Sujet : Analyse, Formule de Stirling

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques. Calcul intégral.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Formules de Stirling

L’objectif de ce problème est de déterminer un équivalent simple à! quand→ +∞.

Partie I Une limite

π2π2
On pose pour tout∈ℕ:=0sindet=0cosd
1.a Calculer0,1et2.
1.b Montrer que la suite () est décroissante et strictement positive.
1.c A l’aide d’un changement de variable adéquate, établir :∀∈ℕ,=.
2.a Etablir que pour tout∈ℕ +=+1.
:2+2
t+1, montrer que+1→∼+∞.
2.b En encadran 

2.c Observer que la suite de terme général (+1)+1est constante.
2.d En déduire un équivalent simple dequand→ +∞.
3.a Pour∈ℕ, exprimer2et2+1à l’aide de nombres factoriels.
 +
3.b En observant que (2 (2+1))22 1→+∞→1 obtenirπ=l→i+m∞(24(2())!!)42.

Partie II En encadrement

Soit<deux réels et:,→ℝune fonction de classe2concave. On note=sup′′() .
∈[,]
On introduit:,→ℝla fonction affine déterminée par()=() et()=() .
1.a Exprimer, pour tout∈,,() en fonction de,et.

1.b Calculer()d.


2.

3.

3.a

3.b

3.c

4.

5.

 
er par un argument géométrique, que()d ()d.
Justifi≤∫
On désire maintenant établir la propriété :∀∈[,],()−()≤(−)(2−)
Celle-ci est clairement vérifiée pour=ou=. Il reste à l’étudier pour∈,.
Pour cela, on introduit:,→ℝla fonction définie par :()=()−()−(−)(−)
où la constanteest choisie de sorte que()=0 .
Justifier queest de classe2et exprimer′′() .
En exploitant le théorème de Rolle, établir qu’il existe∈,tel que′′()=0 .

En déduire qu’alors≤. ueulvo p2ti égéla’lniiu s
( )d( )d  .
Etablir alors que −∫  ≤(12−)3
En appliquant le résultat précédent à la fonction:֏lnsur,+1 (avec∈ℕ∗) établir :
01()12
≤+2ln(+1)−ln()−1≤12.

Partie III Formule de Stirling

Cette partie exploite les résultats des questions I.3.b et II.5 qui pourront, au besoin, être admis.
1
+
On pose pour∈ℕ\{0,1}:=ln2e−− etln !=+12(1−1.
)
 

1.

2.

3.

Montrer que les suites () et ( adjacentes.) sont
On noteleur limite commune
En calculant de deux manières lim 2−2montrer que= −2n(21lπ) .
→∞

1
+
−
Conclure :! 2πe2.
∼