Cours 9: Algorithmes et physique statistique

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Cours 9: Algorithmes et physique statistique
• Mod`ele d’Ising et coupe maximale, NP-compl´etude
• Fonction de partition, polynome de Tutte
• Mod`ele inhomog`ene, calculs dans le cas planaire
• Recuit simul´e, une heuristique inspir´ee par la physique
Gilles Schaeffer INF-551-9: Algorithmes et physique statistique
1-1 Mod`ele d’Ising et coupe maximale
Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R,
d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins.
Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1}
L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par
X X
H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y)
x∈X e={x,y}∈E
Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale.
P
−βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ
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2-1 Mod`ele d’Ising et coupe maximale
Donn´ees: Un graphe G = (X,E), une application J de E dans R,
d´ecrivant l’´energie d’interaction entre sites voisins.
Une configuration de spins est une applicationσ deX dans{−1,+1}
L’´energie associ´ee `a σ est donn´ee par
X X
H(σ) =−M σ(x)− J(e)σ(x)σ(y)
x∈X e={x,y}∈E
Probl`emes: • Trouver la configuration d’´energie minimale.
P
−βH(σ)• Calculer la fonction de partition Z (β) = e .G σ
Une coupe est un ensemble d’arˆetesC telles qu’il existe une partition
X = X ∪ X , X ∩ X = ∅ pour laquelle C = C(X ,X ),+ − + − + −
l’ensemble des arˆetes ayant leurs extr´emit´es dans 2 parts diff´erentes.
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1-1
Cours 9:
Algorithmes et physique statistique
Mod`eledIsingetcoupemaximale,NP-comple´tude
Fonction de partition, polynome de Tutte
Mode`leinhomog`ene,calculsdanslecasplanaire
Recuitsimul´e,uneheuristiqueinspire´eparlaphysique
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2-1
Mod`le d’Ising et coupe maximale e Donnees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, ´ de´crivantl´energiedinteractionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’greie´enice´saose`aσreepaonn´estd H(σ) =MXσ(x)XJ(e)σ(x)σ(y) xXe={x,y}∈E Probl`emes:gonaturndioen´igrenimelami.erTuoevlrca Calculer la fonction de partitionZG(β) =PσeβH(σ).
Gilles S
chaeffer
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2-2
Mode`ledIsingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantle´nergiedinteractionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’egieren´ocssaa`ee´iσest d ´e par onne H(σ) =MXσ(x)XJ(e)σ(x)σ(y) xXe={x,y}∈E Proble`mes:orTrevu.iminamele´engreirationdlacongu Calculer la fonction de partitionZG(β) =PσeβH(σ). UnecoupeesetrˆsnenutseadelbmeCtelles qu’il existe une partition X=X+X,X+X=pour laquelleC=C(X+, X), lensembledesareˆtesayantleursextre´mit´esdans2partsdi´erentes.
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Mode`ledIsingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantle´nergiedinteractionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’ne´eierge´ica`esoasσeepardtse´nno H(σ) =MXσ(x)XJ(e)σ(x)σ(y) xeX={x,y}∈E Proble`mes:ouev.eTraliminemgieren´dnoitarugnocalr Calculer la fonction de partitionZG(β) =PσeβH(σ). UnecoupebmesdeltsenenuˆearsteCtelles qu’il existe une partition X=X+X,X+X=pour laquelleC=C(X+, X), lembledesareˆtesayantleursextr´emit´esdans2partsdie´rentes. ens Chaqueσ:enied´upconetuCσ=C(X+, X)u`oX+=σ1(1).
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Mode`ledIsingetcoupemaximale Donne´es:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, d´ecrivantle´nergiedinteractionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’engreie´asae`´ecisoσontdesrapee´n H(σ) =MXσ(x)XJ(e)σ(x)σ(y) xeX={x,y}∈E Proble`mes:ouTrrugoitalrevnocagieminimnd´enerla.e Calculer la fonction de partitionZG(β) =PσeβH(σ). UnecoupeeteˆradsestunensembleCtelles qu’il existe une partition X=X+X,X+X=pour laquelleC=C(X+, X), lensembledesareˆtesayantleursextre´mite´sdans2partsdi´erentes. Chaqueσinutenoc´dee:upCσ=C(X+, X)ou`X+=σ1(1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|Cσ| ∙J.
