Sujet : Algèbre, Nombres entiers, Sommes

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sommes Exercice 7 [ 02068 ] [correction] Calculer nX k Exercice 1 [ 02062 ] [correction] (k+1)!Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies : k=1 n n n n nX X X X X a) α+a =α+ a b) a +b = a + bi i i i i i Exercice 8 [ 02069 ] [correction]i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n n n n nX X X X X a) Calculer c) αa =α a d) a b = a b pi i i i i i X i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 kk! !αn n n n n nX X XX XX k=1αe) a = a f) a = a ?i i,j i,ji b) Soit p∈N. Montrer que pour tout n∈[0,(p+1)!−1]], il existe un (p+1)i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 p+1uplet (n ,n ,...,n )∈N tel que0 1 p pXExercice 2 [ 02063 ] [correction] ∀k∈[0,p],06n 6k et n= n k!k kEtablir l’une des trois formules suivantes : n n n 2 2P P Pn(n+1) n(n+1)(2n+1) n (n+1) k=02 3a) k = b) k = c) k = 2 6 4 k=1 k=1 k=1 c) Justifier l’unicité d’une telle suite. Exercice 3 [ 02064 ] [correction] n nP P Exercice 9 [ 03640 ] [correction]2A partir des valeurs connues de k et k , calculer : Soient (x ,...,x ) et (y ,...,y ) deux suites réelles monotones. Comparer1 n 1 nk=1 k=1 nP ! !a) k(k+1) b) 1.n+2.(n−1)+···+(n−1).2+n.1. n n nX X X1 1 1k=1 x y et x yk k k k n n n k=1 k=1 k=1 Exercice 4 [ 02065 ] [correction] Calculer nX k(−1) k k=1 Exercice 5 [ 02066 ] [correction] nP 1Montrer que la suite de terme général u = est strictement croissante.n n+k k=1 Exercice 6 [ 02067 ] [correction] Montrer nX ∀n∈N, k!6(n+1)! k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Sommes

Exercice 1[ 02062 ][correction]
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

n n n n n
a)Xα+ai=α+Xaib)Xai+bi=Xai+Xbi
i=1i=1i=1i=1i=1
n n n n n
c)Xαai=αXaid)Xaibi=XaiXbi
i=1i=1i=1i=1i=1
e)Xaiαif)X Xaij=X Xaij?
n=i=nX1a! nα n n n
i=1j=1i=1i=1j=1

Exercice 2[ 02063 ][correction]
Etablir l’une des trois formules suivantes :
n
a)Pk=n(n2+1)b)Pnk2=n(n(6)21+n+1)c)Pnk3=n2(n+14)2
k=1k=1k=1

Exercice 3[ 02064 ][correction]
n n
A partir des valeurs connues dePketPk2, calculer :
k=1k=1
n
a)Pk(k+ 1)b)1n+ 2(n−1) +∙ ∙ ∙+ (n−1)2 +n1.
k=1

Exercice 4[ 02065 ][correction]
Calculer

n
X(−1)kk
k=1

Exercice 5[ 02066 ][correction]
n
Montrer que la suite de terme généralun=Pn+1kest strictement croissante.
k=1

Exercice 6[ 02067 ][correction]
Montrer
n
∀n∈NXk!6(n+ 1)!
k=0

Enoncés

Exercice 7[ 02068 ][correction]
Calculer

Exercice 8[ 02069 ][correction]
a) Calculer

nk
kX=1(k+ 1)!

p
Xkk!

k=1
b) Soitp∈N. Montrer que pour toutn∈[0(p+ 1)!−1], il existe un(p+ 1)
uplet(n0 n1     np)∈Np+1tel que

p
∀k∈[0 p]06nk6ketn=Xnkk!
k=0

c) Justifier l’unicité d’une telle suite.

Exercice 9[ 03640 ][correction]
Soient(x1     xn)et(y1     yn)deux suites réelles monotones. Comparer
1n
n1nk=X1xk! n1kXn=1yk!etnX
xkyk
k=1

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
b) c) f)

Exercice 2 :[énoncé]
Par récurrence.

