Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Eléments propres d'un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Eléments propres d’un endomorphisme et Mat g = diag(λ,λ + 1,...,λ +n− 1)e Exercice 1 [ 00762 ] [correction] ?Soient f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel et n∈N . On suppose que n Exercice 7 [ 03467 ] [correction]0∈ sp(f ). Soit E leR-espace vectoriel des fonctions continues de [0, +∞[ versR convergeantMontrer que 0∈ sp(f). en +∞. Soit T l’endomorphisme de E donné par Exercice 2 [ 00763 ] [correction] ∀x∈ [0, +∞[,T (f)(x) =f(x + 1)Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés. 0∈/ sp(f)⇔f surjectif Exercice 8 CCP MP [ 02577 ] [correction]Exercice 3 [ 00764 ] [correction] a) Montrer que Φ, qui à P associeSoit u un automorphisme d’unK-espace vectoriel E . Etablir 2 0 (X − 1)P (X)− (4X + 1)P (X)−1 −1 Spu = λ /λ∈ Spu est un endomorphisme deR [X].4 b) Résoudre l’équation différentielle Exercice 4 [ 00765 ] [correction] −1Soient E unK-espace vectoriel, u∈L(E), a∈ GL(E) et v =a◦u◦a . 5−λ 3 +λ0y = + yComparer Spu et Spv d’une part, E (u) et E (v) d’autre part.λ λ 2(x− 1) 2(x + 1) c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ. Exercice 5 [ 00766 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre. Exercice 9 CCP MP [ 03187 ] [correction] Montrer que u est une homothétie vectorielle.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 113
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Eléments propres d’un endomorphisme

Exercice 1[ 00762 ][correction]
Soientfun endomorphisme d’unK-espace vectoriel etn∈N?. On suppose que
0∈sp(fn).
Montrer que0∈sp(f).

Exercice 2[ 00763 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer
0∈sp(f)⇔fsurjectif

Exercice 3[ 00764 ][correction]
Soituun automorphisme d’unK-espace vectorielE.
Etablir
Spu−1=λ−1λ∈Spu

Exercice 4[ 00765 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel,u∈ L(E),a∈GL(E)etv=a◦u◦a−1.
Comparer Spuet Spvd’une part,Eλ(u)etEλ(v)d’autre part.

Enoncés

Exercice 5[ 00766 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEtel que tout vecteur non nul
en soit vecteur propre.
Montrer queuest une homothétie vectorielle.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02719 ][correction]
Soitfetgdeux endomorphismes d’unC-espace vectorielEde dimension finie
n>1tels quef◦g−g◦f=f.
a) Montrer quefest nilpotent.
b) On supposefn−16= 0. Montrer qu’il existe une baseedeEetλ∈Ctels que :
0 1 (0)
. .
. .
. .
Matef=
(0)...01

et

Mateg=diag(λ λ+ 1     λ+n−1)

1

Exercice 7[ 03467 ][correction]
SoitEleR-espace vectoriel des fonctions continues de[0+∞[versRconvergeant
en+∞.
SoitTl’endomorphisme deEdonné par

∀x∈[0+∞[ T(f)(x) =f(x+ 1)

Déterminer les valeurs propres deTet les vecteurs propres associés.

Exercice 8CCP MP[ 02577 ][correction]
a) Montrer queΦ, qui àPassocie

(X2−1)P0(X)−(4X+ 1)P(X)

est un endomorphisme deR4[X].
b) Résoudre l’équation différentielle
y0=5(2x−−λ)13+2(x++λ1)y

c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres deΦ.

Exercice 9CCP MP[ 03187 ][correction]
a) Soitfun endomorphisme d’unR-espace vectoriel de dimension finie. Siaest
valeur propre def, de multiplicitém, et siE(f a)est le sous-espace propre
attaché, montrer
16dimE(f a)6m

b) Soit

1 1
A=222233444411
3 3

Déterminer simplement les valeurs propres deA.
La matriceAest-elle diagonalisable ?

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 10CCP MP[ 00042 ][correction]
Soientu,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel.
a) Siλ6= 0est valeur propre deu◦v, montrer qu’il l’est aussi dev◦u.
b) SoitP∈E=R[X],
Zx
u(P) =P0etv(P) =P(t) dt
0

Trouverker(u◦v)etker(v◦u).
c) Montrer que la propriété précédente reste valable pourλ= 0siEest de
dimension finie.

Enoncés

Exercice 11[ 02544 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’unR-espace vectorielEde dimension finie.
Montrer que siλest valeur propre deu◦valorsλest aussi valeur propre dev◦u.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
0∈sp(fn)⇒fnnon injective⇒fnon injective⇒0∈sp(f).

