Analyse de la Variabilité

Yiou

Description

Modélisation du Climat et
Statistiques (2/3)
Analyse(s) statistique(s) de la variabilité
Et séries temporelles
Pascal Yiou
LSCE, Gif-sur-YvetteIntroduction et rappels
Définition de la
variabilité
: n.f. Caractère de ce qui est
variable. (
Petit Larousse en couleurs
)
But de
l'étude de la variabilité
: décrire l’évolution
temporelle
(i.e., les variations, fluctuations, oscillations…)
observée ou simulée.
13/10/2004
M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTNVariabilité climatique
(d’après Ghil, 2002)
13/10/2004
M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTNDifficulté première
•
O
n ne dispose que d’
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réalisation du système
climatique, i.e., contrairement à la plupart des expériences de
physique, on ne peut pas ré
péter une expérience en
climatologie (à moins de fair
e une expérience numérique).
•
O
n fait alors de la statistique sur
une seule
trajectoire du
système climatique!
•
O
n est donc forcément limi
té par la taille des jeux
d’observations, c’est la «
l
oi des petits nombres
».
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M
astère UVSQ -
E
NSTA -
I
NSTNPoint de départ
On dispose de
N
×
P
observations temporelles, spatiales (ou les
deux):
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,
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),
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1
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Comment
réduire
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P
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•
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’un point de vue statistique, ét
udier la variabilité
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evient à
trouver un modèle «
s
tatistique
»
pour représenter les données.
•
D
’un point de vue dynamique, on veut décrire ...

Sujets

• Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines
• École nationale supérieure de techniques avancées
• Institut national des sciences et techniques nucléaires
• Bruit thermique
• Paramètre post-képlérien
• Liste des personnages de l'univers de Donald Duck

Informations

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Extrait

Modélisation du Climat et Statistiques (2/3)

Analyse(s) statistique(s) de la variabilité Et séries temporelles

Pascal Yiou LSCE, Gif-sur-Yvette

Introduction et rappels

Définition de lavariabilité: n.f. Caractère de ce qui est variable. (Petit Larousse en couleurs)

But del'étude de la variabilité: décrire lévolution temporelle(i.e., les variations, fluctuations, oscillations) observée ou simulée.

13/10/2004

Mastère UVSQ - ENSTA - INSTN

Variabilité climatique

(daprès Ghil, 2002)

Difficulté première

On ne dispose que dune seuleréalisation du système climatique, i.e., contrairement à la plupart des expériences de physique, on ne peut pas répéter une expérience en climatologie (à moins de faire une expérience numérique).

On fait alors de la statistique surune seule système climatique!

trajectoire du

On est donc forcément limité par la taille dobservations, cest la « loi des petits nombres ».

13/10/2004

Mastère UVSQ - ENSTA - INSTN

des

jeux

Point de départ

On dispose deN×Pobservations temporelles, spatiales (ou les deux):

temps 64748 X(t,x),t=1KN,x 1 = 4 1K 243 P espace

Commentréduirelinformation contenue dansN×P observations à quelques paramètres?

Dun point de vue statistique, étudier la variabilité revient à trouver un modèle « statistique » pour représenter les données. Dun point de vue dynamique, on veut décrire l « attracteur » sous-jacent.

13/10/2004

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Modèles statistiques simples

Modèle harmon X(t)Asin(t

que )b(t)

i

4 paramètres:A,ω,φ, etσ b

Modèle auto-régressif dordreM:

X(t)

a 1 X(t−1)

a 2 X(t

2)

La M X(t M)b(t) M+1 paramètres: (a i ),i=1M, etσ b

Composantes principales et EOFs

X(t,x)

13/10/2004

a 1 (t)E 1 (x)

L

a M (t)E M

(x)

M(N+P) paramètres etM<<P

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Les Séries Temporelles

Une série deNobservations (mesures instrumentales, géochimiques, simulations numériques, etc.), échantillonnées dans le temps:

X

t i

,i=1...N

En général (souhaitable!):

13/10/2004

t i+1

t i =

t

constante

Les diagnostiques de base Moyenne: X= N 1 i ∑ N =1 X(t i ) Variance: σ 2 X = N 1 −1 N i= ∑ 1 ( X

Écart-type: σ X =

2 σ X

(t i

2 )−X )

tribution de probabilité:

Variations sur le thème de la variance Covarianceentre deux sériesX(t) etY(t): C= N1 1 i N ∑ 1 ( X(t)−X ) ( Y(t i )−Y ) XY i − =

AutocovariancedeX(mémoire de la série):

C X (τ)= N

1 N −1 i= ∑ 1 ( X(t i +τ)−X ) ( X(t i )−X )

C X (0)=C XX = σ X 2

Mesure de la mémoire de la série (ici unbruit rouge)

13/10/2004

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Qu'attend-on d'une série temporelle?

Distribution homogène des données:céosomhiticstdaé. Stationnaritéde la moyenne et de la variance: leurs estimations changent peu si on coupe la série en morceaux.

Exemples: Pasdetendance:

N+τ X(τ)= N 1 t ∑ τ X(t)=X, pour toutτ =

Invariance de lautocovariance par translation: N C X (τ,τ' )= 1 N ∑ 1 X(t i +τ)−X X(t i +τ' )−X i= =C(−ττ' ), pour tousτ,τ' X

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Hypothèses techniques

L a sérieX(t) est régulièrement échantillonnée, avec un pas de tempsδt:

X(t)

X(k

t) } k=1KN ,

 Les fréquences vont donc de 0 à 1/2δt(la fréquence de Nyquist). 1  La plus petite fréquence discernable est f = (la fréquence de Rayleigh). R N t

La résolution fréquencielle optimale est 2f R . Pour simplifier, on supposera que δt =1.

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