Sujet : Analyse, Calcul de primitives, Fonctions rationnelles

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions rationnelles

Exercice 1[ 01232 ][correction]
Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de
validité :

x5
a)1 +x12
d)x2−21x+ 2
1
31
jg))xx4++x12+ 1

Exercice 2[ 01233 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z10x2+dxx+ 1b

b)x1(
x2−1)
e)x2+ 2xx+ 2
h)x3x−1
1
k)(x2+x+ 1)2

x
)Z01x3+ 1dx

x+ 1
c)x2−x+ 1
f)11)
x(x2+
x4
i)x4+−11
l)x41+1

c)Z01a(x)1+tcrna2xdx

Enoncés

Exercice 3[ 01234 ][correction]
Soitn∈N?. On désire déterminer la primitive surRs’annulant en 0 de la fonction

1
fn:x7→(1 +x2)n

a) Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée. Celle-ci est désormais
notéeFn.
b) CalculerF1(x).
c) En procédant au changement de variablex= tanθ, déterminerF2(x).
d) En s’aidant d’une intégration par parties, former une relation de récurrence
entreFn+1(x)etFn(x).
e) CalculerF3(x).

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)R1+xx125u=x661R1+duu2=16a
dx= rctanx6+CtesurR.
b)Rx(xd2x−1)=R−x1+12x1−1+12x1+1dx=−ln|x|+12lnx2−1+Ctesur
]−∞−1[]−10[]01[ou]1+∞[.
R(x−1)+3
c)Rx2x−+x1+1dx=(x−212)2+243dx=21ln(x2−x+ 1) +√3 arctan2x√−13+CtesurR.
d)Rx2−12x+2dx=Rx−1)12+1= arctan(x−1) +CtesurR.
(
e)Rx2+2xx+2dx=12R((x2x)1+2+2+)−21dx=12ln(x2+ 2x+ 2)−arctan(x+ 1) +CtesurR.
f)Rx(xd2x+1)=Rx1−x2x+1dx= ln|x| −12ln(x2+ 1) +Ctesur]−∞0[ou]0+∞[.
g)Rx31+1dx=13Rx1+1−x2x−−x1+2dx=
31ln|x+ 1| −61ln(x2−x+ 1) +√31arctan2x√−13+Ctesur]−∞−1[ou]−1+∞[.
h)Rxx3d−x1=13ln|x−1| −16ln(x2+x+ 1) +√13arctan2x√3+Ctesur]−∞1[
+1
ou]1+∞[.
i)Rx4+−11dx=R1 +21x1−1−21x1+1−x2+11dx=x+21lnxx−11+−arctanx+Ctesur
x4
]−∞−1[,]−11[ou]1+∞[.
j)Rx4+x12+1dx=R12x2x++x11+−21x2x−−x11+dxpuis
Rx4+x12+1dx=41lnxx22−+xx1++1+2√31arctan2x√+31+2√31arctan2x√−31+CtesurR.
k)(x2+x11)+2=(x−−1j)32+(x−−1j23)2+x22+x3+1donc
R(x2+1x+1)2dx=3(x22x++x+1)1+3√34arctan2x√1+3+CtesurR.
l)Rx41+1dx=14Rx2−√−√2x2x+2+1+x2√2+√x2+x+12dxdonc
Rx41+1dx=4√21lnxx22−+√√22xx1++1+12√2arctan(√2x−1) +2√21arctan(√2x+ 1) +Cte
surR.

Exercice 2 :[énoncé]
1
a)R10x2+dxx+1=h√23arctan2x√13+iπ
0=3√3.
b)R01x3x+1dx=h16lnx(2x−+x)1+21+√13arctan2x√−13i10=−13ln 2 +3π√3.
c)R(1a0rxn)+1cat2xdx=h−arxnat1+cxi01+R01dx
(x+1)(x2+1)
(x1+1)(x2+1)=12x+11+21x−2x++11donc
R(x+1)d(xx2+1)=12ln|x+ 1| −41ln(x2+ 1) +12arctanx+Cte
puisR(1ra0xnat1+)c2xdx=−π8+21ln 2−14ln 2 +8π=24ln.

2

Exercice 3 :[énoncé]
a)fnest définie et continue surRpossède une unique primitive s’annulant :donc
Fn(x) =Z0xfn(t)dt

b) Immédiatement
xdt
F1(x) =Z01 +t2= arctanx
c) Par le changement de variable
dt
F2(x)Z0x(1 +t2)2=Zatcr0nax1 +dtaθn2θ=Zaranct0xcos2θdθ
=

puis

et donc

d) Astucieusement

F2(x2arctan)=14sinxn+12arctax
x1
F2(x1+=)21x2+ 2 arctanx

x)xt2
Fn+1(x) =Z0x(1+1+tt22)−n+t21dt=Fn(−Z0(1 +t2)n+1dt

puis par intégration par parties :
Fn+1(x) =Fn(x) +12n(1 +tt2)nx0−21nZ0x(1 +dtt2)n

et donc

e) En particulier

Fn+1(x2)1=n(1 +xx2)n+ 2n2n−(1x)
Fn

1x3x3
F3(x (1 +) = 4x2)2 1 ++ 8x2+ arctanx
8

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