Sujet : Algèbre, Structures algébriques, Morphisme de groupes

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Morphisme de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [correction] ? ? ? nSoit n∈N et f :R →R définie par f(x) =x . ?Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R ,×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] ? ?Justifier que exp :C→C est un morphisme du groupe (C,+) vers (C ,×). En déterminer image et noyau.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 97
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Morphisme de groupes

Enoncés

Exercice 1[ 02218 ][correction]
Soitn∈N?etf:R?→R?définie parf(x) =xn.
Montrer quefest un endomorphisme du groupe(R?×). En déterminer image et
noyau.

Exercice 2[ 02219 ][correction]
Justifier queexp :C→C?est un morphisme du groupe(C+)vers(C?×).
En déterminer image et noyau.

Exercice 3[ 02220 ][correction]
SoitGun groupe noté multiplicativement.
Poura∈G, on noteτal’application deGversGdéfinie parτa(x) =axa−1.
a) Montrer queτaest un endomorphisme du groupe(G×).
b) Vérifier que
∀a b∈G,τa◦τb=τab
c) Montrer queτaest bijective et déterminer son application réciproque.
d) En déduire queT={τa|a∈G}muni du produit de composition est un
groupe.

Exercice 4[ 02221 ][correction]
Soit(G ?),(G0>)deux groupes etf:G→G0un morphisme de groupes.
a) Montrer que pour tout sous-groupeHdeG,f(H)est un sous-groupe de
(G0>).
b) Montrer que pour tout sous-groupeH0deG0,f−1(H0)est un sous-groupe de
(G ?).

Exercice 5[ 02222 ][correction]
On note Aut(G)l’ensemble des automorphismes d’un groupe(G ?).
Montrer que Aut(G)est un sous-groupe de(S(G)◦).

Exercice 6[ 02223 ][correction]
Soit(G ?)un groupe eta∈G.
On définit une loi de composition interne>surGparx>y=x ? a ? y.
a) Montrer que(G>)est un groupe.
b) SoitHun sous groupe de(G ?)etK=sym(a)? H={sym(a)? xx∈H}.
Montrer queKest un sous groupe de(G>).
c) Montrer quef:x7→x ?sym(a)est un isomorphisme de(G ?)vers(G>).

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
f(xy) = (xy)n=xnyn=f(x)f(y)doncfest une endomorphisme de(R?×).
kerf=f−1({1})et Imf={xnx∈R?}.
Sinest pair alorskerf={1−1}et Imf=R+?.
Sinest impair alorskerf={1}et Imf=R?.

Exercice 2 :[énoncé]
On sait
∀x y∈C,exp(x+y) = exp(x) exp(y)
doncexp :C→C?est un morphisme de groupes.

donc

exp(x) = 1⇔ ∃k∈Z x= 2ikπ

ker exp ={2ikπk∈Z}

La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs deC?donc

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soientx y∈G. On a

Imexp =C?

τa(xy) =axya−1=axa−1aya−1=τa(x)τa(y)

τaest donc un endomorphisme du groupe(G×).
b) Pour toutx∈G,

1
(τa◦τb)(x) =τa(bxb−1) =abxb−1a−= (ab)x(ab)−1=τab(x)

donc
τa◦τb=τab
c)(τa◦τa−1) =τ1=IdGet(τa−1◦τa) =τ1=IdGdoncτaest bijective et
(τa)−1=τa−1.
d) Montrons queTest un sous-groupe de(S(G)◦).
T ⊂S(G)et IdG∈ Tcar IdG=τ1.
∀f g∈ T, on peut écriref=τaetg=τbaveca b∈G.
f◦g−1=τa◦(τb)−1=τa◦τb−1=τab−1∈ Tcarab−1∈G.
AinsiTest un sous-groupe de(S(G)◦)et donc(T◦)est un groupe.

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Exercice 4 :[énoncé]
a)f(H)⊂G0,e0=f(e)∈f(H)care∈H.
∀y y0∈f(H), on peut écrirey=f(x)ety0=f(x0)avecx x0∈H.
y>y0−1=f(x)>f(x0)−1=f(x)>f(x0−1) =f(x ? x0−1)avecx ? x0−1∈Hdonc
y>y0−1∈f(H).
Ainsif(H)est un sous-groupe de(G0>).
b)f−1(H0)⊂Gete∈f−1(H0)carf(e) =e0∈H0.
∀x x0∈f−1(H0)on af(x) f(x0)∈H0.
f(x ? x0−1) =f(x)>f(x0−1) =f(x)>f(x0)−1∈H0doncx ? x0−1∈f−1(H0).
Ainsif−1(H0)est un sous-groupe de(G ?).

Exercice 5 :[énoncé]
Aut(G)⊂S(G)et IdG∈Aut(G).
Pour toutf g∈Aut(G), on af◦g∈Aut(G)etf−1∈Aut(G)par les propriétés
sur les automorphismes.
Ainsi Aut(G)est un sous-groupe de(S(G)◦).

Exercice 6 :[énoncé]
a)∀x y z∈G,
(x>y)>z= (x ? a ? y)? a ? z=x ? a ?(y ? a ? z) =x>(y>z).
∀x∈G x>sym(a) =x=sym(a)>x.
∀x∈G. Posonsy=sym(a)?sym(x)?sym(a)∈G. On ax>y=y>x=sym(a).
b)K⊂G, sym(a) =sym(a)? edonc sym(a)∈K.
∀sym(a)? xsym(a)? y∈Kon a(sym(a)? x)>(sym(a)? y)>(−1)=
sym(a)? x ? a ?sym(a)?sym(y)? a ?sym(a) =sym(a)?(x ?sym(y))∈K.
c)f(x ? y) =x ? y ?sym(a) = (x ?sym(a))>(y ?sym(a)) =f(x)>f(y)et
g:x7→x ? aen est l’application réciproque.

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