Exercice 2 :[énoncé]
En vertu du théorème d’isomorphisme

0∈sp(f)⇔fnon injectif⇔fnon surjectif

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Siλ∈Spualors il existex6= 0vérifiantu(x) =λx. En appliquantu−1, on obtient
x=λu−1(x).
Puisquex6= 0,λ6= 0et on peut écrireu−1(x) =1λxdoncλ1∈Spu−1. Ainsi

{1λλ∈Spu} ⊂Spu−1

L’autre inclusion s’obtient par symétrie.

Exercice 4 :[énoncé]
Pourλ∈Ketx∈E,
x∈Eλ(v)⇔u(a−1(x)) =λa−1(x)⇔a−1(x)∈Eλ(u)⇔x∈a(Eλ(u)).
AinsiEλ(v) =a(Eλ(u)), puis puisqueaest un automorphisme, on peut affirmer
Eλ(v)6={0}si, et seulement si,Eλ(u)6={0}et donc Sp(u) =Sp(v).

Exercice 5 :[énoncé]
∀x6= 0∃λx∈K u(x) =λxx. Montrer quex7→λxest une fonction constante sur
E {0}. Soientx y6= 0.
Si(x y)est libreu(x+y) =u(x) +u(y)donneλx+y(x+y) =λxx+λyydonc par
liberté de(x y)on obtientλx=λx+y=λy.
Si(x y)est liée,y=µxet doncu(y) =µu(x) =λxµx=λxypuisλy=λx.
Ainsix7→λxest une fonction constante. En posantλla valeur de cette constante,
on a∀x∈E,u(x) =λxquexsoit nul ou non.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On vérifiefk◦g−g◦fk=kfk.

Si pour toutk∈N,fk6= 0alors l’endomorphismeh7→h◦g−g◦hadmet une
infinité de valeurs propres.
Ceci étant impossible en dimension finie, on peut affirmer quefest nilpotent.
b)fn= 0(cardimE=n) etfn−16= 0. Pourx∈kerfn−1et
e0= (fn−1(x)     f(x) x), on montre classiquement quee0est une base deE
dans laquelle la matrice defest telle que voulue.
−
f(g(fn−1(x)) = 0doncg(fn−1(x)) =λfn1(x)pour un certainλ∈R
Aussifk(g(fn−1−k(x))) = (λ+k)fn−1(x)et donc la matrice degdanse0et
triangulaire supérieure avec sur la diagonaleλ λ+ 1     λ+n−1. Ainsi

Sp(g) ={λ     λ+n−1}

3

Soityvecteur propre associé à la valeur propreλ+n−1.
Siy∈kerfn−1alors puisquekerfn−1est stable parg,λ+n−1est valeur propre
de l’endomorphisme induit pargsurkerfn−1. Cela n’étant par le cas
y∈kerfn−1. On vérifie alors facilement que la famillee= (fn−1(y)     f(y) y)
résout notre problème.

Exercice 7 :[énoncé]
Soitλun réel etfune fonction élément deE.
SiT(f) =λfalors
∀x∈[0+∞[ f(x+ 1) =λf(x)

En passant cette relation à la limite quandx→+∞, on obtient

en notant`la limite def.
Cas`6= 0:
Nécessairementλ= 1et

`=λ`

∀x∈[0+∞[ f(x+ 1) =f(x)

Puisque la fonctionfest périodique et converge en+∞, elle est constante.
Inversement, toute fonction constante non nulle est vecteur propre associé à la
valeur propre 1.
Cas`= 0:
Siλest valeur propre alors en introduisantfvecteur propre associé, il existe
x0∈[0+∞[tel quef(x0)6= 0et la relationT(f) =λfdonne par récurrence

∀n∈N f(x0+n) =λnf(x0)

En faisant tendrenvers+∞, on obtient|λ|<1.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Inversement, supposons|λ|<1.
SiT(f) =λfalors

f(1) =λf(0)et∀n∈N∀x∈[01[ f(x+n) =λnf(x)

La fonctionfest donc entièrement déterminée par sa restriction continue sur
[01]vérifiantf(1) =λf(0).
Inversement, siϕ: [01]→Rest une fonction continue sur[01]vérifiant
ϕ(1) =λϕ(0)alors la fonctionfdonnée par

∀n∈N∀x∈[01[ f(x+n) =λnϕ(x)

Corrections

et continue (on vérifie la continuité enk∈N?par continuité à droite et à gauche),
converge vers 0 en+∞et vérifieT(f) =λf.
Puisqu’il est possible de construire une fonction non nulle de la sorte, le scalaire
λ∈]−11[est valeur propre et les vecteurs propres associés sont les fonctions non
nulles de la forme précédente.

Exercice 8 :[énoncé]
a) L’applicationΦest évidemment linéaire, il reste à voir qu’elle est à valeurs
dansR4[X].
Pour un polynômePde degré inférieur à 4, le polynôme
(X2−1)P0(X)−(4X+ 1)P(X)est de degré inférieur à 5 et, siaest le coefficient
deX4dansP, le coefficient deX5dansΦ(P)est4a−4a= 0. Par sui