Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de la convergence d'une suite de fonctions

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de la convergence d’une suite de fonctions Exercice 6 [ 00873 ] [correction] On pose 2 −nx +f (x) =nx e avec x∈RnExercice 1 [ 00881 ] [correction] Soient α∈R et f : [0,1]→R définie par +n Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [a,+∞[ avec a> 0.n α nf (x) =n x(1−x)n Exercice 7 [ 00874 ] [correction]a) Etudier la limite simple de la suite (f ).n On poseb) Pour quels α∈R, y a-t-il convergence uniforme? 1 f (x) = avec x∈Rn 2 n(1+x ) Exercice 2 [ 00869 ] [correction] Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur ]−∞,−a]∪[a,+∞[ avecn Soit f :R→R définie parn a> 0. p 2f (x) = x +1/nn 1 Exercice 8 [ 00875 ] [correction]Montrer que chaque f estC et que la suite (f ) converge uniformément surRn n 1 On posevers une fonction f qui n’est pas de classeC . 12f (x) =x sin pour x> 0 et f (0) = 0n n nx +Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [−a,a] avec a> 0.Exercice 3 [ 00871 ] [correction] n On pose nu (x) =x lnx avec x∈ ]0,1] et u (0) = 0n n Exercice 9 [ 00890 ] [correction]Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (u ) sur [0,1].

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 150
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Etude de la convergence d’une suite de

Exercice 1[ 00881 ][correction]
Soientα∈Retfn: [01]→Rdéfinie par

fn(x) =nαx(1−x)n

a) Etudier la limite simple de la suite(fn).
b) Pour quelsα∈R, y a-t-il convergence uniforme ?

Exercice 2[ 00869 ][correction]
Soitfn:R→Rdéfinie par
fn(x) =px2+ 1n

fonctions

Montrer que chaquefnestC1et que la suite(fn)converge uniformément surR
vers une fonctionfqui n’est pas de classeC1.

Exercice 3[ 00871 ][correction]
On pose
un(x) =xnlnxavecx∈]01]etun(0) = 0
Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions(un)sur[01].

Exercice 4[ 00872 ][correction]
Etudier la convergence uniforme defn: [0+∞[→Rdéfinie par

fn(x) =n(1x+xn)

Exercice 5[ 00870 ][correction]
On pose
un(x) = e−nxsin(nx)avecx∈R+
a) Etudier la convergence simple de la suite de fonctions(un)sur[0+∞[.
b) Etudier la convergence uniforme sur[a+∞[aveca >0.
c) Etudier la convergence uniforme sur[0+∞[.

Enoncés

Exercice 6[ 00873 ][correction]
On pose
fn(x) =nx2e−nxavecx∈R+
Etudier la convergence uniforme de(fn)surR+puis sur[a+∞[aveca >0.

Exercice 7[ 00874 ][correction]
On pose
fn(x=)(1+1x2)navecx∈R

Etudier la convergence uniforme de(fn)surRpuis sur]−∞−a]∪[a+∞[avec
a >0.

Exercice 8[ 00875 ][correction]
On pose
fn(x) =x2sinn1xpourx >0etfn(0) = 0
Etudier la convergence uniforme de(fn)surR+puis sur[−a a]aveca >0.

Exercice 9[ 00890 ][correction]
Soitfn:R+→Rdéfinie par
−n
fn(x) =1 +nx

a) Etudier la limite simple de(fn)et montrer que

∀x∈R+ fn(x)>limfn(x)

b) En partant de l’encadrement suivant valable pour toutt∈R+,

t−t226ln(1 +t)6t

justifier que la suite(fn)converge uniformément sur tout intervalle[0 a](avec
a >0).
c) Etablir qu’en fait, la suite de fonctions(fn)converge uniformément surR+.

1

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Exercice 10[ 00892 ][correction]
Soitfn: [01]→Rdéfinie par
fn(x) =n2x(1−nx)six∈[01n]etfn(x) = 0sinon

a) Etudier la limite simple de la suite(fn).
b) Calculer
Z10fn(t) dt
Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction(fn)?
c) Etudier la convergence uniforme sur[a1]aveca >0.

Exercice 11[ 00891 ][correction]
Pourx∈[0 π2], on posefn(x) =nsinxcosnx.
a) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions(fn).
b) Calculer
π2
In=Zfn(x)dx
0
La suite(fn) ?converge-t-elle uniformément
c) Justifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans]0 π2].

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02830 ][correction]
On pose, pourx>0,
fp(x) = (1 +x1)1+1p
Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions(fp)p∈N?.

Exercice 13X MP[ 02972 ][correction]
Soit, pourn∈N,fnla fonction définie surR+par
fn(x) = (1−xn)nsix∈[0 n]etfn(x) = 0six > n
Etudier le mode de convergence de(fn).

