 6 :[énoncé]
Commençons par quelques résultats préliminaires. . .
Calculonsq(I2).
PuisqueI2=I22, on aq(I2) =q(I22) =q(I2)q(I2)doncq(I2) = 0ou 1.
Siq(I2) = 0alors pour toutA∈ M2(C),q(A) =q(A×I2) =q(A)q(I2) = 0et
˜
doncq= 0ce qui est exclu.
On en déduitq(I2) = 1.
Etudions maintenant les valeurs deqsur des matrices semblables.
SoientA B∈ M2(C)semblables.
Il existeP∈GL2(C)tel queB=P−1APet alorsq(B) =q(P−1)q(A)q(P) =q(A)
carq(P−1)q(P) =q(I2) = 1.
Ainsiqprend les mmes valeurs sur des matrices semblables.
Calculonsq(A)pour
E12=0100
A=

PuisqueE122=O2, on aq(E12)2=q(E122) =q(O2) = 0et doncq(E12) = 0.
Calculonsq(A)pour
A=E11=0100
PuisqueE121=E11, on aq(E11)2=q(E121) =q(E11)et doncq(E11) = 0ou 1.
Par l’absurde, supposonsq(E1 1) = 1

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Corrections

PuisqueAest semblable àE22,q(E11) =q(E22).
Par l’identité du parallélogramme
q(E11+E22) +q(E11−E22) = 2(q(E11) +q(E22)) = 4.
Orq(E11+E22) =q(I2) = 1etq(E11−E22) = 1ou−1car(E11−E22)2=I2.
C’est absurde.
On en déduitq(A) = 0et au passage on observeq(E11−E22) =−1.
Considérons maintenantA∈ M2(C)non inversible.
La matrice est semblable à
0001ou00λ0

Dans les deux casq(A)
Considérons maintenant

ronsq(A) =λµ.

= 0.
A=λ00µet mont
A=λ1000+µ

0
0

0
1

donc
q(A) =λ2q(E11) + 2λµϕ(E11 E22) +µ2q(E22)
Orq(E11) =q(E22) = 0et

ϕ(E11 E22(14=)q(E11+E22)−q(E11−E22)21=)
doncq(A) =λµ= detA.
L’identité qui précède est encore vraie siAest diagonalisable et puisque
l’applicationqet l’applicationdetsont continues et coïncident sur l’ensemble des
matrices diagonalisables qui est une partie dense dansM2(C), on peut conclure
que l’applicationqest le déterminant surM2(C).

Exercice 7 :[énoncé]
a) On vérifie sans peine que
ϕ(P Q) =Z−11P(t)Q(t) dt

définit un produit scalaire sur l’espace considéré et queφ(P) =ϕ(P P).
b) On remplit la matrice en calculantϕ(Xi Xj). On obtient la matrice
2203200223053

3

c) En écrivantP=a+bX+cX2, la matrice précédente permet de calculerφ(P)
et l’on obtient
φ(P) = 2a223+b2+23ac+25c2

d) On peut aussi écrire

avec

φ(P) = 2(a16+c)2+32b23+910c2

P= (a+c6) +bX+c(X2−16)

On obtient alors une forme

φ(P) =αa2+βb2+γc2

aveca b cles coordonnées dePdans la base(1 X X2−16). Notons que
d’autres solutions sont aussi possibles. . .

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