Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrabilité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Intégrabilité Exercice 5 [ 00661 ] [correction] sintMontrer que les fonctions t7→ sint et t7→ ne sont pas intégrables sur [0,+∞[.t Exercice 1 [ 00657 ] [correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : Exercice 6 [ 00663 ] [correction]Z Z Z1 +∞ +∞ + +dt lnt Soit f :R →R une fonction continue, décroissante et intégrable surR .−ta) √ b) ln(t)e dt c) dt 2t +1 a) Montrer que f tend vers zéro en +∞.(1−t) t0 0 0 Z Z Z+∞ +∞ +∞2ln(1+t) ln(1+t ) 1 b) Montrer que xf(x) tend vers zéro quand x→ +∞ d) dt e) dt f) sin dt 3/2 2 2 c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction ft 1+t t0 −∞ 0 +continue et intégrable surR telle que f ne tend pas vers zéro en +∞. Exercice 2 [ 00658 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réels a et b Exercice 7 [ 03231 ] [correction] pour que les intégrales suivantes existent : Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux. Z Z Z On suppose que f est intégrable. Montrer+∞ +∞ a +∞ a −tdt t t e a) b) dt c) dt Za b b b x+1t (t−1) 1+t 1+t1 0 0 f(t)dt−−−−→ 0 x→+∞x Exercice 3 [ 00659 ] [correction] [Intégrales de Bertrand] Exercice 8 [ 03232 ] [correction]Pour α,β∈R on étudie la nature de l’intégrale Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux et décroissante.Z +∞ dt On suppose que f est intégrable. Montrer α βt (lnt)e xf(x)−−−−→ 0 x→+∞a) On suppose α> 1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

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• Langue: Français

Extrait

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Intégrabilité

Exercice 1[ 00657 ][correction]
Etudier l’existence des intégrales suivantes :
−t)
a)Z+10(∞(dnl1t1√+tt)b))ZZ0++∞∞(lln(nt1)e+t−t2t2d)tdt)c)fZZ0+0+∞∞sti2+nlntt112dtdt
d)Z0t32dte−∞1 +

Exercice 2[ 00658 ][correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaetb
pour que les intégrales suivantes existent :
+∞d
a)Zta(t−t1)bb)Z0+∞1t+atbdtc)Z+0∞t1a+e−ttbdt
1

Exercice 3[ 00659 ][correction]
[Intégrales de Bertrand]
Pourα β∈Ron étudie la nature de l’intégrale
Z+e∞d(lntt)β
tα

a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.
b) On supposeα= 1. Calculer
Zextlnd(tt)β
et déterminer pour quelsβ∈Rl’intégrale étudiée converge.
c) On supposeα <1, en exploitant

t
−−−−→+∞
tα(lnt)βt→+∞

établir que l’intégrale étudiée diverge.

Exercice 4[ 00660 ][correction]
Enoncer une condition nécessaire et suffisante surα∈Rpour l’existence de
Z+0∞t−tsint
dt
α

Enoncés

1

Exercice 5[ 00661 ][correction]
Montrer que les fonctionst7→sintett7→sitntne sont pas intégrables sur[0+∞[.

Exercice 6[ 00663 ][correction]
Soitf:R+→Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR+.
a) Montrer queftend vers zéro en+∞.
b) Montrer quexf(x)tend vers zéro quandx→+∞
c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf
continue et intégrable surR+telle quefne tend pas vers zéro en+∞.

Exercice 7[ 03231 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux.
On suppose quefest intégrable. Montrer
x+1
Zxf(t)x→+∞
dt−−−−→0

Exercice 8[ 03232 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante.
On suppose quefest intégrable. Montrer

xf(x)−−−−→0
x→+∞

Exercice 9[ 03238 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite(xn)de réels positifs vérifiant

xn→+∞etxnf(xn)→0

Exercice 10[ 00662 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rde classeC1. On suppose que les fonctionsfetf0sont
intégrables sur[0+∞[; montrer queftend vers 0 en+∞.

Exercice 11[ 00664 ][correction]
Soita∈]01[. Déterminer la nature de la sériePa√n
.
n>0

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Exercice 12[ 00665 ][correction]
Soitu:R→Rune fonction de classeC1telle que
+∞
Z(1 +x2)u(x)2+u0(x)2dx <+∞
−∞

a) Déterminer les limites dex7→xu(x)2en±∞.
b) Etablir

Z−+∞∞u0(x)2dxZ−+∞∞x2u(x)2dx>14Z−+∞∞u(x)2dx2

Exercice 13[ 02349 ][correction]
Etudier l’existence des intégrales suivantes :
a)Z+0+∞∞t1e+−√t2t2ddttb))eZZ0+01∞pe(−1ltna−rtctta)3ntddt)Z+∞c)Z0+∞etd−t1
d)Z0e−(lnt)tf0t+ 2−pt2+ 4t+ 1dt

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02829 ][correction]
Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.

