Sujet : Analyse, Equations différentielles, Equation fonctionnelle et équation différentielle

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equation fonctionnelle et équation différentielle Exercice 8 [ 03108 ] [correction] Soient f une fonction réelle continue sur [0,1] et λ un réel. Trouver u réelle continue sur [0,1] telle queExercice 1 [ 01548 ] [correction] ZDéterminer les fonctions f : [0,1]→R dérivables telles que x u(x) =λ u(t)dt+f(x) 0 f (x)+f(x) =f(0)+f(1) 0 Exercice 2 [ 01546 ] [correction] Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02890 ] [correction] Déterminer les fonctions f : [0,1]→R dérivables telles que Trouver les fonctions f :R→R continues telles que pour tout x réel Z Z1 x 0 f(x)−2 f(t)cos(x−t)dt = 1∀x∈ [0,1],f (x)+f(x)+ f(t)dt = 0 00 Exercice 3 [ 01545 ] [correction] Exercice 10 CCP MP [ 03197 ] [correction] Déterminer toutes les fonctions f :R→C dérivables telles que Déterminer f dérivable surR telle que ∀s,t∈R,f(s+t) =f(s)f(t) 0f (x) =f(2−x) Exercice 4 [ 01552 ] [correction] Trouver toutes les applications f :R→R dérivables telles que 0 x∀x∈R,f (x)+f(−x) = e Exercice 5 [ 01553 ] [correction] Déterminer les fonctions f :R→R deux fois dérivables telles que ∀x,y∈R,f(x+y)+f(x−y) = 2f(x)f(y) et f(0) = 1 Exercice 6 [ 01554 ] [correction] Trouver toutes les applications f :R→R deux fois dérivables telles que 00∀x∈R,f (x)+f(−x) =x Exercice 7 [ 00378 ] [correction] Déterminer les fonctions f :R→R continues vérifiant Z x ∀x∈R,f(x) = tf(t)dt+1 0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Equation fonctionnelle et équation différentielle

Exercice 1[ 01548 ][correction]
Déterminer les fonctionsf: [01]→Rdérivables telles que

f0(x) +f(x) =f(0) +f(1)

Exercice 2[ 01546 ][correction]
Déterminer les fonctionsf: [01]→Rdérivables telles que
∀x∈[01] f0(x) +f(x) +Z10f(t)dt= 0

Exercice 3[ 01545 ][correction]
Déterminer toutes les fonctionsf:R→Cdérivables telles que

∀s t∈R f(s+t) =f(s)f(t)

Exercice 4[ 01552 ][correction]
Trouver toutes les applicationsf:R→Rdérivables telles que

∀x∈R f0(x) +f(−x) =ex

Exercice 5[ 01553 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R→Rdeux fois dérivables telles que

∀x y∈R f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y)etf(0) = 1

Exercice 6[ 01554 ][correction]
Trouver toutes les applicationsf:R→Rdeux fois dérivables telles que

∀x∈R f00(x) +f(−x) =x

Exercice 7[ 00378 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R→Rcontinues vérifiant
∀x∈R f(x) =Z0xtf(t) dt+ 1

Enoncés

Exercice 8[ 03108 ][correction]
Soientfune fonction réelle continue sur[01]etλun réel.
Trouverufonction réelle continue sur[01]telle que
=λZ0xu(t
u(x) ) dt+f(x)

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02890 ][correction]
Trouver les fonctionsf:R→Rcontinues telles que pour toutxréel
x
f(x)−2Zf(t) cos(x−t) dt= 1
0

Exercice 10CCP MP[ 03197 ][correction]
Déterminerfdérivable surRtelle que

f0(x) =f(2−x)

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Une telle fonction est solution d’une équation différentielle de la formey0+y=C
et vérifiey(0) +y(1) =C.
Les solutions de cette équation différentielle sonty(x) =C+De−x.
y(0) +y(1) = 2C+D1 +ee=C⇔=−ee+C1
D
Les solutions sont les
e+ 1−−x+1
e

Inversement : ok

f(x) =C+ 1
e

Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsfsolution.
fest solution d’une équation différentielle de la formey0+y+λ= 0donc
f(x) =Ce−x−λ. De plus, pour une telle fonction,
Z10f(t)dt=C(e−1)λ
−
e
et donc une telle fonction est solution si, et seulement si,
C(e−1)−λ=λ
e
d’où
C(e−1)

λ=
2e

Finalement, les solutions sont
f(x) =Ce−x−C(e2−1)
e

Exercice 3 :[énoncé]
Supposonsfsolution. En évaluant la relation ens=t= 0on obtient
f(0) =f(0)2doncf(0) = 0ouf(0) = 1
En dérivant la relation enton obtient :f0(s+t) =f(s)f0(t)puis en évaluant en
t= 0:f0(s) =f0(0)f(s).
Ainsifest solution d’une équation différentielle de la formey0=αyavecα∈C.
On en déduitf(x) =CeαxavecC α∈C.
Parmi ces solutions, celles vérifiantf(0) = 0ou1sontf(x) = 0etf(x) =eαx.
Inversement, ces fonctions sont solutions.

Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsfest solution. On af0(x) =ex−f(−x)doncf0est dérivable et
f00(x) =ex+f0(−x) =ex+e−x−f(x)doncfest solution de l’équation
différentielley00+y= 2chx
Après résolution :f(x) =chx+C1cosx+C2sinx.
Inversement, une telle fonction est solution du problème si, et seulement si,
shx−C1sinx+C2cosx+chx+C1cosx−C2sinx=exi.e.C1+C2= 0.
Finalement les solutions du problème posé sontf(x) =chx+C(cosx−sinx).

Exercice 5 :[énoncé]
Soitfsolution.
En prenantx= 0dans la relation, on observe quefest nécessairement paire.
En dérivant la relation deux fois par rapport àxon obtient

f00(x+y) +f00(x−y) = 2f00(x)f(y)

En dérivant la relation deux fois par rapport àyon obtient

f00(x+y) +f00(x−y) = 2f(x)f00(y)

On en déduit
f00(x)f(y) =f(x)f00(y)
Poury= 0, on obtient l’équationf00(x) =λf(x)avecλ=f00(0).
Siλ >0alorsf(x) =ch√λx.
Siλ= 0alorsf(x) = 1.
Siλ <0alorsf(x) = cos−√λx
Inversement, on vérifie par le calcul qu’une fonction de la forme précédente est
solution du problème posé.

Exercice 6 :[énoncé]
Soitfune solution du problème posé.
Posonsg(x) =f(x) +f(−x). La fonctiongest une fonction paire, deux fois
dérivable et solution de :y00+y= 0. Par suiteg(x) =Ccos(x)
Posonsh(x) =f(x)−f(−x). La fonctionhest une fonction impaire, deux fois
dérivable et solution de :y00−y= 2x. Par suiteh(x) =Dshx−2x.
On en déduitf(x) =Ccosx+Dshx−x.
Inversement de telles fonctions sont bien solutions.

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Exercice 7 :[énoncé]
Sifest solution alorsfestC1et on a :f0(x) =xf(x)etf(0) = 1.
Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente :f(x) =ex22.
Inversement,f(x) =ex22est solution du problème posé.

Exercice 8 :[énoncé]
Soituune fonction solution.
Posons
U(x) =Zx
u(t) dt
0
La fonctionUest de classeC1et vérifie
U(0)
(U0(x=)0=λU(x) +f(x)

Corrections

La résolution de l’équation différentielle linéaireU0=λU+f(x)donne par pour
solution générale
U(x) =Ce−λx+Z0xf(t)eλtdte−λx
La condition initialeU(0) = 0déterminer la constanteC

C= 0

On en déduit la fonctionu
u(x) =f(Z0xf(t)eλ(t−x)dt
x)−λ

Inversement, une telle fonction est solution car sa primitive s’annulant en 0 vérifie
l’équationU0=λU+f(x).

Exercice 9 :[énoncé]
Remarquons
x
Z0xf(t) cos(x−t) dt= cosxZ0xf(t) costdt+ sinZ0f(t) sintdt
x

Sifest solution alors

f(x) = 1 + 2Z0xf(t) cos(x−t) dt

et doncf(0) = 1.
fest dérivable car somme de fonctions dérivables.
f0(x) =−2 sinxZ0xf(t) costdt+ 2 cosxZ0xf(t) sintdt+ 2f(x)
etf0(0) = 2.
fest alors deux fois dérivable et
f00(x) = 1−f(x) + 2f0(x)

3

Ainsifest solution de l’équation différentielle
y00−2y0+y= 1
vérifiant les conditions initialesy(0) = 1ety0(0) = 2.
La solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2 est
y(x) = (λx+µ)ex+ 1
Cela conduit àf(x) = 2xex+ 1.
Inversement, soit par calculs, soit en remontant le raisonnement, on peut affirmer
que la fonction proposée est solution.

Exercice 10 :[énoncé]
Soitffonction solution (s’il en existe). Une telle fonction est de dérivéeune
dérivable et doncfest deux fois dérivable avec
f00(x) =−f0(2−x) =−f(x)
Ainsifest solution de l’équation différentielley00+y= 0de solution générale

y(x) =λcosx+µsinx

En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et
seulement si,
λ=λsin 2−µcos 2
(−µ=λcos 2 +µsin 2

ce qui après résolution équivaut à l’équation

(1 + sin 2)λ 2)= (cosµ

En écrivantλ= (cos 2)α, on aµ= (1 + sin 2)αet la solution générale de
l’équation étudiée est de la forme

f(x) =α(sinx+ cos(2−x))

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