Sujet : Algèbre, Réduction des endomorphismes, Polynôme en un endomorphisme

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Polynôme en un endomorphisme Exercice 7 [ 02574 ] [correction] DansM (R), on considère la matricen  Exercice 1 [ 00753 ] [correction] 0 1 (0) Soient E unK-espace vectoriel de dimension n et u∈L(E).  . .. . On suppose qu’il existe un vecteur x ∈E telle que la famille . .0  J =n−1  (x ,u(x ),...,u (x )) soit libre. .0 0 0 . . 1Montrer que seuls les polynômes en u commutent avec u. (0) 0 Exprimer simplement P(aI +J) pour P∈R[X].n Exercice 2 [ 00754 ] [correction] 3Soit u∈L(E) vérifiant u = Id. Justifier 2ker(u−Id)⊕ker(u +u+Id) =E Exercice 3 [ 03423 ] [correction] Soient A,B∈M (K). On suppose qu’il existe un polynôme non constantn P∈K[X] vérifiant AB =P(A) et P(0) = 0 Montrer que A est inversible et que A et B commutent. Exercice 4 X MP [ 03033 ] [correction] Soient A et B dansM (R). On suppose que A est nilpotente et qu’il existen P∈R[X] tel que P(0) = 1 et B =AP(A). Montrer qu’il existe Q∈R[X] tel que Q(0) = 1 et A =BQ(B). Exercice 5 [ 03210 ] [correction] pSoient A∈ GL (C) et B∈M (C) telle que B =O .n n n −1a) Montrer que I +A BA est inversible et exprimer son inverse.n b) On pose H ={I +P(B)/P∈C[X],P(0) = 0}n Montrer que H est un sous-groupe commutatif de (GL (C),×).n Exercice 6 CCP PSI [ 02598 ] [correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d’ordre n telles qu’il existe un polynôme P∈R[X] de degré au moins égal à 1 et vérifiant P(0) = 1 et AB =P(A).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 132
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Polynôme en un endomorphisme

Exercice 1[ 00753 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetu∈ L(E).
On suppose qu’il existe un vecteurx0∈Etelle que la famille
(x0 u(x0)     un−1(x0))soit libre.
Montrer que seuls les polynômes enucommutent avecu.

Exercice 2[ 00754 ][correction]
Soitu∈ L(E)vérifiantu3=Id. Justifier

ker(u−Id)⊕ker(u2+u+Id) =E

Exercice 3[ 03423 ][correction]
SoientA B∈ Mn(K). On suppose qu’il existe un polynôme non constant
P∈K[X]vérifiant
AB=P(A)etP(0)6= 0

Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.

Enoncés

Exercice 4X MP[ 03033 ][correction]
SoientAetBdansMn(R). On suppose queAest nilpotente et qu’il existe
P∈R[X]tel queP(0) = 1etB=AP(A). Montrer qu’il existeQ∈R[X]tel que
Q(0) = 1etA=BQ(B).

Exercice 5[ 03210 ][correction]
SoientA∈GLn(C)etB∈ Mn(C)telle queBp=On.
a) Montrer queIn+A−1BAest inversible et exprimer son inverse.
b) On pose
H={In+P(B)P∈C[X] P(0) = 0}
Montrer queHest un sous-groupe commutatif de(GLn(C)×).

Exercice 6CCP PSI[ 02598 ][correction]
SoientAetBdeux matrices réelles carrées d’ordrentelles qu’il existe un
polynômeP∈R[X]degré au moins égal à 1 et vérifiantde P(0) = 1et
AB=P(A).
Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.

Exercice 7[ 02574 ][correction]
DansMn(R), on considère la matrice
0

J=

(0)

1
.
.
.

.
.
.
.
.
.

(0)

1
0

Exprimer simplementP(aIn+J)pourP∈R[X].





1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La famille(x0 u(x0)     un−1(x0))constitue une base deE. Soitv∈ L(E)
commutant avecu. On peut écrirev(x0) =a0x0+a1u(x0) +∙ ∙ ∙+an−1un−1(x0).
Considérons alorsw=a0Id+a1u+∙ ∙ ∙+an−1un−1∈K[u].v(x0) =w(x0)et
puisquevetwcommutent avecu, on a aussiv(uk(x0)) =w(uk(x0)). Les
endomorphismesvetwvaleurs sur une base, ils sont donc égauxprennent mme
et ainsiv∈K[u].