Exercice 14[ 00876 ][correction]
On pose
fn(x1+)=2nn2xnx2pourx∈R
Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

Enoncés

Exercice 15[ 00877 ][correction]
On pose
fn(x) = 4n(x2n−x2n+1)pourx∈[01]
Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

Exercice 16[ 00883 ][correction]
Soitfn:R+→Rdéfinie par

fn(x) =x+ 1n

Montrer que(fn)converge uniformément mais pas(fn2).

Exercice 17[ 00887 ][correction]
Soitf:R→Rfonction deux fois dérivable de dérivée seconde bornée.une
Montrer que la suite des fonctions

gn:x7→n(f(x+ 1n)−f(x))

converge uniformément versf0.

2

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02831 ][correction]
Soitf: [01]→[01]donnée parf(x) = 2x(1−x). Etudier la convergence de(fn)
oùfnest l’itérénème def.

Exercice 19[ 02860 ][correction]
Soit(fn)la suite de fonction définie surR+par

f0(x) =xetfn+1(x) =xN
2 +fn(x)pourn∈

Etudier la convergence simple et uniforme de la suite(fn)n>0surR+.

Exercice 20CCP MP[ 02527 ][correction]
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de terme général
fn(x) = sinnxcosxpourx∈R.

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Enoncés

Exercice 21CCP MP[ 02532 ][correction]
a) Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =x(1 +nαe−nx)définies surR+pour
α∈Retn∈N?converge simplement vers une fonctionfà déterminer.
b) Déterminer les valeurs deαpour lesquelles il y a convergence uniforme.
c) Calculer
1
nl→i+mZx(1 +√n−nx)dx
e
∞0

Exercice 22CCP MP[ 02518 ][correction]
Etudier la suite de fonctions(fn)définie par

fn(x)n1x−2ee−−xn2x
=

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Six= 0alorsfn(x) = 0→0.
Six∈]01]alorsfn(x)→0par comparaison des suites de référence.
b)f0n(x) =nα(1−x)n−nα+1x(1−x)n−1=nα(1−x)n−1(1−(n+ 1)x).
Après étude des variations
kfnk∞=fnn1+1=nαn1+11−n1+1n

Orn11+∼1net
1−n1+1n=enln(1−n1+1)=e−1+o(1)→e−1

donckfnk∞nαe−1.
∼
Il y a convergence uniforme si, et seulement si,α <1.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Par opérations, les fonctionsfnsont de classeC1car√estC1surR+?.
La suite(fn)converge simplement versfavecf(x) =|x|qui n’est pas dérivable
en 0.
En multipliant par la quantité conjuguée :

fn(x)−f(x) =px21+1nn+√x2

Par suite|fn(x)−f(x)|6√11nn=√1npuiskfn−fk∞6√1n→0.
Ainsi la suite(fn)converge uniformément vers une fonctionfqui n’est pas de
classeC1
.

Exercice 3 :[énoncé]
Les fonctionsunsont continues sur[01]pourn>1et dérivables sur]01]avec
u0n(x) =xn−1(1 +nlnx)
Le tableau de variation deundonne
e
[s0u1p]|un|=−un(−1n) =n1e→0

La suite de fonctions converge donc uniformément sur[01]vers la fonction nulle.

Exercice 4 :[énoncé]
Pourx∈[0+∞[,fn(x)→0car|fn(x)|6nx.
On a
fn0(x)n(1 +xn)−n2xn1 + (1−n)xn
= =
n2(1 +xn)2n(1 +xn)2
Posonsxn=np1(n−1).

x0
fn(x) 0

xn+∞
%Mn&0

donc
kfnk∞Mn=fn(xn) =np1(n−)1)=e−1nnlnn2(n−1)→0
=
1
n(1 +n−1−1
Il y a donc convergence uniforme vers la fonction nulle.

4

Exercice 5 :[énoncé]
a) Soitx∈[0+∞[.
Six= 0alorsun(x) = 0→0.
Six >0alorsun(x)→0care−nx→0.
La suite de fonctions(un)donc simplement vers la fonction nulle surconverge R+.
b) On a
sup|un(x)|6e−na→0
[a+∞[

donc il y a convergence uniforme sur[a+∞[aveca >0.
c) Puisque
kunk∞>un(π2n) = e−π26 →0
il n’y a pas convergence uniforme surR+.

Exercice 6 :[énoncé]
fn0(x) =nx(2−nx)e−nx, le tableau de variation defndonne

sup|fn|=fn(2n 4) = e−2→0
R+n

donc il y a convergence uniforme surRet donc a fortiori sur[a+∞[.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
fn(0)→1etfn(x)→0pourx6= 0. La fonction limite n’étant pas continue, il n’y
a pas convergence uniforme surR. En revanche si|x|>|a|alors

|fn(x)|61(1+a2)→0
n

donc il y a convergence uniforme sur]−∞−a]∪[a+∞[aveca >0.

Exercice 8 :[énoncé]
fn(x)→0etfn(n) =n2sin(1n2)→1il n’y a donc pas converg