Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites adjacentes
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites adjacentes Exercice 5 [ 02274 ] [correction] [Irrationalité du nombre de Néper] SoientExercice 1 [ 02271 ] [correction] n nX X1 1 1 1 Soient θ∈ ]0,π/2[ et a = et b = + =a +n n n k! k! n.n! n.n!θ θn n k=0 k=0u = 2 sin , v = 2 tann nn n2 2 a) Montrer que (a ) et (b ) sont strictement monotones et adjacentes.n n Montrer que les suites (u ) et (v ) sont adjacentes. Quelle est leur limite On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e∈/Q et pourn n p ?commune? cela on raisonne par l’absurde en supposant e = avec p∈Z,q∈N . q b) Montrer que a 1, u 6v , u 6u et v 6v .n n n n+1 n+1 n c) Etablir que (u ) et (v ) convergent vers une même limite.n n Exercice 3 [ 02272 ] [correction] Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et ?Pour tout n∈N , on pose est notée M(a,b). +d) Calculer M(a,a) et M(a,0) pour a∈R . nX +1 1 e) Exprimer M(λa,λb) en fonction de M(a,b) pour λ∈R .0S = et S =S +n nn2k n k=1 0Montrer que les suites (S ) et (S ) sont adjacentes.n n 2On peut montrer que leur limite commune est π /6, mais c’est une autre histoire... Exercice 4 [ 02273 ] [correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit (u ) une suite de réels décroissante et de limite nulle.n nP kPour tout n∈N, on pose S = (−1) u .n k k=0 Montrer que les suites extraites (S ) et (S ) sont adjacentes et en déduire que2n 2n+1 (S ) converge.

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