De la vérité à la démonstration : le théorème de complétude ...

Guillaume Brunerie

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• Publié par: Naphong
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Demonstrations et modeles Theoreme de completude Complements De la verite a la demonstration : le theoreme de completude de G odel Guillaume Brunerie Seminaire mathematique des eleves du lycee Louis-le-Grand 4 fevrier 2009 Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odel2 Theoreme de completude Theoreme de correction Theoreme de completude 3 Complements Arithmetique non standard Extension a des systemes formels quelconques Demonstrations et modeles Theoreme de completude Complements Sommaire 1 Demonstrations et modeles Termes et formules Demonstrabilite Validite Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odel3 Complements Arithmetique non standard Extension a des systemes formels quelconques Demonstrations et modeles Theoreme de completude Complements Sommaire 1 Demonstrations et modeles Termes et formules Demonstrabilite Validite 2 Theoreme de completude Theoreme de correction Theoreme de completude Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelDemonstrations et modeles Theoreme de completude Complements Sommaire 1 Demonstrations et modeles Termes et formules Demonstrabilite Validite 2 Theoreme de completude Theoreme de correction Theoreme de completude 3 Complements Arithmetique non standard Extension a des systemes formels quelconques Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelDemonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Sommaire 1 Demonstrations et modeles Termes et formules Demonstrabilite Validite 2 Theoreme de completude 3 Complements Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelDemonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Termes de l’arithmetique C : ensemble des symboles de constantes, 02C V : des symboles de variables (in ni) De nition L’ensemble des termes surC est de ni par : T =CjVj STj (T +T )j (T T ) De nition Un terme qui ne contient pas de symbole de variable est appelle un terme clos. Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelDemonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Exemples de termes Exemples Si c2C et x; y2V, x Sy + c n’est rien du tout (0 + (0 Sc)) est un terme clos (((c + Sy) S(Sx (SS0 + SSSx))) + 0) est un terme. Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelVariables libres : variables non liees par un quanti cateur Formule close : formule sans variable libre Theorie : ensemble de formules closes De nitions Demonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Formules logiques De nition L’ensemble des formules est de ni par : F =?j (T =T )j:Fj (F_F)j (F^F)j (F!F)j9VFj8VF Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelFormule close : formule sans variable libre Theorie : ensemble de formules closes Demonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Formules logiques De nition L’ensemble des formules est de ni par : F =?j (T =T )j:Fj (F_F)j (F^F)j (F!F)j9VFj8VF De nitions Variables libres : variables non liees par un quanti cateur Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odelTheorie : ensemble de formules closes Demonstrations et modeles Termes et formules Theoreme de completude Demonstrabilite Complements Validite Formules logiques De nition L’ensemble des formules est de ni par : F =?j (T =T )j:Fj (F_F)j (F^F)j (F!F)j9VFj8VF De nitions Variables libres : variables non liees par un quanti cateur Formule close : formule sans variable libre Guillaume Brunerie Le theoreme de completude de G odel