Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Calculs d'intégrales

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Calculs d’intégrales b) Etablir Z Z+∞ +∞ 2dt t dt I = = 4 41+t 1+tExercice 1 [ 00666 ] [correction] 0 0 4Calculer les intégrales suivantes : c) En factorisant 1+t déterminer la valeur de I. Z Z Z+∞ +∞ +∞ dt dt 1 a) b) c) ln 1+ dt t −t 2(t+1)(t+2) (e +1)(e +1) t Exercice 6 [ 00671 ] [correction]0 0 0Z Z+∞ +∞√ lnt− t Calculer Zd) e dt e) dt 1 22 ln(1−x )(1+t)0 0 dx 2x0 Exercice 2 [ 00667 ] [correction] Exercice 7 [ 00672 ] [correction]Calculer les intégrales suivantes : a) Justifier l’existence de √ ZZ Z Z 1+∞ π/2 1− t t−1e lnt I = dta) √ dt b) sinxln(sinx)dx c) √ dt lntt 1−t 00 0 0√Z Z Z+∞ +∞ +∞ 1/3dx 1+x−1 (1+x) −1 b) Etablird) √ e) dx f) dx Z3 2/3 +∞ −x −2x(x+1) x x(1+x) x(1+x)0 0 0 e − eZ Z Z2π 2π 12 I = dxdx sin (x) xdx xg) h) dx i) √ 0 2 22+cosx 3cos (x)+1 x−x0 0 0 c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer Z 2ε −xe I = lim dxExercice 3 [ 00668 ] [correction] ε→0 xε Existence et valeur de Z +∞ dt puis donner la valeur de I. I = 2 2(1+t )0 On pourra exploiter le changement de variable u = 1/t. Exercice 8 [ 00673 ] [correction] [Intégrales d’Euler] On pose Z Zπ/2 π/2Exercice 4 [ 00669 ] [correction] I = ln(sint)dt et J = ln(cost)dta) Etablir Z Z 0 0+∞ +∞dx x I = = dx Montrer que les intégrales I et J sont bien définies et égales.3 3x +1 x +10 0 Calculer I +J et en déduire les valeurs de I et J. b) En déduire la valeur de I.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 44
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

−2x
I=+x−dex
Z0∞e−x
c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer
2x
I= li→m0Zεεe−dx
εx

a) Etablir
x
I=Z+0∞x3dx+ 1 =Z+0∞x3+ 1 dx
b) En déduire la valeur deI.

puis donner la valeur deI.

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Exercice 4[ 00669 ][correction]

1

Enoncés

b) Etablir
∞
I=Z0+d+1tt4=Z+0∞1t2d+tt4
c) En factorisant1 +t4déterminer la valeur deI.

Calculs d’intégrales

Exercice 2[ 00667 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
+∞
a)Z0e−√√ttdtb)Z0π2sinxln(sinx)dx
d)Z+∞dx)√3xe)Z0+∞√x+1(1+xx−1)dx
0(x+ 1
g)Z20π2 +dcxosxh)Z02πsosic32(n2x)(x1+)dx

c)Z01√1nlt−tdt
f)Z+∞(1 +x)13−1
0x(1 +x)23dx
dx
i)Z10√xx−x2

b) Etablir

Exercice 3[ 00668 ][correction]
Existence et valeur de
I=Z+0∞dt
(1 +t2)2
On pourra exploiter le changement de variableu= 1t.

Exercice 7[ 00672 ][correction]
a) Justifier l’existence de

I=Z10tln−t1dt

Exercice 5[ 00670 ][correction]
a) Calculer
J=Z+∞tdt4
01 +t

Exercice 9[ 00674 ][correction]
Soientp q∈Rtel quep2−4q <0. Justifier et calculer
Z−+∞∞t2+dtpt+q

Exercice 8[ 00673 ][correction]
[Intégrales d’Euler]
On pose
I=Z0π2ln(sint)dtetJ=Z0π2ln(cost)dt
Montrer que les intégralesIetJsont bien définies et égales.
CalculerI+Jet en déduire les valeurs deIetJ.

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Exercice 1[ 00666 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z+0∞(t(d+1)tt+ 2)b)Z0+∞(et()1+det−t+ 1)
e−√tdte
d)Z0+∞)Z0+∞(1+lntt)2dt

c)Z0+∞ln1 +t12dt

Exercice 6[ 00671 ][correction]
Calculer
Z10ln(1x−2x2)dx

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Exercice 10[ 00675 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction continue telle que

xl→im+∞f(x) =`∈Rlimf(x) =`0∈R
x→−∞

Justifier l’existence et donner la valeur de
∞
Z+f(t+ 1)−f(t) dt
−∞

Exercice 11[ 00677 ][correction]
Existence et valeur de
Z+∞arctan(2x)x−arctanxdx
0

Enoncés

Exercice 12X MP[ 01334 ][correction]
Soient(a b)∈R2aveca < betf∈ C0(RR)admettant une limite finie`en−∞
et telle queR+0∞fexiste.
Justifier l’existence, puis calculer :
Z+∞

(f(a+x)−f(b+x)) dx
−∞

Exercice 13[ 00676 ][correction]
a) Justifier l’existence de
I=Z0+∞sitn23tdt

Pourx >0, on pose
x)+∞s
I( =Zxitn23tdt
b) On rappellesin 3a sin= 3a−4 sin3a. Etablir que
I(x)=34Zx3xsitn2tdt

c) En déduire la valeur deI.