Exercice 15X MP[ 03053 ][correction]
Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables.
a) Montrer quef0est de carré intégrable.
b) Montrer :
ZRf0226ZRf2 ZRf002

Exercice 16Mines-Ponts PC[ 00183 ][correction]
Etudier l’intégrabilité en 0 de
etdt
f:x7→Z1xt

Enoncés

Exercice 17Centrale PC[ 00572 ][correction]
Soitf∈ C2([0+∞[R). On suppose quefetf00sont intégrables.
a) Montrer quef0(x)→0quandx→+∞.
b) Montrer queff0est intégrable.

Exercice 18[ 03206 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rcontinue vérifiant

∀x a>1,06f(x)

La fonctionfest-elle intégrable sur[1+∞[?

a1
6x2+a2

Exercice 19[ 03221 ][correction]
Etudier l’existence de
Z+0∞ln(tht) dt

Exercice 20[ 03440 ][correction]
1
Soitf: [0+∞[→Rde classeC.
On suppose quef2etf02sont intégrables. Déterminer la limite defen+∞.

Exercice 21[ 03441 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue, positive et décroissante.
On poseg: [0+∞[→Rdonnée par

g(x) =f(x) sinx

Montrer que les intégrabilités defet degsont équivalentes.

Exercice 22[ 03442 ][correction]
Soitf: [01]→Rdonnée par
f(x) =x2cos1x2six∈]01]etf(0) = 0

Montrer quefest dérivable sur[01]mais que sa dérivéef0n’est pas intégrable
sur]01].

2

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Exercice 23[ 03627 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et positive. On suppose

f(fx(x)+)1x−→−+−−∞→`∈[01[
Déterminer la nature deR+0∞f(t) dt.

Exercice 24[ 03630 ][correction]
Soitf: ]01]→Rcontinue, décroissante et positive. On pose pourn∈N?
1=n1fk
Sn=nXn
k

Montrer quefest intégrable sur]01]si, et seulement si, la suite(Sn)est
convergente et que si tel est le cas
Z

dt= limSn
]01]f(t)n→+∞

Exercice 25CCP MP[ 01770 ][correction]
Soitgdéfinie surR+?par
(x) =x1Z0xf(t) dt
g
oùfest continue, de carré intégrable surR+.
a) Etudier le prolongement par continuité degen 0.
b) Exprimerg0(x)en fonction def(x)et deg(x)pourx >0.
c) Pour0< a < b, montrer que
Zbag2(t) dt= 2Zabf(t)g(t) dt+ag2(a)−bg2(b)

puis montrer que
sZb

ag2(t) dt6Zs0+∞f2(t) dt+sag2(a) +Z0+∞f2(t) dt

d) Etudier la nature de

Z0+∞
g2(t) dt

Enoncés

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 03753 ][correction]
[Inégalité de Hardy]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pourx >0, on pose
g(x) 1xZ0xf(t) dt
=
a) Montrer queg2est intégrable sur]0+∞[et que
Z+0∞g2(Z+0∞f2(t) dt
t) dt64
b) Montrer quef gest intégrable et
Z0+∞g2(t) dt= 2Z0+∞f(t)g(t) dt

Exercice 27CCP MP[ 03705 ][correction]
a) En posantx= tant, montrer
π2dt π
Z=
01 +asin2(t) 2√1 +a
b) Donner en fonction deα >0la nature de la série
t
X Z0π1 + (nπ)dαsin2(t)
c) Mme question pour
X Z(n+1)π

dt
nπ1 +tαsin2(t)
d) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞dt

01 +tαsin2(t)

Exercice 28CCP PSI[ 03385 ][correction]
a) Etudier l’intégrabilité sur]1+∞[de
f(x) = (x−√1)lnx√x
b) Montrer
Z3ln 3

x
2f d( )x62

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On noterafla fonction intégrée etIl’intervalle d’étude, à chaque foisfs’avère
continue par morceaux surI.
a)I= ]0∼1
1[,f(t)t→1−1−tdoncfn’est pas intégrable au voisinage de 1 et puisque
de signe constant, l’intégrale étudiée diverge.
b)I= ]0+∞[,√tf(t)t−→−0−+→0ett2f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et
R+0∞lnte−tdtconverge.
c)I= ]0+∞[,√tf(t)t−−0−+→0ett32f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et
→
R+0∞tl2+nt1dtconverge.
d)I= ]0+∞[,f(t)t→∼0+√1tett43f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et
R+∞lnt(31+2t)dtconverge.
0
e)I= ]−∞&#