D - Inférence Statistique – Estimation et Tests d'hypothèses

Propri.Taire

Description

D -
I
nférence Statistique –
Estimation et Tests d’hypothèses
1.
Introduction –
D
é
duction et inférence statistique
2.
Fluctuations d’échantillonnage
d’une proportion observée
3.
Principe et
résolut
i
on d’un test
d’hypothèse
4.
Fluctuation d’échantillonnage d’une moyenne observé
e
5.
Comparaison de 2 var
iances observées -
d
e 2 moyennes observées
6.
Tests du Khi-deux
7.
Autres tests non paramétriques
8.
Analyses de var
iance -
A
NOVAD
-
Inférence Statistique
-
-
Estimation et Tests d’hyp
o
o
thèses
1. Introduction –
D
éduction et inférence statistique
Population
:
ensemble total d objets ou d individus
Ø
tudier,
partir duquel sont extraits des Øchantillons.
La moyenne
µ
et l Øcart-type
σ
de la population
sont des
constantes
(gØnØralement inconnues),
exemples de
paramètres
fixes de la population ou
objectifs
.
!
Les probabilitØs
P(X)
sont utilisØes dans le calcul de
µ
et
σD
-
Inférence Statistique
-
-
Estimation et Tests d’hyp
o
o
thèses
1. Introduction –
D
éduction et inférence statistique
Echantillon
:
Sous ensemble de la population.
Un
Øchantillon
représentatif
est un sous ensemble
choisi au hasard dans la population
.
La moyenne
X
et l Øcart-type
s
de l Øchantillon sont
des
variables aléatoires
,
variant
d un Øchantillon
l autre, et sont appelØes
statistiques d’échantillon
,
statistiques alØatoires ou
estimateurs
(ici respectivement de
µ
et
σ
)
Remarque
: la mØdiane m
peut Œtre dans certains ca
s un meilleur
estimateur
de ...

Sujets

• Estimation par noyau
• Fluctuations cycliques
• Test d'hypothèse
• Sexe du locuteur en japonais parlé
• Médicament générique
• L'Hypothèse du tableau volé

Informations

• Publié par: Urdie
• Nombre de lectures: 209
• Langue: Français

Extrait

D -Inférence Statistique  ’ – Estimation et Tests d hypothèses

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Introduction – Déduction et inférence statistique

’ ’ Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée

Principe et résolution d un test d hypothèse ’ ’

Fluctuation d échantillonnage d une moyenne observée ’ ’

Comparaison de 2 variances observées - de 2 moyennes observées

Tests du Khi-deux

Autres tests non paramétriques

Analyses de variance - ANOVA

 u cllu eacd  eiséeutilns ls da sétili tnosLe . !abobprs 

P(X)

D -Inférence Statistiq ue - Estimation et Tests d h ypothèses ’ 1. Introduction – Déduction et inférence statistique

sont des constantes (généralement inconnues),

Population : ensemble total dobjets ou dindividus à étudier, à partir duquel sont extraits des échantillons.

objectifs

exemples de paramètres fixes de la population o

µ et σ

La moyenne µ et lécart-type σ de la population

D - 

’ Inférence Statistiq ue - Estimation et Tests d h ypothèses 1. Introduction – Déduction et inférence statistique

Echantillon : Sous ensemble de la population. Un échantillon représentatif est un sous ensemble choisi au hasard dans la population .

La moyenne X et lécart-type s de léchantillon sont des variables aléatoires , ’ variant dun échantillon à lautre, et sont appelées statistiques d échantillon , statistiques aléatoires ou estimateurs (ici respectivement de µ et σ ) Remarque : la médiane m e peut être dans certains cas un meilleur estimateur de µ que x Les fréquences relatives f/n sont utilisées dans le calcul de x et s

! [ Un estimateur T est dit biaisé si son espérance E(T) est différente de sa cible θ dans la population : biais = E(T)-θ ]

Tirage dun échantillon avec remise : important pour garantir l indépendance ’ des n observations qui le constituent (surtout dans les petites populations ). La proportion comme la moyenne changeant sinon à chaque tirage!

Tirage dun échantillon sans remise : sans importance dans les grandes populations , aucune différence pratiquement que lon remette ou non chaque individu avant le tirage suivant. Pour lessentiel les observations sont indépendantes. Ce nest pas le cas pour une petite population

D Inférence Statistiq ue - Estimation et Tests d h ypothèses -’ 1. Introduction – Déduction et inférence statistique

Déduction :

prédire, à partir d'une population connue ou supposée connue, les caractéristiques des échantillons qui en seront prélevés

Induction (inférence) :

prédire les caractéristiques d'une population inconnue à partir des statistiques déterminées dans un échantillon représentatif de cette population.

