Sujet : Géométrie, Parties orthocentriques

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Parties orthocentriques 

Le plan géométrique est supposé rapporté à un repère orthonormé (;  ,  ) . On appelletriangletout ensemble formé de trois points non alignés du plan.

1. 1.a

 

1.b 1.c

 

2.

3.

Partie I : Orthocentre

Soitun triangle du plan Etablir que pour tout pointdu plan :       ⋅+⋅+⋅=0 . En déduire que les trois hauteurs du trianglesont concourantes en un pointappeléorthocentrede ce triangle. Justifier l’existence d’un cercle unique passant par les points,,. Soitle centre du cercle défini ci-dessus etle point déterminé par la relation vectorielle :     = + + . Etablir queest l’orthocentredu triangle. En déduire que les points,et le point, isobarycentre des points ,,, sont alignés. Soit,et (1,les points de coordonnées ( 4) ,−2,−3) et (4,−1) . Justifier que,,ne sont pas alignés et déterminer les coordonnées des points,,définis ci-dessus. Etant donnés deux pointsetdu plan et un point, à quelle(s) condition(s) existe t’il un unique triangle donteten soient sommets etorthocentre ?

Partie II : Partie orthocentrique

Etant donnée une partieformée de points du plan non tous alignés, on dira que la partieestorthocentriquessi tout orthocentre d’un triangle de points de  appartient à. 1. Dans cette question, on s’intéresse aux parties orthocentriques finies.

1.a 1.b

1.c 1.d 2.

3. 3.a

3.b

3.c  

Déterminer les parties orthocentriques à 3 éléments. Soitun triangle non rectangle etson orthocentre. Montrer que { ,,, } est une partie orthocentrique à quatre éléments

Existe t’il d’autres parties orthocentriques formées de quatre points ?

Donner un exemple de partie orthocentrique formée de cinq points ? Montrer que la réunion de deux droites orthogonales est une partie orthocentrique. Soitun réel non nul etl’hyperbole d’équation=. Soit,,,quatre points distincts ded’abscisses respectives   2 ,,,. Montrer queetsont orthogonaux ssi= −. Soit,,trois points distincts ded’abscisses respectives,,. Montrer queforme un triangle et en déterminer l’orthocentre. Montrer queest orthocentrique.