Exercice 14[ 02350 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
)Z+∞etdt+ 1b)Z1+∞dshtt
a0√
d)Z+1∞dt2e)Z01l√nttdt
t2√1 +t

c)Z+0∞(t2t+nlt1)2dt

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02824 ][correction]
Existence et calcul de
Zπ2√tanθdθ
0

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02825 ][correction]
Existence et calcul éventuel de
+∞
Z−∞1 + (t+1ib)2dt

Exercice 17X MP
Calculer

[ 02965 ][correction]
1
etpx(1−x) dx
Z10px1(dx−x)Z0

Exercice 18X MP[ 02968 ][correction]
SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ−2.
ExprimerRRP Qà l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en
éléments simple deP Q.

Exercice 19X MP[ 02978 ][correction]
Soitf:C(RR)intégrable. On pose

g:x∈R?7→f(x−1x)

Montrer quegest intégrable surR−?etR+?et que
∞
Z−0∞g(x) dx+Z0+g(x) dx=Z−+∞∞f(x) dx

2

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Exercice 20X MP[ 01333 ][correction]
Calculer
+∞
Z−∞1 +xd4x+x8

Exercice 21Centrale PC[ 00525 ][correction]
Justifier l’existence et calculer
∞
I=Z+t[1t] dt
0

Exercice 22[ 03177 ][correction]
Calculer
I=Z11 +tt24dt
01 +
−x
en procédant au changement de variablet= e.

Exercice 23CCP MP[ 02509 ][correction]
a) Calculer
+∞1 +x2
Z4dx
01 +x
en effectuant notamment le changement de variablex=
b) En déduire la valeur de
Z+0∞+d1xx4

et
.

Exercice 24[ 03222 ][correction]
Poura b >0, calculer
I(a b) =Z+∞(t2+a2d)t(t2+b2)
−∞

Exercice 25[ 03237 ][correction]
Justifier et calculer

Z−+∞∞(1 +t2)dt(1 +it)

Enoncés

Exercice 26[ 03443 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rde classeC1et vérifiantf(0) = 0. Etablir
∀x >0Z0xf(tt)2dt62Z0xf(t)f0(td)t
t

en justifiant l’existence des intégrales écrites.

Exercice 27[ 03628 ][correction]
Pour quelles valeurs deaetbl’intégrale suivante est-elle définie ?
Z+0∞√t+a√t+ 1 +b√t+ 2dt

La calculer lorsque c’est le cas.

Exercice 28[ 03629 ][correction]
Soitf: [1+∞]→Rcontinue et intégrable. Montrer que les fonctionsuetv
suivantes sont intégrables sur[1+∞[et que leurs intégrales y sont égales :
v(x)
u(x) =x12Z1xf(t) dtet(x) =fx

Exercice 29CCP MP[ 02555 ][correction]
On considère
lnt
f:t7→(1 +t)2

a) Etudier l’intégrabilité defsur]01]et[1+∞[.
b) Calculer
Z01nl(+1tt)2dtetZ+1∞ln(1+tt)2dt

Exercice 30CCP PC[ 03794 ][correction]
Convergence et calcul de
Z+0∞ln1 +t12dt

3

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Exercice 31CCP PC
a) Montrer que

[ 03375 ][correction]

∀x∈Rex>1 +x

En déduire
−
∀t∈R1−t26et2611+t2
b) Soitn∈N?. Etablir l’existence des intégrales suivantes
I=Z0+∞e−t2dt,In=Z01(1−t2)ndtetJn=Z0

puis établir

c) On pose

Etablir

In

In√In
6

Wn=Z

6Jn

π2
cosnxdx
0

=W2n+1etJn+1=W2n

d) Trouver une relation de récurrence entreWnetWn+2.
En déduire la constance de la suite de terme général

un= (n+ 1)WnWn+1

+∞dt
(1 +t2)n

e) Donner un équivalent deWnet en déduire la valeur deI.

Enoncés

4

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On noterafla fonction intégrée etIl’intervalle d’étude, à chaque foisfs’avère
continue par morceaux surI.
a)I= [0+∞[,f(t)t→∼+t12, doncfest intégrable et l’intégrale étudiée converge.
∞
Z0+∞(t+ 1)d(tt+ 2) =Z+0∞t1+1−t1+2dt=lntt+2+10+∞ 2= ln
b)I= [0+∞[,t2f(t)t−→−−+−∞→0, doncfest intégrable et l’intégrale étudiée
converge.
Z+0∞(etd1+tZ+∞du1
= =
)(e−t+ 1)u=et1(u+ 1)22
c)I= ]0+∞[,√tf(t)t−→−0→0etf(t)t→∼+∞t12doncfest intégrable et l’intégrale
étudiée converge.
+∞ ∞2dt
Zε+∞ln1 +t12dtIP=Ptln1 + 1t20+Z0+1 +t2=π
L’intégration par parties est justifiée par deux convergences.
d)I= [0+∞[,t2f(t)t−−→−+−∞→0, doncfest intégrable et l’intégrale étudiée
converge.
Z+∞e−√tdtu==√tZ0+∞2ue−uduIP=P−2ue−u+0∞+Z0+∞2e−udu= 2
0

L’intégration par parties est justifiée par deux convergences.
e)I= ]0+∞[,√tf(t)t−→−0−+→0ett3Ƚ