Exercice 3 :[énoncé]
a) En séparant la somme

b) On réécrit

nXk(k+ 1) =nXk2+nXk=n(n+ 1)(n+ 2)
3
k=1k=1k=1

n
1n+ 2(n−1) +∙ ∙ ∙+ (n−1)2 +n1 =Xk(n+ 1−k)
k=1

et on réorganise

n n n
Xk(n+ 1−k) = (n+ 1)Xk−Xk2=n(n6()1+n+ 2)
k=1k=1k=1

Exercice 4 :[énoncé]
D’une part
2p p
X(−1)kk=X(−(2`−1) + 2`) =p
k=1`=1
et d’autre part
2p+1
X(−1)kk=p−(2p+ 1) =−(p+ 1)
k=1
Ainsi
nn2sinest pa
X

k=1−1)kk(=−1)n(n+ 1)2ripair
(sinest im

Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
n+1n
un+1−un=k=P1n+1+1k−k=P1n+1k=2n+21+2n1+1−n1+1=2n1+1−2n12+>0.

Exercice 6 :[énoncé]
Par récurrence surn∈N, sachant

(n+ 1)! + (n+ 1)! = 2(n+ 1)!6(n+ 2)!

Exercice 7 :[énoncé]
n(k+1)n
kPn=1 (k+k1)!=k=P1 (k+1)−1!=kP=1k1!−(k)!1+1=nkP=1k1!−k=nP1 (k1+)1!= 1−(n!1)+1.

Exercice 8 :[énoncé]
a) En écrivantk= (k+ 1)−1
p p
Xkk! =X(k+ 1)!−k! = (p+ 1)!−1
k=1k=1

2

b) Par récurrence forte surp>0.
Pourp= 0: ok
Supposons la propriété établie jusqu’au rangp>0.
Soitn∈[0(p+ 2)!−1].
Réalisons la division euclidienne denpar(p+ 1)!:n=q(p+ 1)! +ravec
06r <(p+ 1)!.
Puisque06n <(p+ 2)!on a06q6p+ 1.
p
Par hypothèse de récurrence, on peut écrirer=Pnkk!et en prenantnp+1=q
k=0
p+1
on an=Pnkk!.
k=0
Récurrence établie.
p p
c) Supposonsn=Pnkk! =Pn0kk!avec les conditions requises.
k=0k=0
Sinp< n0alors
p
p p−1p
Xnkk!6npp! +Xkk! = (np+ 1)p!−1< n0pp!6Xn0kk!
k=0k=0k=0
Ceci est absurde donc nécessairementnp>n0ppuis par symétrienp=n0p.
On simplifie alors le termenpp!et on reprend le principe pour conclure à l’unicité.

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Exercice 9 :[énoncé]
Etudions la différence
1nnkX=1xkyk−n1kXn=1xk! 1nkn=X1yk!

n n n
=n12Xnxkyk−X Xxky
k=1k=1`=1

ce qui donne encore
1Xn
k=1k−n1k=nX1xk! n1nkX=1yk!=n12nkX=1`=Xn1(xkyk−xky`)
xky
n

Or

n n n n
X X(xkyk−xky`) =X Xxk(yk−y`) =
k=1`=1k=1`=1

Corrections
`!
xk(yk−y`)

Xxk(yk−y`)+X
16`<k6n16k<`6n

Par changement d’indice, on peut réécrire la dernière somme
Xxk(yk−y`) =Xx`(y`−yk)
16k<`6n16`<k6n

et alors
n n
X X(xkyk−xky`) =X(xk−x`) (yk−y`)
k=1`=1 16`<k6n
Les termes sommés sont alors tous de mme signe, à savoir positif si les suites
(xi)16i6net(yi)16i6nont mme monotonie et négatifs si ces deux suites sont de
monotonies contraires.
Au final, si les deux suites ont mme monotonie alors
n
X
1nk=1xk! n1nk=X1yk!61nnkX=1xkyk

et si les deux suites sont de monotonies contraires alors
n1kXn=1xkyk6n1k=Xn1k! 1nkXn=1yk!
x

3

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