Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Nombres factoriels

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Nombres

factoriels

Exercice 1[ 02079 ][correction]
Exprimer2×4× ∙ ∙ ∙ ×(2n)puis1×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)à l’aide de factoriels

Exercice 2[ 02080 ][correction]
Montrer de deux manières que pour toutn∈N?

n n
Y(4k−2) =Y(n+k)
k=1k=1

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

et

Corrections

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

n+1n
Y(n+ 1 +k) =Y(n+k)×(4n+ 2)
k=1k=1

Récurrence établie.
(2) Directe :

n n(2k−1) = 2n(1×3×  ×(2n− (21)) =n)!
Y(4k−2) = 2nYn!
k=1k=1

nY(n+k) = (n+ 1)(n+ 2)  (2n (2) =nn!)!
k=1

n+1n n
Y(4k−2) =Y(4k−2)×(4n+ 2)H=RY(n+k)×(4n+ 2)
k=1k=1k=1

n+1(n+ 2)(n+ 3)  (2n+ 2)Yn(n+k)×(2n+ 1)(2n+ 2)
Y(n+ 1 +k) = =n
k=1k=1+ 1

et

donc

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
246× ∙ ∙ ∙ ×(2n) = 2n123× ∙ ∙ ∙ ×n= 2nn!et
135× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1) =12345246×6∙×∙∙×∙∙∙(×(2n)2n×)(2n+1)=2(2nn+n!1)!.

Exercice 2 :[énoncé]
(1) Par récurrence surn∈N?:
Pourn= 1: ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.