Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites monotones et bornées

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites monotones et bornées Exercice 5 [ 02269 ] [correction] ?Soit (H ) la suite définie pour n∈N parn Exercice 1 [ 02265 ] [correction] nX 1 Soit (u ) une suite croissante de limite ‘. On posen H =n k k=1 u +···+u1 n v =n a) Montrer que H → +∞.nn b) Soit (u ) une suite telle que n(u −u )→ 1. Montrer que u → +∞.n n+1 n n a) Montrer que (v ) est croissante.n u +vn nb) Etablir que v > .2n 2 c) En déduire que v →‘.n Exercice 6 [ 02270 ] [correction] On pose 1×3×5×···×(2n−1) u =n 2×4×6×···×(2n)Exercice 2 [ 02266 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite v = supu . a) Exprimer u à l’aide de factoriels.n n p n p>n b) Montrer que la suite (u ) converge.n c) On pose 2v = (n+1)un n Exercice 3 [ 02267 ] [correction] Montrer que la suite (v ) converge. En déduire la limite de la suite (u )n n Soit (u ) une suite réelle bornée. On posen d) Simplifier 2nY 1 v = supu et w = inf un p n p 1− p>np>n k k=2 2Montrer que les suites (v ) et (w ) possèdent chacune une limite dansR et et comparer ce produit à u .n n n comparer celles-ci. e) En déduire que la limite C de la suite (v ) est strictement positive.n Exercice 4 [ 02268 ] [correction] [Somme harmonique] Pour tout n∈N, on pose nX 1 H =n k k=1 Montrer que 1?∀n∈N ,H −H >2n n 2 En déduire que lim H = +∞.n n→∞ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Suites monotones et bornées

Exercice 1 [ 02265 ] [correction] Soit(u n )une suite croissante de limite`. On pose

u 1 +∙ ∙ ∙+u n v n = n a) Montrer que(v n )est croissante. b) Etablir quev 2n > u n 2 +v n . c) En déduire quev n →`.

Exercice 2 [ 02266 ] [correction] Soit(u n )une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suitev n = supu p . p>n

Exercice 3 [ 02267 ] [correction] Soit(u n )une suite réelle bornée. On pose

v n = supu p etw n = p in > f n u p p>n Montrer que les suites(v n )et(w n )possèdent chacune une limite dansRet comparer celles-ci.

Exercice 4 [ 02268 ] [correction] [Somme harmonique] Pour toutn∈N, on pose

H n = Xn k 1 k=1

Montrer que ∀n∈N ?  H 2n −H n > 2 1 En déduire quelimH n = +∞. n→∞

Enoncés

Exercice 5 [ 02269 ] [correction] Soit(H n )la suite définie pourn∈N ? par n H n = X 1 k k=1

a) Montrer queH n →+∞. b) Soit(u n )une suite telle quen(u n+1 −u n )→1. Montrer queu n →+∞.

Exercice 6 [ 02270 ] [correction] On pose u n = 1×3×5× ∙ ∙ ∙ ×(2n− ) )1 2×4×6× ∙ ∙ ∙ ×(2n a) Exprimeru n à l’aide de factoriels. b) Montrer que la suite(u n )converge. c) On pose v n = (n+ 1)u n 2 Montrer que la suite(v n )converge. En déduire la limite de la suite(u n ) d) Simplifier k 2Y = n 2  − 1 k  1 et comparer ce produit àu 2 n . e) En déduire que la limiteCde la suite(v n )est strictement positive.

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