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Mode`ledIsingetcoupemaximale Donn´ees:Un grapheG= (X, E), une applicationJdeEdansR, de´crivantl´energiedinteractionentresitesvoisins. Uneconfiguration de spinsest une applicationσdeXdans{−1,+1} L’eigrene´icossaa´ee`σest donnee par ´ H(σ) =MXσ(x)XJ(e)σ(x)σ(y) xXe={x,y}∈E Probl`emes:taoidn´canogruTrouverle.aliminemgieren Calculer la fonction de partitionZG(β) =PσeβH(σ). UnecoupeeteˆsestunensembledarCtelles qu’il existe une partition X=X+X,X+X=pour laquelleC=C(X+, X), lensembledesareˆtesayantleursextr´emite´sdans2partsdi´erentes. Chaqueσocen:epue´dutinCσ=C(X+, X)u`oX+=σ1(1). PourM= 0etJ <0constant,H(σ) =−|E| ∙J+ 2|Cσ| ∙J. Trouver la configuration d’Ising d’energie minimaleMaxCut.
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3-1
NP-comple´tudedeMaxCut
Onr´eduit3-SATa`MaxCutepem-o3rilvblea`NAESAT´:tetan donn´eunensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitt´eralfaux.
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3-2
NP-compl´etudedeMaxCut
Onr´eduit3-SAT`aMaxCuteme3obl`leprvia-NAESATate´tn: donn´eunensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATude´a`tiers3-NAESAT:soit(Ci=xiyizi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xiyitietCi00=zit¯iu`uo uet lestisont de nouvelles variables.
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3-3
NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SATa`MaxCutbl`eme3-vialeproNAESATtenat´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitte´ralfaux. 3-SATdeiu`tar´se3-NAESAT:soit(Ci=xiyizi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xiyitie00¯u tCi=zitiuo` uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (ielaeuqahcauseauclert´itnlVraiet unFaux):
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3-4
NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SAT`aMaxCutem-3lbe`eprovialNAESATtanet´: donne´unensembledeclausesa`3litte´raux,trouveruneaectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitte´ralvraietunlitte´ralfaux. 3-SAT`tadeiues´r3-NAESAT:soit(Ci=xiyizi)i=1,...,mune instance de30iyitietCi00=zi¯ o -SAT; on poseCi=xtiu`u uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (ieauseauclueaqchlalnti´treVraiet unFaux): s’il existe une affectation telle que tous lesCisoient vraies, on la compl`eteparti=xiyietu=Faux: c’est une bi-affectation.
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3-5
NP-comple´tudedeMaxCut
Onre´duit3-SAT`aMaxCut3e-rpbo`lmevleiaNAESAT:´etant donn´eunensembledeclausesa`3litt´eraux,trouveruneaectation o`uchaqueclausecontientaumoinsunlitt´eralvraietunlitt´eralfaux. 3-SAT`sae´retiud3-NAESAT:soit(Ci=xiyizi)i=1,...,mune instance de3-SAT; on poseCi0=xiyitietCi00=zit¯iuo`u uet lestisont de nouvelles variables. Il faut voir que(Ci)admet une affectation ssi(Ci0, Ci00)admet une bi-affectation (iehacuslaecquttilnuaelare´Vraiet unFaux): s’il existe une affectation telle que tous lesCisoient vraies, on la compl`eteparti=xiyietu=Faux une bi-affectation.: c’est s’il existe une bi-affectation de(Ci0, Ci00): ¯ – soitu=Faux, alorszitest vraie doncxiyiziest vraie. – soitu=Vrai, alors nier toutes les valeurs des variables...
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