Compl' etude des noyaux reproduisants dans les espaces mod` eles.

Description

Compl´etude des noyaux reproduisants dans les
espaces mod`eles.
EMMANUEL FRICAIN
Institut Girard Desargues
Bˆatiment 101
Universit´e Claude Bernard Lyon I
43, boulevard du 11 Novembre 1918
69622 Villeurbanne C´edex
FRANCE
email: [e-mail]
R´esum´e
Soit (λ ) une suite de Blaschke du disque unit´eD et Θ une fonction int´erieure. Onn n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
suppose que la suite de noyaux reproduisants k (z,λ ) := est compl`eteΘ n
1−λ zn n>1
p ppdans l’espace mod`eleK :=H ∩ΘH , 1la stabilit´e de cette propri´et´e de compl´etude, a` la fois sous l’effet de perturbations des
fr´equences (λ ) mais ´egalement sous l’effet de perturbations de la fonction Θ. Onn n>1
retrouve ainsi un certain nombre de r´esultats classiques sur les syst`emes d’exponentielles.
Puis, si on suppose de plus que la suite (k (.,λ )) est minimale, on montre que, pourΘ n n>1
une certaine classe de fonctions Θ, la famille biorthogonale associ´ee est aussi compl`ete.
Completeness of reproducing kernels
in the model spaces.
Abstract
Let (λ ) be a Blaschke sequence of the unit disc D and Θ be an innern n>1
1−Θ(λ )Θ(z)n
function.Asssumethatthesequenceofreproducingkernels k (z,λ ) :=nΘ 1−λ zn n>1
p ppis complete in the model space K := H ∩ΘH , 1 < p < + ∞. First of all,Θ 0
we study the stability of this completeness not only under perturbations of fre-
quences (λ ) but also under perturbations of function Θ. We recover somen ...

Sujets

• Étude (musique)
• Système vestibulaire
• Stabilité des structures
• Montréjeau
• Lemme de Zorn
• Famille Visconti

Informations

• Publié par: Sion
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

Compl´etude

des noyaux reproduisants espaces modeles. `

EMMANUEL FRICAIN Institut Girard Desargues Bˆatiment101 Universite´ClaudeBernardLyonI 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622VilleurbanneC´edex FRANCE email:[e-mail]

dans

Resume ´ ´ Soit (λ n ) n>1 ueuq´tineeBedsclaedhkisuditsuneuDteenuΘru.enOfonctionint´erie suppose que la suite de noyaux reproduisants  k Θ (z, λ n ) := 1− 1 Θ( −λ λ n n ) z Θ(z)  n>1 `tlspomcetee dansl’espacemod`eleK p Θ :=H p ∩ΘH 0 p , 1< p <+∞,spmetreimedansunpr´etudie,.nO lastabilite´decetteproprie´te´decompl´etude,a`lafoissousl’effetdeperturbationsdes fr´equences(λ n ) n>1 aimmelage´slsuostneOnΘ.’effetdeperturbatoisnedalofcnitno retrouveainsiuncertainnombredere´sultatsclassiquessurlessyste`mesd’exponentielles. Puis, si on suppose de plus que la suite (k Θ (., λ n )) n>1 est minimale, on montre que, pour unecertaineclassedefonctionsΘ,lafamillebiorthogonaleassoci´eeestaussicomple`te.

les

Completeness of reproducing kernels in the model spaces. Abstract Let (λ n ) n>1 be a Blaschke sequence of the unit discDand Θ be an inner function. Asssume that the sequence of reproducing kernels  k Θ (z, λ n ) := 1− 1 Θ( −λ λ n n ) z Θ(z)  n>1 is complete in the model spaceK p Θ :=H p ∩ΘH 0 p , 1< p <+∞. First of all, we study the stability of this completeness not only under perturbations of fre- quences (λ n ) n>1 but also under perturbations of function Θ. We recover some

1

classical results on exponential systems. Then, if we assume further that the se- quence (k Θ (., λ n )) n>1 show that, for a certain class of functionsis minimal, we Θ, the biorthogonal family is also complete. AMS classification :30B60, (42A65, 42C30, 47B35, 30D55, 46E22).