! Extrapolation des observations réalisées dans un échantillon à l'ensemble de la population

é,  ,ohiméténtiomégoc :rofnet(  stsrsea ,on Pde :tsu itelAutre te•

•

•

IMPORTANCE DES SCHEMAS !

•

Exemples ; exercices

Test du ajustement à une loi)

•

Estimations : Intervalles de pari, Intervalles de confiance

•

Etude des fluctuations déchantillonnage dune moyenne observée,

•

(en se servant du modèle de cahier des charges vu lors de létude des fluctuations déchantillonnage dune proportion observée)

Intervalles de pari, Intervalles de confiance.

Etude des fluctuations déchantillonnage dune proportion observée,

Tests dhypothèses (conformité, homogénéité)

•

D -Inférence Statistiq ue - Estimation et Tests d h ypothèses ’ 1. Introduction – Déduction et inférence statistique

χ 2

Allons y ...

’ D -Inférence Statis ’ tiq ue - Estimatio ’ n et Tests d h ypothèses 2. Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée

Les proportions, indicateurs parmi d autres ’









   

Définition

Intérêt

On travaille sur un échantillon d ’ e taille quelconque pour obtenir des  informations sur la population d origine

Caractéristique : Π [population]

Statistique : P o [observée ou observable sur un n-échantillon] P o comme estimateur de Π Tests et encadrements possibles : sur Π et P o On va travailler sur le biais : θ = Π - P o

’ Tests d thès D -Inférence Statis ’ tiq ue - Estimatio ’ n et h ypo es 2. Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée

Comment traduire P(X=k) = 0.33 ?

! Si lon répétait un très grand nombre de fois lexpérience on obtiendrait X=k dans 33% des cas

! Autre façon de le formuler : 33% des échantillons conduisent à X=k (nbre infini de tirages)

En remplaçant X = k par P o = k/n :

! Fluctuations déchantillonnage dune proportion observée. ! Nature : Loi Binomiale de paramètres n et Π (objectif dans population) ! Problème continu lorsque n très grand.

de roba C -Lois p ’ bilité s ’ Fluctuation d échantillonage d une proportion expérimentale (observée)

p(X=

0.35

0.30

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

k)   Po

0

1

2

3

B  

4

5( ,.0

5

)5

k

’ Résultat de l échantillonnage  ’ Expérience réalisée sur un grand nombre d échantillons)

k p(X=k)

0 0.031 1 0.156 2 0.313 3 0.313 4 0.156 5 0.031 moy. 2.500

Po

0.025 0.13 0.35 0.3 0.168 0.027 2.540

’ Loi théorique (atteinte lorsque le tirage concerne une nombre infini d échantillons)

suivage lonnntilibonol inu ena tlufahcéd snoitautc  ed elamroN iol ne uar péechropptrt-pyeêmemé acenne et même moy    eedimlaneenm yo

Π et décart type σ= Π (1 −Π )   n

observée P o  de cet évènement dans des n -échanitillons, tirés au hasard de la population, subit des

  Lorsquun évènement donné E a une probabilité Π  dêtre observé dans une population, la proportion

’ ’ Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée     !  Le caractère étudié est qualitatif   et sa répartition dans léchantillon ou la population constitue une variable aléatoire quantitative discrète.  

’ D -Inférence Statis ’ tiq ue - Estimatio ’ n et Tests d h ypothèses 2. Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée

  

  En pratique (Ceci rend les calculs de probabilité aisés)   Si   N Π > 5   et N(1-Π ) > 5 Alors la loi binomiale est a              a      (     Π , Π (1 −Π ) )   n Nous serons amenés à vérifier cette condition à priori ou à posteriori ! ! Nous allons exploiter ces propriétés    

’ D -Inférence Statis ’ tiq ue - Estimatio ’ n et Tests d h ypothèses 2. Fluctuations d échantillonnage d une proportion observée

Tests de conformité DIFFERENCES ( P o- Π ) SIGNIFICATIVES ?

Π

Intervalles Hypothèse nulle Ho : de pari Π caractéristique connue (valeur donnée)

L échantillon observé peut-il provenir de cette population ? p o A quels type déchantillons issus de cette population peut-on sattendre? Risque seuil α ENCADREMENT DE P o   Risques α o et β Echantillon  taille : n (n échantillon) _  représentatif  P o : observée

Population  taille ?  Inaccessible  Π : caractéristique connue ou supposée connue (résultant par ex détudes menées sur de nombreux échantillons)