Les indices à utilité constante : une référence pour mesurer l'évolution des prix

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Les débats récents sur une possible surestimation de l'inflation ont notamment porté sur l'ampleur du biais de substitution dans le calcul des indices de prix. Ce biais résulte de l'insuffisante prise en compte, avec un indice de Laspeyres, des transferts d'achats des consommateurs entre produits ou points de vente en fonction de l'évolution différenciée des prix. Le biais de substitution peut être important au niveau détaillé des produits. Idéalement, il conviendrait de calculer un indice à utilité constante (IUC), qui mesure la variation de la dépense assurant au moindre coût le maintien du niveau d'utilité face à la variation des prix. Calculer un IUC est délicat : il est nécessaire de mettre en évidence une fonction d'utilité qui rationalise les données. Formellement, ce problème est résolu grâce à la théorie des préférences révélées. En pratique, il faut disposer de relevés très fins de prix et de quantités, ce que permettent aujourd'hui les données scanner. Cette étude présente les résultats obtenus avec ce type de données pour des produits de grande consommation : les choix des consommateurs, pris dans leur ensemble, sont effectivement rationnels. Il n'y a pas un, mais toute une plage d'IUC, dont les valeurs extrêmes coïncident de temps à autre avec les indices de Laspeyres et de Paasche ; cette plage contient presque toujours l'indice de Fisher.
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PRIX
Les indices à utilité constante :
une référence pour mesurer
l’évolution des prix
François Magnien et Jacques Pougnard*
Les débats récents sur une possible surestimation de l’inflation ont notamment porté sur
l’ampleur du biais de substitution dans le calcul des indices de prix. Ce biais résulte de
l’insuffisante prise en compte, avec un indice de Laspeyres, des transferts d’achats des
consommateurs entre produits ou points de vente en fonction de l’évolution différenciée
des prix.
Le biais de substitution peut être important au niveau détaillé des produits. Idéalement, il
conviendrait de calculer un indice à utilité constante (IUC), qui mesure la variation de la
dépense assurant au moindre coût le maintien du niveau d’utilité face à la des
prix. Calculer un IUC est délicat : il est nécessaire de mettre en évidence une fonction
d’utilité qui rationalise les données. Formellement, ce problème est résolu grâce à la
théorie des préférences révélées. En pratique, il faut disposer de relevés très fins de prix
et de quantités, ce que permettent aujourd’hui les données scanner.
Cette étude présente les résultats obtenus avec ce type de données pour des produits de
grande consommation : les choix des consommateurs, pris dans leur ensemble, sont
effectivement rationnels. Il n’y a pas un, mais toute une plage d’IUC, dont les valeurs
extrêmes coïncident de temps à autre avec les indices de Laspeyres et de Paasche ; cette
plage contient presque toujours l’indice de Fisher.
* François Magnien et Jacques Pougnard appartenaient à la division Prix à la consommation de l’Insee au moment de la rédaction de cet
article.
Les noms et dates entre parenthèses renvoient à la bibliographie en fin d’article.
ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5 81écemment, les indices de prix à la consomma- de maintenir à la période courante le niveau d’uti-
Rtion (IPC) ont été au cœur d’une polémique lité de la période de base.
sur une possible surestimation de l’inflation. Parti
des États-Unis, le débat autour du rapport Bos- Cette approche repose toutefois sur une hypo-
kin (1996) s’est étendu au Canada, au thèse fondamentale : l’existence d’une fonction
Royaume-Uni et à la France. L’enjeu est impor- d’utilité (3) par rapport à laquelle les choix des
tant puisque les IPC sont utilisés pour réévaluer consommateurs sont rationnels. Cela signifie qu’à
des prestations, maintenir le pouvoir d’achat du chaque période, les quantités acquises maximisent
Smic ou bien indexer les tranches d’impôts. En le niveau d’utilité sous la contrainte de budget. Ce
dehors des nouveaux produits – qui constituent, budget est bien sûr égal à ces quantités valorisées
selon la Commission Boskin et les organismes par les prix associés (cf. encadré 1). On dit qu’une
statistiques nationaux, la source de biais la plus telle fonction d’utilité rationalise les données (prix
importante – le biais viendrait essentiellement de et quantités).
l’insuffisante prise en compte des substitutions,
c’est-à-dire des transferts d’achats des consom- Lorsque la fonction d’utilité admet une forme
mateurs vers d’autres produits ou points de vente « classique », on retrouve les indices connus. Par
en fonction de l’évolution différenciée des prix au exemple, si la fonction d’utilité est de type
cours du temps. Cobb-Douglas, la formule à employer pour obtenir
un IUC est la moyenne géométrique ; si la fonction
L’indice des prix est obtenu par agrégations suc- d’utilité est de type quadratique, c’est l’indice de
cessives de sous-indices. À chaque étape de ce Fisher. L’indice de Laspeyres, quant à lui, corres-
processus, l’agrégation est laspeyrienne : les évo- pond à une fonction d’utilité à facteurs complé-
lutions indiciaires entre deux périodes sont pondé- mentaires pour laquelle il n’y a pas de substitutions
rées proportionnellement aux valeurs de la (cf. encadré 2). Ces fonctions d’utilité ont la pro-
consommation à la période initiale. Si on fait priété d’être homothétiques : si deux paniers sont
l’hypothèse que les consommateurs déplacent équivalents, alors ils le restent tant que les quanti-
leurs achats vers les produits qui augmentent relati- tés relatives des produits restent inchangées dans
vement le moins, ces indices ne tiennent pas les deux paniers.
compte de leur place croissante dans le panier du
consommateur. L’IUC constitue la référence pour les statisticiens
d’indices de prix (4). Ils cherchent à s’en approcher
Or, les substitutions sont importantes au niveau au mieux, compte tenu des moyens de collecte dont
détaillé de l’IPC, là où sont utilisés les prix relevés ils disposent. C’est pourquoi, en quelques années,
à partir d’un descriptif très poussé des produits. la quasi-totalité des pays ont abandonné, dans le
Ainsi, les prix de plusieurs dizaines de sortes de calcul des micro-indices, la formule de Laspeyres
café sont relevés chaque mois pour le calcul de pour la moyenne géométrique. La première sup-
l’indice des prix. À ce niveau, des micro-indices (1) pose que les agents n’ont, rationnellement, aucune
étaient calculés il y a peu à l’aide de moyennes raison de substituer les produits entre eux alors que
arithmétiques de rapports de prix (2). Il y avait la moyenne géométrique renvoie à la fonction
donc là une source de surestimation de l’inflation, d’utilité de Cobb-Douglas, donc à l’hypothèse
un biais de substitution, auquel les statisticiens d’une bonne substituabilité des produits et des
américains comme ceux des États membres de points de vente (5).
l’Union européenne ont remédié en remplaçant la
formule de la moyenne arithmétique des rapports
de prix par une moyenne géométrique.
1. Un micro-indice est calculé à partir de relevés de prix relatifs à
une classe étroite de produits, la variété, réalisés dans des pointsL’indice des prix à utilité constante
de ventes localisés dans la même agglomération. Il y a environ
un millier de variétés (réparties dans les 304 postes de l’IPC) et
une centaine d’agglomérations. Cependant, toutes les variétés
La théorie microéconomique justifie ce choix. n’étant pas suivies dans toutes les agglomérations, il n’y a
« que » 25 000 micro-indices environ (Cf. Pour comprendreElle propose, en effet, une solution séduisante au
l’indice des Prix, 1998).
problème des substitutions : l’indice à utilité 2. Estimateurs des indices de Laspeyres avec des probabilités
d’inclusion proportionnelles aux valeurs des ventes de la périodeconstante (IUC). Son principe est simple : il
de base.consiste à mesurer l’évolution minimale de la
3. Dans cette étude, les fonctions d’utilité sont implicitement conti-
dépense des consommateurs entre la période de nues, concaves et non saturées.
4. Ainsi que pour la commission Boskin.base et la période courante permettant, face à la
5. L’élasticité de substitution d’une fonction d’utilité de Cobb-Dou-
variation différenciée des prix des produits offerts, glas est égale à un en tout point.
82 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5Le problème de la rationalité d’utilité n’est plus linéaire que par morceaux :
{}des consommateurs Uq() = Minααpq, p q où α et α sont00 1 1 0 1
deux nombres positifs. Le schéma 1-B illustre cette
L’hypothèse d’une rationalité des choix des construction : il y a autant de façons de choisir le
consommateurs peut sembler très forte. En outre, si rapportαα / que de façons de choisir le rayon10
elle est satisfaite, comment s’en assurer ? OX dans le cône limité par les vecteurs q et q . La0 1
situation est déjà beaucoup plus complexe que dans
Dans le cas d’une seule période 0, l’existence le cas d’une seule période : la construction précé-
d’une fonction d’utilité homothétique rationali- dente n’est pas toujours possible, comme le montre
sante est triviale : il suffit de la choisir linéaire : le schéma 1-C. Le cas de trois périodes est illustré
Uq() =p q (p désigne le vecteur des prix, q par le schéma 1-D. Avec un nombre quelconque de0 0 0
celui des quantités). Le schéma 1-A représente la périodes et de produits, l’existence et la construc-
courbe d’indifférence de cette fonction d’utilité tion d’une fonction d’utilité homothétique rationa-
passant par q . Avec deux périodes, le problème lisante linéaire par morceaux devient très vite un0
est déjà plus compliqué. Cette fois, la fonction problème redoutable.
Encadré 1
L’IUC ASSOCIÉ À UNE FONCTION D’UTILITÉ
Pour un ensemble fini E de périodes t on dispose des niveau d’utilité initial Uq() comme référence. Cettet
relevés de prix p et de quantités vendues q pour un situation est représentée sur la figure suivante :t t
ensemble de produits et un ensemble de points de
vente. Les vecteurs p et q ont autant de composantest t
niveau d’utilité àqu’il y a de couples « produit-point de vente ».
la période t’
pt’On suppose qu’il existe une fonction d’utilité U qui ratio-
nalise les données(,pq) :tttE∈
pniveau d’utilité à t’pt{} la période tUq()=≤Max U(q),pq pq pour tout t ∈ Etttt
Autrement dit, à chaque période t ∈ E, le panier q doit qt t qt’
être optimal (pour U) sous la contrainte budgétairepq .tt
qt’Dualement (1) :
{}pq=≥Min p q,(U q) U(q) pour tout t ∈ Ett t t
L’IUC à une date t’ par rapport à une date t, pour un
~
Le panier q assure au moindre coût face au systèmeniveau d’utilité donné u, est le rapport de deux dépen- t '
de prix p le niveau d’utilité initialUq(). Alors :ses : la dépense minimale qui permet d’atteindre le tt '
niveau d’utilité u à la date t’ (respectivement t) face
~
pqaux prixp (respectivementp ). Pour exprimer mathé- tt''tt ' IUC = .
t'/ tmatiquement l’IUC, il convient donc d’introduire la pqtt
dépense minimale C (u, p) permettant d’atteindre unU
niveau d’utilité donné u face à un système de prix p
En général, avec un autre niveau d’utilité de référence,
exogène :
par exemple le niveau finalUq(), l’IUC obtenu est diffé-t '
rent. Ce problème disparaît lorsque la fonction d’utilité U{}C (,up)=≥Min pq,U(q) u
U est homothétique, c’est-à-dire :
L’IUC entre deux dates t et t’ est alors défini par : Uq()=⇒Uq( ') U(λλq)=U( q') pour tout λ> 0 et tous
les paniers q, q’.
IUC (,U u) = C (up, )/C (up, )tt'/ t ' tU U
Ceci est immédiat dans le cas particulier où U est homo-
L’IUC présente l’inconvénient de dépendre du niveau gène (de degré 1) :
d’utilité de référence u. Il est assez naturel de choisir le
Uq()λλ = U(q) pour tout λ> 0 et tout panier q
car alors C (,up) =uC (1,p). Ainsi :
U U
1. Les fonctions considérées dans cette étude sont continues et IUC (,U u) =C (11,pC)/ (,p )ttt'/ t 'U U
non saturées.
ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5 83pq pq pqij jk m iLa théorie micro-économique des préférences ... ≥ 1
pq pq pqrévélées permet de résoudre ce problème. Déve- ii jj mm
loppée par Afriat (1967, 1981), elle a également pour tout « cycle » de périodes i, j, … , m, i ∈E.
bénéficié des travaux de Diewert (1973) et
Varian (1982, 1983). Ils ont dégagé une condition Les composantes du vecteur p sont les prix dest
assurant l’existence d’une fonction d’utilité ratio- produits à la période t, celles du vecteur q les quan-t
nalisant des données en prix et en quantités pour un tités (7). Le cycle de périodes i, j, k, ... , m, i n’est
ensemble quelconque de périodes. Cette condition, pas ordonné chronologiquement, sa longueur est
dite HARP (6), est assez simple, du moins dans sa quelconque.
formulation :
Le membre de gauche de l’inégalité est un indice
Il existe une fonction d’utilité homothétique ratio- de quantités de type Laspeyres chaîné. Il s’agit de
nalisant des données(,pq) de prix et dett tE∈
quantités sur un ensemble E de périodes si et seule- 6. Homothetic Axiom of Revealed Preference.
7. p q désigne le produit scalaire des deux vecteurs.ment si : t t
Schéma 1
Construction d’une fonction d’utilité linéaire par morceaux rationalisant des données
en prix et quantités (cas de deux produits)
B - Deux périodes (données rationalisables)A - Une période
Une fonction d’utilité linéaire rationalise les
données. La courbe d’indifférence passant
Produit 2 par q coÏncide avec la droite de budget Produit 20
p0
X
p1
q0
p0
q1
q0,2
q0
q Produit 10,1O Produit 1 O
C - Deux périodes (données non rationalisables ) D - Trois périodes (données rationalisables)
Produit 2 Produit 2
X
p0
p0
p1
q p0 2
q p0 1
q1
q1
q2
OO Produit 1 Produit 1
84 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5l’expression classique d’un indice de volume (8). de telles données que les travaux empiriques ont
Comme les indices de prix de ce type, cet indice été menés jusqu’à présent, notamment par Manser
présente l’inconvénient de ne pas revenir à 1 et MacDonald (1988) qui ont utilisé des données
lorsque les quantités retrouvent leur valeur initiale agrégées sur la période 1959-1985, aux
(« défaut de circularité »). La condition HARP États-Unis.
limite ce défaut de circularité : l’indice de Laspey-
res chaîné vaut au moins 1. De façon équivalente, Ces travaux sont cependant d’un intérêt limité
elle exprime que l’indice de volume de Paasche puisque les substitutions ont lieu essentiellement
chaîné vaut au plus 1 lorsque les quantités revien- au niveau détaillé. En effet, en France, le biais de
nent à leur valeur initiale. Ainsi, la condition substitution est pratiquement nul au niveau
HARP s’exprime agréablement : agrégé (Lequiller, 1997), c’est-à-dire dans le cal-
cul de l’indice d’ensemble à partir des indices des
Si les quantités retrouvent leur valeur initiale, la postes. À ce niveau, les pondérations sont revues
fourchette des indices de volume « Paasche chaque année, lors du chaînage de l’indice. Le
chaîné » et « Laspeyres chaîné » contient la biais de substitution est modéré au niveau inter-
valeur 1. médiaire, lors du calcul des indices des postes par
agrégation des micro-indices obtenus au niveau
Les fonctions d’utilité rationalisantes dont la détaillé.
condition HARP révèle l’existence sont les fonc-
tions homothétiques. Elles offrent un avantage Il est donc judicieux de calculer des IUC au niveau
décisif : l’IUC associé ne dépend pas du niveau détaillé, celui des produits réellement observés, où
d’utilité de référence (cf. encadré 1). sur des périodes très courtes à l’intérieur d’une
année, de fortes évolutions relatives de prix entre ces
produits, au gré des stratégies des marques et des
La richesse des données scanner circuits commerciaux, induisent les substitutions les
plus importantes. Mais cela nécessite des données
La vérification de la condition HARP nécessite de
connaître les quantités en plus des prix. Pour le
calcul de l’IPC, on ne dispose de cette information
qu’à un niveau agrégé. Encore, ces données ne 8. Tel qu’en calcule par exemple la comptabilité nationale fran-
çaise.sont-elles disponibles qu’annuellement. C’est sur
Encadré 2
QUELQUES EXEMPLES FONDAMENTAUX
Un exemple fondamental de fonction d’utilité homogène Un autre exemple important est la fonction d’utilité qua-
est la fonction de Cobb-Douglas : dratique :
ss α s s ss 'Uq() = a (q ) Avec a>>00,α et α = 1 Uq() = a q q∏ ∑ ∑ ss,'
s s ss,'
où s désigne un produit dans un point de vente. où()a est une matrice symétrique (dont les coeffi-
ss,'
Lorsqu’une telle fonction d’utilité rationalise les don- cients sont convenablement choisis). Si une fonction de
nées, l’IUC associé, à une période t par rapport à ce type rationalise les données, l’IUC correspondant est
une période t’, est la moyenne géométrique pon- l’indice de Fisher :
dérée :
LPs tt'/ t '/tw ts s s p qpt' t ts  où w =∏ s t  s ' sp qps  t  ∑ Mais l’exemple le plus simple est encore la fonction d’uti-t t
s '
lité à facteurs complémentaires :
La fonction de Cobb-Douglas possède une pro- s q spriété remarquable : les parts dans la dépense de Uq() = min   où a > 0
s a s consommation des différents produits restent
constantes :
L’indice à utilité constante associé n’est autre que
ss l’indice de Laspeyres mais aussi de Paasche, qui coïnci-w =α pour tout s et toute période tt
dent alors.
ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5 85en prix et en quantités au niveau le plus fin, à un Le résultat obtenu sur les données scannées utili-
rythme mensuel. Seules les données scanner (9) le sées est important : les prix observés et les quanti-
permettent. Elles sont recueillies par des sociétés tés échangées sur le marché sont effectivement
d’études de marché sur les produits vendus dans les rationalisables par une fonction d’utilité homothé-
grandes surfaces, grâce à l’exploitation du tique. Pour le café, il a même été possible de ratio-
code-barre. Ces sociétés réalisent des études utili- naliser la totalité des données (mois 1 à 36). Pour
sées par les industriels et les distributeurs pour les huiles et les lessives, seules les sous-périodes
mettre au point de nouveaux produits, mesurer 1-26 et 1-27 ont pu être rationalisées (11).
l’impact des campagnes publicitaires, etc.
Les données utilisées pour cette étude ont été four-
nies à l’Insee par la société AC Nielsen. Elles sont 9. Ou encore données scannées, données scannographiques ou
micro-données.relatives à trois types de produits, huiles alimentai-
10. On trouvera une description détaillée des données scanner
res, lessives et café, vendus dans quatre cents dans Magnien et Pougnard (1998).
11. En imposant le mois 1, janvier 1994, parmi les périodes ratio-supermarchés et hypermarchés sur l’ensemble de
nalisées.
la métropole. Elles recouvrent une période de trois
années : 1994, 1995 et 1996.
Encadré 3
Ces relevés sont accompagnés d’une description
très poussée des produits. Ainsi, on disposait avant UN ALGORITHME DE CALCUL
apurement de 523 produits élémentaires distincts
L’algorithme de Warshall (1962) associe à une matricepour les huiles, 383 pour les lessives et 1168 pour
carréeMm=() la matrice carréeDd=() définieles cafés ! L’avantage est que l’on peut ainsi ij ij
par :
prendre pleinement en compte les substitutions
entre produits. En contrepartie, ces produits élé- di=+nf (m m+ ...+m )
ij i,k,l,...,m, j ik kl mj
mentaires croisés avec les points de vente donnent
Autrement dit, si m représente le « coût » de passagelieux à un nombre très élevé de relevés potentiels ij
direct de i en j alors d le coût minimal dedont une proportion importante est fréquemment ij
passage de i en j sur l’ensemble des « chemins » allant
inobservable.
de i à j. On montre que la matrice D s’obtient comme
suit :
Ce problème est résolu en agrégeant les points de
(1) faire k = 1 ;vente selon quatre formes de vente : petits ou
grands supermarchés et petits ou grands hypermar-
(2) pour tous i, j:simm≥+m fairemm=+m ;
ij ik kj ij ik kjchés. Pour chacune de ces quatre formes de vente,
on retient alors les produits élémentaires qui ont été (3) sikT< faire k = k + 1 et aller en (2) ; sinon faire
vendus chaque mois de la période d’étude (de jan- dm= pour tous i, j .
ij ij
vier 1994 à décembre 1996) dans l’un au moins des
L’algorithme de Warshall permet donc de calculer trèspoints de vente. On élimine ainsi les produits nou-
facilement les quantités :
veaux et ceux qui sont retirés temporairement ou
définitivement de l’une des quatre formes de vente.  pq pq pq m jik kl
inf In  ... Ont ainsi été retenus 138 produits élémentaires ik, ,l,...,m,j pq pq pq ii kk mm pour les huiles, 133 pour les lessives et 353 pour
les cafés, représentant respectivement 91 %, 75 %
pq
kl
en posant m = In puis, par application de laet 92 % du chiffre d’affaires avant apurement. kl pq
kk
Finalement, on obtient pour l’ensemble des
fonction exponentielle (croissante, comme la fonction
trente-six mois, 333 séries de prix et quantités logarithme), les quantités :
pour les huiles, 424 séries pour les lessives et 895
 pq pour les cafés (10). pq pq m jik kl
inf  ... 
ik, ,l,...,m,j pq pq pq ii kk mm 
Les consommateurs sont globalement Les bornes 1/∆ et ∆ de la fourchette des IUC s’en
ji ij
déduisent immédiatement.rationnels
L’algorithme de Warshall permet de savoir si la condi-
Pratiquement, la vérification de la condition HARP
tion HARP est vérifiée : si, lors d’une étape k,ona
sur ces données est très lourde dès que le nombre m < 0 pour un i, alors la condition HARP n’est pas
ii
de mois d’observations dépasse quelques unités. satisfaite. Sinon elle l’est.
Varian (1982, 1983) a proposé un algorithme qui
permet d’y parvenir (cf. encadré 3).
86 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5Graphique IL’indice à utilité constante n’est donc pas seule-
La plage des IUCment un concept théorique : son existence est
établie sur des produits de grande consommation A - Pour les huiles alimentaires
comme le café, les huiles alimentaires et les lessi-
Base 100 en janvier 1994 (mois 1)
ves.
110
108La détermination des IUC
Sachant qu’il existe des fonctions d’utilité homo- 106
thétique rationalisant les données scannées, il reste
à déterminer les IUC associés à chacune d’elles
104entre deux dates quelconques. On sait que cet
ensemble est majoré, en général strictement, par
l’indice de Laspeyres et minoré par l’indice de 102
Paasche. Manser et MacDonald (1988) ont déter-
miné, lorsque la condition HARP est satisfaite, les
100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26bornes inférieure et extérieure de la plage des IUC
Mois
d’une période i par rapport à une période j : elles
valent respectivement 1/ ∆ et ∆ où ∆ est égalji ij ij
à: B - Pour le café
pqpq pq pq m jii ik kl Base 100 en janvier 1994 (mois 1)Min  ... ik, ,.l..,m,jpq pq pq pq 170
jj  ii kk mm 
pour toute séquence de périodes i, k, l, ... , m, j ∈E. 160
On montre (Magnien et Pougnard, 2000) que toute
150valeur comprise entre ces bornes est un IUC. Ces
IUC sont relatifs aux fonctions d’utilité homothéti-
140
ques qui rationalisent les données.
130
Les résultats du calcul d’IUC obtenus sur les don-
nées utilisées apparaissent sur les graphiques I-A, 120
I-B et I-C. Pour chacun des trois produits, la plage
110des IUC d’un mois donné par rapport au mois de
janvier 1994 y est représentée. Ainsi, pour les hui-
100
les alimentaires, les IUC du mois d’août 1995 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Mois(mois 20) prennent, en base 100 en janvier 1994
(mois 1), toutes les valeurs comprises entre 107,0
et 107,8. Cela signifie que pour n’importe quel C - Pour les lessives
chiffre compris entre 107,0 et 107,8 il existe une
fonction d’utilité homothétique qui rationnalise les
Base 100 en janvier 1994 (mois 1)données de prix et de quantités observées et telle
101que ce chiffre soit l’IUC en août 1995, base 100
janvier 1994.
100
99Ces IUC sont associés aux différentes fonctions
d’utilité homothétiques qui « rationalisent » les
98
données relatives à un ensemble de périodes le plus
grand possible : il ne s’agit donc pas des fonctions 97
d’utilité qui rationalisent les seules données
96s’échelonnant du mois de base au mois sous
revue ; il s’agit encore moins des fonctions d’utili- 95
tés ne rationalisant que les données des seuls mois
94de base et sous revue.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
La largeur de la plage fluctue : elle peut se réduire Mois
fortement et même s’annuler (mois 11, 12 et 13
Sources : AC Nielsen, calculs des auteurs.pour les lessives) : il y a alors unicité de l’IUC.
ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5 87Graphique IILes indices de Laspeyres et de Paasche
Plage des IUC et indices de Laspeyres et de
sont de temps à autre des IUC
Paasche
A - Pour les huiles alimentairesLorsque la fonction d’utilité est homothétique,
Base 100 en janvier 1994 (mois1)l’IUC est inférieur à l’indice de Laspeyres (12) et
112supérieur à l’indice de Paasche. Puisqu’il y a toute
une plage d’IUC, le biais de substitution résultant
110de l’usage d’un indice de Laspeyres ne peut être
défini de façon unique : seul un encadrement peut
108en être donné, mesuré par l’écart avec le plus grand
et le plus petit des IUC. Le même problème se pose
106
avec l’indice de Paasche.
104
Le biais de substitution minimum des indices de
Paasche et de Laspeyres, mesuré par référence au
102
« bas » ou au « haut » de la plage des IUC, évoluent
assez différemment l’un par rapport à l’autre mais 100
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26aussi dans le temps. Ils peuvent s’annuler à des
Moispériodes différentes ou simultanément. C’est ce
que l’on observe avec chacun des produits (cf. gra-
B - Pour le caféphiques II-A, II-B et II-C).
Base 100 en janvier 1994 (mois 1)
Diewert (1990) a expliqué comment la faiblesse du
170
biais de substitution de l’indice de Laspeyres
(Paasche) par rapport à l’IUC résulte d’une relation 160
appropriée entre la variation relative des prix d’une
150part et la substituabilité des produits ou des points
de vente à la période de base (courante) d’autre 140
part. La nullité de ce biais, observée sur les don-
130nées utilisées ici, correspond à un cas extrême de
cette relation. Elle résulte de la forme particulière
120
de certaines des fonctions d’utilité homothétiques
rationalisantes. On montre (13), en effet, que les 110
fonctions d’utilité linéaires par morceaux, dont
100
on a précédemment ébauché la construction
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
(cf. schéma 1), sont « représentatives » (14) de tou- Mois
tes les autres fonctions d’utilité homothétiques
rationalisantes. Ces fonctions linéaires par mor-
ceaux ont l’expression suivante (15) : C - Pour les lessives
Base 100 en janvier 1994 (mois 1){}Uq()=∈Minααp q,t E (>0)tt t
101
Le schéma 2 représente une courbe d’indifférence
100
propre à ce type de fonction d’utilité dans le cas de
deux produits. Ces courbes ont la particularité de 99
posséder des points anguleux.
98
Considérons alors un mois de base t correspondant
97
à un tel point anguleux (cf. schéma 3-A). En q lat
substituabilité entre les produits est faible (16).
96
9512. Il suffit, pour s’en assurer, de revenir à la figure de l’encadré 1 :
~par optimalité du panier q face au système de prix p on a
t ' t '~pq ≤pq . 94tt'' t' t
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 2613. Cf. Magnien et Pougnard (2000).
Mois14. L’IUC calculé avec une fonction d’utilité homothétique rationali-
sante quelconque est égal à l’IUC calculé avec l’une de ces fonctions. PaascheLaspeyres
15. Qui généralise la construction ébauchée dans le cas d’une,
deux et trois périodes sur le schéma 1.
Sources : AC Nielsen, calculs des auteurs.16. L’élasticité de substitution est nulle.
88 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5Schéma 2 Tant que la variation relative des prix de ces pro-
Courbes d’indifférence d’une fonction d’utilité duits n’est pas trop forte entre le mois de base t et le
homothétique, linéaire par morceaux mois sous revue t’, le panier de base q assure aut
moindre coût un niveau d’utilité inchangé. L’IUC
coïncide alors avec l’indice de Laspeyres.
Produit 2
L’ensemble des vecteurs de prix p pour lesquelst'
il en est ainsi constitue un cône C représenté sur le
schéma 3-A (17).
Ainsi, pour les huiles, pendant les six premiers
mois de 1994, l’indice de Laspeyres est un IUC : la
hausse des prix est plutôt uniforme (18) (cf. gra-
phique II-A). Ensuite, la différentiation des évolu-
tions de prix est suffisamment importante (le vec-
teur des prix sort du cône C) pour que l’indice de
Laspeyres surestime l’inflation. Au contraire,
avec le café, l’évolution des prix des produits
reste essentiellement uniforme : le vecteur des
prix reste presque toujours dans le cône C, si bien0
Produit 1
que l’indice de Laspeyres est presque toujours un
IUC (cf. graphique II-B).
Schéma 3
Si, au contraire, la fonction d’utilité est linéaire
Substituabilité ou non en un point anguleux
au voisinage de q alors, aussi faible que soit latd’une courbe d’indifférence
variation relative des prix, la composition du
A - L’indice de Laspeyres ne présente pas de biais
panier (Q sur le schéma 3-B) qui assure aut’de substitution
moindre coût le même niveau d’utilité sera dis-
Produit 2 tincte de celle de q : l’IUC sera distinct det
l’indice de Laspeyres. Cette linéarité, situation
dans laquelle la substituabilité des produits est
« parfaite (19) », n’est donc satisfaite ni pour les
huiles, ni pour les lessives, ni pour les cafés en jan-
C vier 1994 (mois 1) : avec chacun d’eux, il y a plu-
sieurs mois pour lesquels l’indice de Laspeyres est
pt’ pt un IUC (20).
qt Les circonstances dans lesquelles l’indice deu=U(qt)
Paasche est un IUC sont analogues : le cône C est
associé au panier de la période courante et il y a
0 coïncidence des deux indices lorsque le vecteurProduit 1
des prix de base appartient à ce cône. La conjonc-
tion des deux cas précédents (existence d’une
fonction d’utilité homothétique pour laquelleB - L’indice de Laspeyres présente un biais
de substitution l’IUC est égal au Paasche et d’une autre pour
laquelle l’IUC est égal au Laspeyres) se produit
Produit 2
avec le café à de très nombreuses reprises (cf. gra-
phique II-B).
pt
pt’
17. Ce cône est l’ensemble des vecteurs p tels que
qt pq =C (U(q ), p) où C (u, p) désigne la dépense minimale per-t tU UQt’ u=U(q )t mettant de disposer du niveau d’utilité u face au vecteur de prix p.
18. Le mois de base t est le mois 1 c’est-à-dire janvier 1994.
19. L’élasticité de substitution est infinie.
0 20. On imagine difficilement que les prix puissent évoluer de façon
Produit 1 parfaitement uniforme.
ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5 89Le tableau indique les différents niveaux d’agréga-Une bonne désagrégation des données
tion retenus. Il indique également le nombre deest nécessaire
produits distincts par niveau et la période la plus
longue sur laquelle la condition HARP est satis-Il peut sembler surprenant que la condition HARP soit
faite, c’est-à-dire pour laquelle les données sontsatisfaite sur des périodes aussi longues (les 36 mois de
optimales pour une fonction d’utilité homothé-suivi du panel pour le café, 27 mois pour les lessives et
tique. Cette période est effectivement d’autant plus26 pour les huiles), compte tenu du caractère apparem-
longue que les données sont désagrégées. En outre,ment restrictif de la condition d’homothéticité. Tout
pour un ensemble donné de périodes, la plage desd’abord, la plage des IUC est étroite : moins d’un point
IUC est d’autant plus large que la désagrégationd’indice environ pour les huiles et les lessives, au plus
des données est importante (cf. graphique III) : unetrois points pour les cafés dont les prix ont enregistré
plus grande désagrégation rend d’autant plus aiséede très fortes variations.
la rationalisation des données.
Ensuite, Manser et MacDonald (1988) ont avancé
l’idée que l’existence de fonctions homothétiques
« rationalisantes » résulterait d’une désagrégation
suffisante des données. On entend par là que les Graphique III
Largeur de la plage des IUC selon l’agrégationprix et les quantités sont relatifs à des produits dont
des donnéesla description fait appel à un nombre conséquent de
caractéristiques. La grande finesse des données
Indices base 100 octobre 1996 (mois 22)scannées serait donc la raison des bons résultats du
test de la condition HARP. Pour le vérifier, on a 3
testé cette à différents niveaux d’agréga-
tion des données relatives au café et aux lessives.
2,5
Ces niveaux sont déterminés par la liste des carac-
téristiques retenues pour la définition des produits 2
et points de vente. Outre la forme de vente (il y en a
quatre), ces caractéristiques pour les produits sont
1,5
les suivantes : le fabricant (ou distributeur), la
marque, la référence, le conditionnement, le 1
contenu. Chacune d’elles prend diverses modalités :
pour le café, le conditionnement est ainsi défini par
0,5
le type d’emballage (bocal, boîte, carton, etc.), le
nombre de paquets vendus ensemble et le poids de
0
l’ensemble. Toujours pour le café, la description du
22 23 24 25 26 27 28 29 30
contenu est encore plus variée : le type (grain, Mois
moulu ou expresso), la qualité (normal ou déca-
niveau 1 niveau 3 niveau 5
féiné), la gamme (arabica, robusta ou mélange) et
niveau 2 niveau 4 niveau 6
l’origine. Ces différents contenus ont été regrou-
pés en quelques variétés (cf. note (1) et Magnien et
Lecture : cf. la signification des niveaux dans le tableau.
Pougnard, 1998). Sources : AC Nielsen, calculs des auteurs.
Tableau
Niveaux d’agrégation et nombre de périodes rationalisées
Café LessivesNiveau
d’agrégation Caractéristiques retenues Nombre Période Nombre Période
des données de séries* rationalisée de séries* rationalisée
1 Variété 5 22-30 12 13-15
2 Variété et forme de vente (FV) 20 9-32 48 12-16
3 Variété, FV et fabricant 264 8-36 216 1-20
4 Variété, FV, fabricant et marque 329 8-36 320 1-23
5 Variété, FV, fabricant, marque, référence 562 1-36 - -
6 Toutes 895 1-36 424 1-27
* Croisements des différentes modalités des caractéristiques retenues.
Sources : AC Nielsen, calculs des auteurs.
90 ÉCONOMIE ET STATISTIQUE N° 335, 2000 - 5

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