1 Introduction

Nous notons parD={z∈C:|z|<1}lisedeuqut´ni,eaprT={z∈C: |z|= 1}lecercleunit´eetpour16p6+∞,

H p ={f:D−7→C suholomorphe : r p < Z T |f(rζ)| p dm(ζ)<∞} 061

designel’espacedeHardydudisqueunit´e.Defa¸conhabituelle,onidentifiera ´ ˆ H p avec le sous-espace des fonctionsf∈L p (T) pour lesquellesf(n) = 0, n <0. Rappelons qu’une fonction Θ∈H ∞ estiserueire´tnietid|Θ(ζ)|= 1 pour presque toutζ∈T.asOnicosta`eetuocnoftionint´erieurelseuo-sseapec K p Θ :=H p ∩ΘH 0 p , o`uH 0 p ={f∈H p :f(0) = 0}.exenEltered´abarnelaesigguiaocjnmolposcn conside´rantladualit´enaturelleentreH p etH p 0 epar,d´efini hf, gi:= Z f(ζ)g(ζ)dm(ζ), f∈H p , g∈H p 0 , T ` 1 1 ou p + 0 eptu,1no=vcaolne´eeqfuai¸nirdndt´eefiK p Θ comme l’ensemble des p fonctionsf∈H p pour lesquelles

hf,Θgi= 0,∀g∈H p 0 . Parconse´quent,K p Θ delbofsesemr´nilspred`on’ealemnscroseedaeriH p 0 qui p 0 s’annulent sur le sous-espace ΘH. Pourp=p 0 = 2, on noteraK Θ =K Θ2 `u1nslecasopeul,sadD.< p <+∞[Girvog(ch],81arIIertipaeuq)eueBinrlr`eoedemdetl´hturli,use´ toutefer´tinvariantparl’actiondel’op´erateurS ∗ : sous-espace propr me e f−→7 f−f  du type (0) est K p Θ eitvnreesemueledsrohednE.tnetrˆ´entri z propre, ces sous-espacesK p Θ tunledenoss`pvatiedce´neiortesqelueujssstet l’approximation rationnelle (voir [Dya], [Hay90], [Sar94]), les operateurs de ´ Toeplitz(voir[DSS70],[Dya94b])etlath´eoriespectraled´teurslin´eaires es opera

2

ge´n´eraux(voir[Nik86]).Danscetarticle,nousnousinte´ressonsauxnoyaux reproduisant p 0 notcuafxoisn’e,c`astredik Θ (., λ)∈K p Θ s des sous-espacesK Θ pour lesquelles D, f∈ p 0 f(λ) =hf, k Θ (., λ)i, λ∈K Θ o`uh∙,∙irerepr´eseil´teetntnledaauK p Θ etK p 0 nsDa1acelu`os< p <+∞, le Θ . sous-espace ΘH p esan´tdemenepm´ltsocH p car les projections standards ΘP + Θ etP Θ :=I−ΘP + Θ = ΘP − Θntsornboes´eusrH p remedeRiesz,(aplrte´hoe ` ˆ v O o n ir a [D d u o r n 7 c 0] H ). p = icI P P Θ + H ´ed p gn + s ( i I e l − a P pr Θ jo )H ec p oint =P d Θ e H R p ei Θ+ zs( H P + p f)(z) = p P n>0 f(n)z n ). ,d’o`uK Θ =P Θ H p . De plus, il est facile de voir quek Θ (., λ) =P Θ k λ u`o,k λ 1 = − 1 λz est le noyau de Cauchy classique et un petit calcul montre alors que

= k Θ (., λ ) 1− 1− Θ(λ λ )Θ z

(voir[HNP81]ou[Nik86]).Danscetarticle,nousallons´etudierdeuxproble`mes relatifs`alacompl´etudedessuitesdenoyauxreproduisantsdansl’espaceK Θ p . Rappelons qu’une suite (x n ) n>1 d’un espace de BanachXittdomecese`lpet dansX´fr´ndgeeneppolevnriae´nillsrseeee’alpix n nespatoe´n,{x n : e ermee n>1}ge´t`ela,easXreots,cautenisilD.nsnaeHahn-Banach,naltte´hoe`rmede il est facile de voir qu’une suite de noyaux reproduisants (k Θ (., λ n )) n>1 sera compl`etedansK Θ p si et seulement si l’implication suivante 0 (f∈K Θ p , f(λ n ) = 0, n>1) =⇒f≡0 est vraie pour toute fonctionf∈K p 0 craP,´ntudets´onueeq Θ u.tedlpe´camoeilr d’une suite de noyaux reproduisants (k Θ (., λ n )) n>1 dansK p Θ seram`ene`a´eutidre si la suite (λ n ) n>1 embl’ensz´eredesnueso’dpeˆeuteitrulcnuoesdnonlsna fonction deK Θ p 0 non identiquement nulle. La question naturelle qui se pose alorsestdechercheruncrite`re,enlangagedeΛ=(λ n ) n>1 et Θ, pour que la suite (k Θ (., λ n )) n>1 dans`etemolpioctsK p Θ Etan.ontdeΛn´=(λ n ) n>1 ⊂D, il est facile de montrer que la suite (k Θ (., λ n )) n>1 est complete dansK Θ p , pour ` toutefonctionint´erieureΘ,sietseulementsilasuiteΛ=(λ n ) n>1 n’est pas deBlaschke,c’esta`diresi X (1− |λ n |) = +∞. n>1

Parconse´quent,lav´eritablequestionquiseposeest:´etantdonne´Λ=(λ n ) n>1 ⊂ Deurefix´ee,,uitednesucskhBealmslusenaiticpltiuntΘ,e´eoitcnofeire´tnin

3

peut-ontrouveruncrit`eresuffisamentexplicitedecompl´etudepourlasuite (k Θ (., λ n )) n>1 dansK Θ p ? Cettequestionestencoreouvertemˆemepourlecasparticulierdesexponen- >1 ⊂D,a >0, et Θ a := exp  a z z−1 +1  , tielles. Rappelons que si Λ = (λ n ) n l’espaceK Θ a ninuirtaefedcoa¸edi’fiitnscaee’ps`elaL 2 (0, aetudmpl´laco)ete de la suite (k Θ a (., λ n )) n>1 dansK Θ a euiastealocpm´ltedudelest´equivalente`a (exp(iµ n t)) n>1 dansL 2 (0, a),µ n :=i 1+ 1− λ λ n emMˆ).6]ePN18riH[iN8ko][u(vo n danscecasparticulierdonc,onneconnaitpasdecrit`ereg´eome´triqueportant surlesfr´equences(µ n ) n>1 Ae.uedxnectertsuavartseL.esc´anavusplesxl BeurlingetP.Malliavinquiontdonn´euneme´thodepourcalculerlerayonde compl´etuded’unesuited’exponentielles(exp(iµ n t)) n>1 en fonction d’une cer- tainedensit´e(voir[BM62]et[BM67]pourlestravauxoriginaux,[KT90]pour uner´einterpr´etationdecesr´esultats,[Red77]et[Koo96]pourunepr´esentation tre`scomple`tedusujet). Danscetarticle,nousallonse´tudierdeuxprobl`emesplusparticulie`rsrelatifs `acettecompl´etudedesnoyauxreproduisants.Lepremierproble`meauquelnous nousinte´ressonsestunproble`medestabilite´: on se donne1< p <+∞, une suiteΛ = (λ n ) n>1 ⊂DetΘ 1 une fonction inte´rieuredeH ∞ meeuqslete`tsysel(k Θ 1 (., λ n )) n>1 est complet dansK Θ p 1 . Si on perturbe la suiteΛote(ufal)onctionint´erieuerΘ 1 , est-ce-que le nouveau syst`eme(k Θ 2 (., λ 0 n )) n>1 est complet dansK p Θ 2 ?

Ledeuxi`emeproblemeconcernelacomple´tudedelabiorthogonaleassocie´e ` aux noyaux reproduisants deK Θ :=K 2 Θ : si(k Θ (., λ n )) n>1 snadetenustimeseuttcompl`einimaleeK Θ , la question naturellequiseposeestdesavoirsilabiorthogonaleassoci´ee`acettesuiteest aussicompl`etedansK Θ .

Lepremierproble`mepeutˆetremotiv´eparplusieursraisons.D’unepart, nousavonsvuqueleprobl`emege´n´eraldecomple´tudedanslequels’inscritce proble`medestabilit´eesttre`sdifficileetloind’ˆetrere´solu.D’autrepart,dans beaucoupdecas,lafamilledonne´eestunepetiteperturbationd’unefamille dontonsaitd´ej`aqu’elleestcomple`te.Uncrit`eredestabilit´epermettraitdonc, dansbeaucoupd’applications,etnotammententh´eorieducontrˆole,deprouver lacompl´etudedesnoyauxreproduisants. Ilfaut´egalementsignalerqueceproble`medestabilit´eestli´eauproble`me d’unicite´fondamentalsuivant:´etantdonn´ee(e n ) n>1 lpmoete`snadneumifaecll un espace de BanachE(resireact´acarche`cher,noε n ) n>1 ⊂R ∗ + tel que si

4