Sujet : Géométrie, Géométrie de l'espace, Produits scalaire, vectoriel et mixte

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Produits scalaire, vectoriel et mixte Exercice 8 [ 01887 ] [correction] ~ ~Soient~a,b deux vecteurs de l’espace et l’équation vectorielle ~x+~a∧~x =b d’inconnue~x.Exercice 1 [ 01880 ] [correction] ~a) Soit~x solution. Montrer que~a·~x =~a·b et en déduire une expression de ~x.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 61
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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Produits scalaire, vectoriel et mixte

Exercice 1[ 01880 ][correction]
Soituun vecteur non nulAun point etλun réel.
~
−−
Déterminer les pointsMtels queAM∙→u~=λ.

Exercice 2[ 01881 ][correction]
Soitw~v~u~trois vecteurs de l’espace.
Exprimer Det(u~+~v~v+w~w~+~u)en fonction de Det(~uv~~w).

Exercice 3[ 01882 ][correction]
~ ~
Soitcdb~a~quatre vecteurs de l’espace. Montrer

~ ~
Det(~a∧~ab∧~ac~∧d) = 0

Exercice 4[ 01883 ][correction]
Soientu~etv~deux vecteurs orthogonaux et non nuls de l’espace. Simplifier
(~u∧v)∧u.
~ ~

Exercice 5[ 01884 ][correction]
SoitA B C Dquatre points non coplanaires de l’espace.
Déterminer l’ensemble des pointsMvérifiant
−−→−M−→B)∧(−M−→C−M−→D) =~0
(M A∧ ∧

Exercice 6[ 01885 ][correction]
Montrer que pour tout pointsA B C M, on a
−
−M−→A∧ −M−→B+−M−→B∧ −M−→C+−M−→C∧ −M−→A=A−→B∧A→C

Exercice 7[ 01886 ][correction]
~ ~
Soient~abdes vecteurs de l’espace avec~a6= 0.
~
On désire déterminer les vecteurs~xtels quea∧x~=b.
~
~
a) Montrer que, si~a∙b6= 0, il n’y a pas de solution à cette équation.
~
On suppose maintenant~a∙b= 0.
~
b) Déterminerλ∈Rtel que le vecteur~x0=λ~a∧bsoit solution.
c) Déterminer alors toutes les solutions.

Enoncés

Exercice 8[ 01887 ][correction]
~ ~
Soientb~adeux vecteurs de l’espace et l’équation vectoriellex~+~a∧x~=b
d’inconnue~x.
~
a) Soit~xsolution. Montrer que~a∙~x=~a∙bet en déduire une expression de~x.
b) Conclure.

1

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Corrections

SEoxiterBcidcéete1r:m[iénnéopncé]A−→B=. On aA−→B∙u~=λet alors
λ~
ark~uk2u
−
A−M→~u=λ⇔ −A−M∙→u~=A−→B∙u~⇔B−−M→∙~u= 0
∙

Corrections

Par suite l’ensemble solution est le plan passant parBdont~uest vecteur normal.

Exercice 2 :[énoncé]
En développant :
Det(u~+v~~v+w~~w+u~) =Det(v~w~u~) +Det(u~~w~v) + 0 = 2Det(wu~v~~).

Exercice 3 :[énoncé]
Si~a=~0alors~a∧b~=~a∧c~=~a∧d~=~0donc

~ ~
Det(~a∧a~b∧a~c~∧d) = 0

~ ~ ~
Si~a6= 0alors~a∧ba~∧a~~c∧dsont coplanaires car tous trois orthogonaux à~a.
Par suite
~ ~
Det(~a∧a~b∧a~c~∧d) = 0

Exercice 4 :[énoncé]
~u∧v~est orthogonal à~udonck(~u∧~v)∧u~k=ku~∧~vk k~uk=ku~k2k~vk
.
(u~∧~v)∧~uest orthogonal àu~et àu~∧v~, il est donc colinéaire àv~.
La famille(~u∧~v~u(u~∧~v)∧~v)est directe tout comme la famille(~u∧~~uv~v).
Par suite(u~∧~v)∧u~=ku~k2v~.

Exercice 5 :[énoncé]
−−
Un pointMest solution si, et seulement si,−M−→A∧M→Bet−M−→C∧ −M−→Dsont
colinéaires. Or ces vecteurs sont respectivement orthogonaux aux plans(ABM)et
(CDM). S’ils sont non nuls, la colinéarité implique que ces deux plans sont
e les o
ccoonpfloannadiurse.s.CAeicniseistMuslnuipstsuiouiqtsoleexscMp→Aint∧sAM→BBesCtnDonsutlou−Ms−u→Cpp∧os−Mé−s→Ds.e.itse’lnon,i
−−−−
et seulement si,M∈(AB)∪(CD).

Exercice 6 :[énoncé]
On a

−M−→A∧ −M−→B=−M−→A∧A−→B=A−→B∧A−−M→

−−−−
etM→B∧M→C=−M−→A∧ −M−→C+A−→B∧ −M−→C
donc−M−→A∧ −M−→B−M−→B−M−→C=A−→B∧ −A→C+−M−→A∧ −M−→C
+∧
puis la relation.

2

Exercice 7 :[énoncé]
~ ~
a) S’il existe une solutionx~alorsb=~a∧x~implique que~aetbsont orthogonaux.
b)
~ ~2b=−λk~ak2b
~a∧(λ~a∧b) =λ~a∙b~a−λk~ak
Pourλ=−1kak2, le vecteur~x0est solution particulière.
c)

~
a∧~x=b⇔~a∧x~=~a∧~x0⇔~a∧(~x−~x0) =~0⇔x~−x~0est colinéaire à~a
~

Par suite

Exercice 8 :[énoncé]
a) Six~est solution

et alors

puis

et finalement

b) Pour

S={x~0+λ~aλ∈R}

~ ~
~a∙x~=~a∙(b−~a∧x~) =a∙b
~

~a∧~x=~a∧(b~−~a∧~x) =~a∧b~−(~a∙x~)~a+k~ak2x~

~~b~a∧~b+ (~a∙b~)~2~
x~=b−~a∧~x=−a− k~akx

~ ~ ~
x~1=+1k~ak2~ba∧b+ (~a∙b)~a
−

x~+11=k~ak2b~−~a∧b~+ (~a∙~b)~a

on vérifie
x~+~a∧x~1=+1kak2b~−~a∧b~+ (~a∙~b)~a+~a∧b~−(~a∙b~)~a+k~ak2~b=~b

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