Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes du plan

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Courbes du plan Exercice 1 [ 00576 ] [correction] 2Quels sont les arcs réguliers de classeC de courbure constante? Exercice 2 [ 00577 ] [correction] 2 2Quels sont les arcs biréguliers de classeC vérifiant R = 1 +s où R désigne le rayon de courbure au point courant? Exercice 3 [ 00578 ] [correction] √ 2 2Quels sont les arcs biréguliers de classeC vérifiant R = 1−s où R désigne le rayon de courbure au point courant? Exercice 4 [ 00575 ] [correction] 1 2Soit f unC difféomorphisme d’un ouvert U vers un ouvert V deR . a) Montrer que si Γ = (I,M) est un arc régulier inscrit dans U alors l’arc f(Γ) = (I,f◦M) est aussi un arc régulier. b) Montrer que si en tout a∈U, df(a) est une similitude directe alors f conserve ˜les angles orientés dans le sens suivant : si Γ et Γ sont deux arcs réguliers se ˜coupant en M alors f(Γ) et f(Γ) se coupent en f(M) et l’angle entre les tangentes en M est égal à l’angle entre les tangentes en f(M). 2c) Soit f l’application deR\{O} vers lui-même d’expression complexe z7→ 1/z. Montrer que f conserve les angles orientés. Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02918 ] [correction] 1 + +Soit f∈C (R ,R). Si x∈R , on note P le point intersection de la tangente aux graphe de f au point d’abscisse x avec Ox. −−→ a) Montrer, si OP a une limite quand x→ +∞ que le graphe de f a unex asymptote. b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 27
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Courbes du plan

Exercice 1[ 00576 ][correction]
Quels sont les arcs réguliers de classeC2 ?de courbure constante

Exercice 2[ 00577 ][correction]
Quels sont les arcs biréguliers de classeC2vérifiantR= 1 +s2oùRdésigne le
rayon de courbure au point courant ?

Enoncés

Exercice 3[ 00578 ][correction]
Quels sont les arcs biréguliers de classeC2vérifiantR=√1−s2oùRdésigne le
rayon de courbure au point courant ?

Exercice 4[ 00575 ][correction]
SoitfunC1difféomorphisme d’un ouvertUvers un ouvertVdeR2.
a) Montrer que siΓ = (I M)est un arc régulier inscrit dansUalors l’arc
f(Γ) = (I f◦M)est aussi un arc régulier.
b) Montrer que si en touta∈U,df(a)est une similitude directe alorsfconserve
˜
les angles orientés dans le sens suivant : siΓetΓsont deux arcs réguliers se
˜
coupant enMalorsf(Γ)etf(Γ)se coupent enf(M)et l’angle entre les
tangentes enMest égal à l’angle entre les tangentes enf(M).
c) Soitfl’application deR2 {O}vers lui-mme d’expression complexez7→1z.
Montrer quefconserve les angles orientés.
Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02918 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R). Six∈R+, on notePxle point intersection de la tangente au
graphoentdreerfa,us−OpPo→intd’abseilcesnsuteimixcaeuqdnvaxOx→.
−
a) M ixa+∞que le graphe defa une
asymptote.
b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.
Exercice 6[ 01339 ][correction]
SoitM0un point birégulier d’un arc de classeC3.
Exprimer en fonction du rayon de courbure enM0un équivalent quandM→M0
de
L(M0M)−M0M
oùL(M0M)désigne la longueur de l’arc d’extrémitésM0etM.

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par changement de paramétrage, une solution en devient une autre. Limitons
nous à la recherche des paramétrages normaux.
Si notre arc est à courbure constante non nulleγ= 1R.
Odα=1
n ads Rdoncα(s) =α0+sR. Le système
dx
cosα=d
s
sinα=ddys

donne alors

(xy((ss)=)=xy00−+RRo(s(snicαα((ss))))

Corrections

et par suite le support de notre arc est inclus dans un cercle.
Si notre arc est à courbure nulle, on montre de façon semblable que notre arc est à
son support inclus dans une droite.
Inversement, les arcs proposés sont bien à courbure constante.

Exercice 2 :[énoncé]
Soit un arc solution. On recherche notre arc par le biais d’un paramétrage normal
et on reprend les notations standards.
On a
dα1 1
γ=ds=R= 1 +s2
doncα= arctans+α0. Quitte à réaliser une rotation du repère, on peut supposer
α0= 0.
Le système
snicosαα==ddddsysx
donne alors
dx1

=
ddsy√1s+s2
ds=√1 +s2

d’où
(xy==aprg1sh(+ss)2++yx00
La réciproque est immédiate.
Notons que l’arc solution est inclus dans la courbe d’équation cartésienne
y=p1 +sh(x−x0)2+y0=ch(x−x0) +y0.
Cette courbe est une chaînette.

2

Exercice 3 :[énoncé]
Soit un arc solution. On recherche notre arc par le biais d’un paramétrage normal
et on reprend les notations standard.
1
On aγ=ddsα=R1=√1−s2doncα= arcsins+α0. Quitte à réaliser une rotation
ddx=p1s2
−
du repère, on peut supposerα0= 0.=ddxsd
s
sincosαα=ddysdonne alorsdsy=s
d’oùxy=1=12s2p1−s2rcsi+12ans+x0. L
a réciproque est entendue.
2s+y0
x1=s2niαcosα+12α+x0=14(sint+t) +x0
Notons quey=nis212α+y0=−co14st+y00avect= 2α. L’arc
apparaît comme inclus dans une arche de cycloïde.

Exercice 4 :[énoncé]
a) En effetf◦MestC1par composition et(f◦M)0(t) = df(M(t))(M0(t))6= 0
carM0(t)6= 0etdf(M(t))est injective.
˜
b) Les tangentes enMsont dirigées parM0(t)etM0(t). Celles enf(M)sont
dirigées par les images de ces vecteurs pardfMor cette dernière conserve les
angles orientés car est par hypothèse une similitude directe.
c) SiM(x y)alorsM0(x0 y0)avecx0=x2x+y2ety0=x2−+yy2. L’application
f:M7→M0est unC1difféomorphisme deR2 {O}vers lui-mme etdfMa pour
matrice(x2+1y2)2y22−xyx2y2−2−xxy2. Cette matrice est de la forme
x2+1y2nicossθθ−csosinθθdoncdfMest une similitude d
irecte.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Exercice 5 :[énoncé]
a) L’abscisse dePxestx−f(x)f0(x). L’hypothèse posée signifie donc

Ainsi, on peut écrire

x−f(x)f0(x)−−−−→`∈R
x→+∞

f(x)f0(x) =x−`+o(1)

Corrections

Pourx→+∞,x−`+o(1)→+∞et donc, il existea∈R+, tel quef(x)6= 0
pour toutx>a.
On peut alors passer à l’inverse et écrire
01`
ff((xx=+))2+ox12
x x

puis en intégrant deaàxon obtient
ln|f(x)| −ln|f(a)|= lnx−lna−`x+`a+Zxaot12dt

Or
x
Zot12dt=Za+∞ot12dt−Zx+∞ot12dt
a
et
Zx+∞ot12dt=oZx+∞td2t=o1x
donc la relation précédente donneln|f(x)|= lnx+Cte−x`+ox1
puis|f(x)|= eCxe−x`+o(x1e=)Cx1−x`+ox1.
Enfin puisquefest de signe constant sur[a+∞[(car continue et ne s’annulant
pas), on obtient une relation de la formef(x) =αx+β+o(1)qui donne la droite
d’équationy=αx+βasymptote à graphe defen+∞.
b) Considéronsf(x) =x+sinx x. La droite d’équationy=xest asymptote au
x2cosx−2xsinx
graphe defen+∞etx−ff0((xx))=x−x2+xx3c+oxs sxin−sxinx x2+xcosx−sinx.
=
Pourx= 2nπ,x−ff0((xx))−n−∞→1et pourx= (2n+ 1)π,x−ff0((xx))−n−∞→ −1.
Ceci fournit un contre-exemple.

Exercice 6 :[énoncé]
Considérons un paramétrage normals7→M(s)de l’arc étudié au voisinage deM0,
paramétrage normal choisit de sorte queM0=M(0).

La formule de Taylor-Young à l’ordre 3 en 0 donne
−M−0−M→(s) dO−−M→12d2d−sO−2M→+16s3d3d−sO−3M→+o(s3)
=sd +s
s2
En introd nt le~−→
uisa s vecteursTetNde la base de Frént enM0, on a
−
dO−M−→d2−−→~−−
=T→dO2Mdd=sT= 1R~Netd3dOs3M→d=ds1N~R=−R12ddRNs~−R12T~
ds,s

On en déduit
12
−M−0−M→(s) =s−16R2s3+o(s3)T~+2 RR s12ddssR3+o(s3)N~
−

puis
M0M(s) =rs2−121R2s4+o(s4) =s−241R2s3+o(s3)
SachantL(M0M) =s, on obtient

L(M0M)−M0M∼214R2s3quandM→M0

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD