Analyse de la Variabilité

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Modélisation du Climat et
Statistiques (2/3)
Analyse(s) statistique(s) de la variabilité
Et séries temporelles
Pascal Yiou
LSCE, Gif-sur-Yvette Introduction et rappels
Définition de la
variabilité
: n.f. Caractère de ce qui est
variable. (
Petit Larousse en couleurs
)
But de
l'étude de la variabilité
: décrire l’évolution
temporelle
(i.e., les variations, fluctuations, oscillations…)
observée ou simulée.
13/10/2004
M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTN Variabilité climatique
(d’après Ghil, 2002)
13/10/2004
M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTN Difficulté première

O
n ne dispose que d’
une
s
eule
réalisation du système
climatique, i.e., contrairement à la plupart des expériences de
physique, on ne peut pas ré
péter une expérience en
climatologie (à moins de fair
e une expérience numérique).

O
n fait alors de la statistique sur
une seule
trajectoire du
système climatique!

O
n est donc forcément limi
té par la taille des jeux
d’observations, c’est la «
l
oi des petits nombres
».
13/10/2004
M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTN Point de départ
On dispose de
N
×
P
observations temporelles, spatiales (ou les
deux):
temps
6
47
4
8
X
(
t
,
x
),
t
=
1
K
N
,
x
=
1
K
P
1
42
4
3
espace
Comment
réduire
l’information contenue dans
N
×
P
observations à
q
uelques paramètres?

D
’un point de vue statistique, ét
udier la variabilité
r
evient à
trouver un modèle «
s
tatistique
»
pour représenter les données.

D
’un point de vue dynamique, on veut décrire ...
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Modélisation du Climat et Statistiques (2/3)
Analyse(s) statistique(s) de la variabilité Et séries temporelles
Pascal Yiou LSCE, Gif-sur-Yvette
Introduction et rappels
Définition de lavariabilité: n.f. Caractère de ce qui est variable. (Petit Larousse en couleurs)
But del'étude de la variabilité: décrire lévolution temporelle(i.e., les variations, fluctuations, oscillations) observée ou simulée.
13/10/2004
Mastère UVSQ - ENSTA - INSTN
Variabilité climatique
(daprès Ghil, 2002)
Difficulté première
On ne dispose que dune seuleréalisation du système climatique, i.e., contrairement à la plupart des expériences de physique, on ne peut pas répéter une expérience en climatologie (à moins de faire une expérience numérique).
On fait alors de la statistique surune seule système climatique!
trajectoire du
On est donc forcément limité par la taille dobservations, cest la « loi des petits nombres ».
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des
jeux
Point de départ
On dispose deN×Pobservations temporelles, spatiales (ou les deux):
temps 64748 X(t,x),t=1KN,x1=41K243P espace
Commentréduirelinformation contenue dansN×P observations à quelques paramètres?
Dun point de vue statistique, étudier la variabilité revient à trouver un modèle « statistique » pour représenter les données. Dun point de vue dynamique, on veut décrire l « attracteur » sous-jacent.
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Modèles statistiques simples
Modèle harmon X(t)Asin(t
que )b(t)
i
4 paramètres:A,ω,φ, etσb
Modèle auto-régressif dordreM:
X(t)
a1X(t1)
a2X(t
2)
LaMX(t M)b(t) M+1 paramètres: (ai),i=1M, etσb
Composantes principales et EOFs
X(t,x)
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a1(t)E1(x)
L
aM(t)EM
(x)
M(N+P) paramètres etM<<P
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Les Séries Temporelles
Une série deNobservations (mesures instrumentales, géochimiques, simulations numériques, etc.), échantillonnées dans le temps:
X
ti
,i=1...N
En général (souhaitable!):
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ti+1
ti=
t
constante
Les diagnostiques de base Moyenne:X=N1iN=1X(ti)Variance:σ2X=N11Ni=1(X
Écart-type:σX=
2 σX
(ti
2 )X)
tribution de probabilité:
Variations sur le thème de la variance Covarianceentre deux sériesX(t) etY(t): C=N11iN1(X(t)X) (Y(ti)Y) XY i =
AutocovariancedeX(mémoire de la série):
CX(τ)=N
1N 1i=1(X(ti)X) (X(ti)X)
CX(0)=CXX= σX2
Mesure de la mémoire de la série (ici unbruit rouge)
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Qu'attend-on d'une série temporelle?
Distribution homogène des données:céosomhiticstdaé. Stationnaritéde la moyenne et de la variance: leurs estimations changent peu si on coupe la série en morceaux.
Exemples: Pasdetendance:
NX(τ)=N1tτX(t)=X, pour toutτ =
Invariance de lautocovariance par translation: N CX(τ,τ' )=1N1X(ti)X X(ti' )X i= =C(ττ' ), pour tousτ,τ' X
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Hypothèses techniques
L a sérieX(t) est régulièrement échantillonnée, avec un pas de tempsδt:
X(t)
X(k
t)}k=1KN ,
 Les fréquences vont donc de 0 à 1/2δt(la fréquence de Nyquist). 1  La plus petite fréquence discernable estf = (la fréquence de Rayleigh).RN t
La résolution fréquencielle optimale est 2fR. Pour simplifier, on supposera queδt =1.
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