Exercice 2 :[énoncé]
Le polynômeX3−1 = (X−1)(X2+X+ 1)est annulateur deuavec les facteurs
X−1etX2+X+ 1premiers entre eux, il suffit alors d’appliquer le lemme des
noyaux pour conclure !

Exercice 3 :[énoncé]
Le polynômePs’écrit

P(X) =P(0) +a1X+∙ ∙ ∙+apXp

L’égalitéAB=P(A)donne alors

A(B−(a1In+a2A+∙ ∙ ∙+apAp−1)) =P(0)In

On en déduit queAest inversible et son inverse est

A−1=P1()0B−a1In+a2A+∙ ∙ ∙+apAp−1

l’égalitéA−1A=Indonne alors

BA=P(A)

et on peut conclure queAetBcommutent.

Exercice 4 :[énoncé]
On sait qu’il existep∈N?tel queAp=On.
En introduisant les coefficients deP, la relationB=AP(A)donne
B=A+a2A2+∙ ∙ ∙+ap−1Ap−1
.
On en déduit

B2=A2+a32A2+∙ ∙ ∙+ap−12Ap−1,. . . ,Bp−2=Ap−2+ap−1p−2Ap−1,
p−1
Bp−1=A.
En inversant ces équations, on obtient
Ap−1=Bp−1,Ap−2=Bp−2+bp−1p−2Ap−1. ,
,. .
A2=B2+b32B3+∙ ∙ ∙+bp−12Bp−1et enfinA=B+b21B2+∙ ∙ ∙+bp−11Bp−1
ce qui détermine un polynômeQ∈R[X]vérifiantQ(0) = 1etA=BQ(B).
Exercice 5 :[énoncé]
a) PosonsN=−A−1BA. On a
Np= (−1)pA−1BpA=On

donc
In=In−Np= (I−N)(I+N+N2+∙ ∙ ∙+Np−1)
On en déduit queI−N=In+A−1BAest inversible et
In+A−1BA−1=I+N+N2+∙ ∙ ∙+Np−1
b) SoitP∈C[X]tel queP(0) = 0. On a

Donc

P(X) =aX+bX2+∙ ∙ ∙

P(B) =aB+bB2+∙ ∙ ∙

2

puis
P(B)p=apBp+b0Bp+1+On
∙ ∙ ∙=
On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que
la matriceIn+P(B)est inversible et que son inverse est de la forme
In−P(B) +P(B)2+∙ ∙ ∙+ (−1)pP(B)p
On en déduit queHest inclus dans GLn(C)et que l’inverse d’un élément deH
est encore dansH.
Il est immédiat de vérifier queHest non vide et stable par produit. On en déduit
queHest un sous-groupe de(GLn(C)×). Enfin, on vérifie queHest commutatif
car les polynômes en une matrice commutent entre eux.

Exercice 6 :[énoncé]
AB=P(A) =αnAn+∙ ∙ ∙+α1A+IndoncAαnAn−1+∙ ∙ ∙+α1In−B=In.
Par le théorème d’inversibilité,Aest inversible etA−1=αnAn−1+∙ ∙ ∙+α1In−B.
PuisqueAcommute avecA−1et ses puissances, on en déduit queAcommute
avecB=αnAn−1+∙ ∙ ∙+α1I−A−1.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 7 :[énoncé]
Par la formule de Taylor ena

P(X)

+∞
=X
k=0

P(k)(a)(X−a)k
k!

donc
+∞
P(aIn+J) =XP(kk)!(a)Jk
k=0
Il est facile de calculer les puissances deJet l’on conclut


P(aIn+J) =


P(a)

(0)

P0(a)
.
.
.

P00(a)
2!
.
.
.
.
.
.

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.

P(n−1)(a)
(n−1)!

.
P00(a)
2!
P0(a)
P(a)





Corrections

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD