Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Analyse

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00318 ] [correction] Exercice 6 [ 01333 ] [correction] Pour n> 2, on considère le polynôme Calculer Z +∞ dx n 4 8P =X −nX + 1 1 +x +xn −∞ a) Montrer que P admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notée x .n n Exercice 7 [ 01334 ] [correction]b) Déterminer la limite de x lorsque n→ +∞.n 2 0Soient (a,b)∈R avec a0 Exercice 10 [ 02978 ] [correction] Exercice 4 [ 02981 ] [correction] Soit f :C(R,R) intégrable. On pose Déterminer un équivalent lorsque n→ +∞ de ?g :x∈R 7→f (x− 1/x) Z n1 t −? +?I = dt Montrer que g est intégrable surR etR et quen 21 +t0 Z Z Z0 +∞ +∞ g(x) dx + g(x) dx = f(x) dx −∞ 0 −∞ Exercice 5 [ 03165 ] [correction] Soient (a ) une suite réelle positive, bornée et (u ) la suite récurrente définie parn n Exercice 11 [ 03053 ] [correction] 2 00Soit f∈C (R,R) telle que f et f sont de carrés intégrables.1 u > 0 et u = pour tout n∈N0 n+1 0a) Montrer que f est de carré intégrable.u +a + 1n n b) Montrer : Z Z Z2Montrer que la suite (u ) converge si, et seulement si, la suite (a ) converge.n n 02 2 002f 6 f f R R R Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 12 [ 01335 ] [correction] Exercice 18 [ 02956 ] [correction] Etudier la série de terme général Soit (u ) une suite de réels strictement positifs.n n>1 ?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: oraux-mpsi
• Nombre de lectures: 125
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 00318 ][correction]
Pourn>2, on considère le polynôme

Pn=Xn−nX+ 1

a) Montrer quePnadmet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn.
b) Déterminer la limite dexnlorsquen→+∞.
c) Donner un équivalent de(xn)puis le deuxième terme du développement
asymptotiquexn.

Exercice 2[ 02942 ][correction]
Soitf: [01]→Rcontinue, concave et vérifiantf(0) = 1. Etablir
Z10xdx623Z01f(x)dx2
f(x)

Exercice 3[ 02977 ][correction]
Soitf∈ C([01]R). Déterminer la limite de la suite
R01Rt01nftn(td)tdt!n>0

Exercice 4[ 02981 ][correction]
Déterminer un équivalent lorsquen→+∞de
I t
n=Z011 +t2ndt

Enoncés

Exercice 5[ 03165 ][correction]
Soient(an)une suite réelle positive, bornée et(un)la suite récurrente définie par

+1an+ 1pour toutnN
u0>0etun+1=∈
un

Montrer que la suite(un)converge si, et seulement si, la suite(an)converge.

Exercice 6[ 01333 ][correction]
Calculer
Z+∞

dx
−∞1 +x4+x8

Exercice 7[ 01334 ][correction]
Soient(a b)∈R2aveca < betf∈ C0(RR)admettant une limite finie`en−∞
et telle queR0+∞fexiste.
Justifier l’existence, puis calculer :
+
Z∞−∞(f(a+x)−f(b+x)) dx

Exercice 8[ 02965 ][correction]
Calculer
Z10pxd(1x−x)etZ10px(1−x) dx

Exercice 9[ 02968 ][correction]
SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ−2.
ExprimerRRP Qà l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en
éléments simple deP Q.

Exercice 10[ 02978 ][correction]
Soitf:C(RR)intégrable. On pose

g:x∈R?7→f(x−1x)

Montrer quegest intégrable surR−?etR+?et que
∞
Z−0∞g(x) dx+Z+0∞g(x) dx=Z+f(x) dx
−∞

Exercice 11[ 03053 ][correction]
Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables.
a) Montrer quef0est de carré intégrable.
b) Montrer :
ZRf0226ZRf2 ZRf002

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Exercice 12[ 01335 ][correction]
Etudier la série de terme général

un= (−1)nsin(lnn)
n

Exercice 13[ 01337 ][correction]
Quelle est la nature de la série de terme général
ei√n
√n?

Exercice 14[ 01338 ][correction]
Calculer
+∞
nX=0(4n+(41)1n+ 3)

Exercice 15[ 02949 ][correction]
Etudier la limite quandn→+∞de
k=Xn1nkn

Exercice 16[ 02950 ][correction]
Soit(un)n>1une suite d’éléments deR+?.
On pose
vn=nu1nkX=n1uk!etwn=n21unnkX=1kuk
On suppose que(vn)tend versa∈R+?.
Etudier la convergence de(wn).

Exercice 17[ 02951 ][correction]
Soit(un)n>0la suite définie paru0∈[01]et

∀n∈N un+1=un−u2
n

!

Enoncés

a) Quelle est la nature de la série de terme généralun?
b) Mme question lorsqueunest définie par la récurrenceun+1=un−u1n+α(avec
α >0).

Exercice 18[ 02956 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels strictement positifs.
?
On pose, pourn∈N,

vn=unSnoùSn=u1+∙ ∙ ∙+un
Déterminer la nature dePvn.

Exercice 19[ 02957 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

n
Xuk−nun
k=1

est bornée.
Montrer que la série de terme généralunconverge.

Exercice 20[ 02958 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général
unconverge.
+∞
On note le reste d’ordren:Rn=Puk.
k=n+1
Etudier la nature des séries de termes générauxunRnetunRn−1.

Exercice 21[ 02959 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Nature de la série de terme général

un+1un
−
un

2

Exercice 22[ 02960 ][correction]
Soitu∈RNtelle queu0∈]01]et que, pour un certainβ >0et pour toutn∈N,

uβn+1= sinunβ
Etudier la nature de la série de terme généralun.

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Exercice 23[ 02961 ][correction]
Soit(un)une suite réelle telle queu0>0et pour toutn >0,

un= ln(1 +un−1)

Etudier la suite(un)puis la série de terme généralun.

Enoncés

Exercice 24[ 02962 ][correction]
Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont
les sommes partielles sont bornée.

Exercice 25
Calculer

[ 02964 ][correction]
∞0n11+−4n4+2+3n4+3+1n+14
X4
n=

Exercice 26[ 03045 ][correction]
Pourn∈N?, soit
fn:x∈] +∞[→n1
nXx−k
k=1
Soita >0. Montrer qu’il existe un unique réel, notéxntel quefn(xn) =a.
Déterminer un équivalent dexnquandn→+∞.

Exercice 27[ 03047 ][correction]
Soit(un)une suite complexe telle que pour toutp∈N?,upn−un→0. Peut-on
affirmer que la suite(un)converge ?

Exercice 28[ 03057 ][correction]
On note(zn)n>1la suite de terme général
zn= 2nexp√nit

Etudier

nl→i+m∞z2nn−−11z2nn−−22∙ ∙ ∙2nzn−−nn=nl→im+∞nY2n−k
k=1zn−k

Exercice 29[ 03086 ][correction]
Etudier

nl→i+m∞nk=+X∞nk12ekn

Exercice 30[ 03097 ][correction]
On dit que la série de terme généralunenveloppe le réelAsi, pour tout entier
natureln, on a :

un6= 0et|A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)|6|un+1|

On dit qu’elle enveloppe strictement le réelAs’il existe une suite(θn)n>1
d’éléments de]01[telle que pour tout entier natureln:

A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un) =θn+1un+1

3

a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.
Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.
b) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppe strictementA, alors
elle est alternée.
Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.
c) Démontrer que, si la série de terme généralunest alternée et que, pour tout
entiern∈N?
A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)est du signe deun+1, alors, elle enveloppe strictementA.
d) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppeAet si la suite de
terme général|un|est strictement décroissante, alors, la série est alternée et
encadre strictementA.

Exercice 31[ 03207 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites réelles(un)n>0telles que

un+2= (n+ 1)un+1+un

a) Montrer queEest un espace vectoriel de dimension 2.
b) Soientaetbdeux éléments deEdéterminés par
(aa011=0=et(bb01=0=1

Montrer que les deux suites(an)et(bn)divergent vers+∞.

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c) Calculer
wn=an+1bn−anbn+1
d) On posecn=anbnlorsque l’entiernest supérieur ou égal à 1. Démontrer
l’existence de
`= limcn
n→+∞
e) Démontrer l’existence d’un unique réelrtel que

nl→i+m (an+rbn) = 0
∞

Exercice 32[ 03673 ][correction]
Soit(un)n>1une suite décroissante de réels de limite nulle.
Montrer que les sériesPunetPn(un−un+1)ont mme nature et que leurs
sommes sont égales en cas de convergence.

Enoncés

Exercice 33[ 02969 ][correction]
SoitI ; soit pourun intervalle ouvertn∈N,fn:I→Rune fonction convexe. On
suppose que(fn)converge simplement. Montrer que(fn)converge uniformément
sur tout segment inclus dansI.

Exercice 34[ 02970 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctionsf: [01]→R+conti