Electronique quantique

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PA101
Electronique quantique
ème
9
Cours
"Du quantique au classique"
alain.sibille@ensta.fr
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PA101
Qu’avons-nous déjà
appris ?
Les objets macroscopiques possèdent un grand nombre
de
particules
et
sont
de
grande taille. Cela rend illusoire la description exacte de l'état quantique de toutes
le
s
particules. L'objectif de la physique statistique est de calculer des moyennes.
La
théorie de l'information nous a permis
d'obtenir une définition microscopique d
e

l'entropie, mettant en jeu le
s probabilités des microétats.
Le principe fondamental de la
physique
st
atistique énonce qu'à l'équilibre

thermodynamique le jeu de probabilité
s maximise l'entropie statistique
Nous avons obtenu ce jeu de probabilités
pour
les
3 ensembles essentiels :
microcanonique, canoniq
ue et grand canonique.
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PA101
Progression
Les grands concepts
L'énoncé des principes de la théorie quantique
l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
Les principes de la physique statistique
Illustrations quantique-statistique
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PA101
Plan de la séance
La thermodynamique retrouvée
Fluctuations et limite thermodynamique
Statistique quantique vs. statistique classique
Paradoxe de Gibbs et indiscernabilité
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PA101
La thermodynamique retrouvée
µétat
I+II
= µétat
I

µétat
II
Thermostat
Considérons deux sous-systèmes :
chaleur

β
chaleur
S'ils sont considérés indépendamment :
II
I
I

Z
=
exp
(

β
E
)
...
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82/1Electronique quantique9èmeCours"Du quantique au classique"101APalain.sibille@ensta.fr
Qu’avons-nous déjàappris ?PA10‰Les objets macroscopiques possèdent un grand nombre de particules et sont de grande taille. Cela rend illusoire la description exacte de l'état quantique de toutes les particules. L'objectif de la physique statistique est de calculer des moyennes.‰La théorie de l'information nous a permis d'obtenir une définition microscopique de l'entropie, mettant en jeu les probabilités des microétats.‰Le principe fondamental de la physique statistique énonce qu'à l'équilibre thermodynamique le jeu de probabilités maximise l'entropie statistique‰Nous avons obtenu ce jeu de probabilités pour les 3 ensembles essentiels : microcanonique, canonique et grand canonique.82/21
82/3Progression ‰Les grands concepts‰L'énoncé des principes de la théorie quantiqueAP101‰l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique ‰Les principes de la physique statistique‰Illustrations quantique-statistique
82/4Plan de la séance‰La thermodynamique retrouvée‰Fluctuations et limite thermodynamique‰Statistique quantique vs. statistique classique‰Paradoxe de Gibbs et indiscernabilité01AP1
La thermodynamique retrouvée PA101µétat I+II= µétatIµétatII‰Considérons deux sous-systèmes :ThermostatS'ils sont considérés indépendamment :chaleur βchaleurIIIII ZI=exp(−βIEiI) ZII=exp(−βIIEj) iµétatIjµétatII βIchaleur βIIS'ils sont considérés ensemble : ZI+II(β)=expβ(EiI+EjII)=exp(βEiI)exp(βEjII)=ZIZII(β) i,jijProbabilité d'un µétat du ss-systèmeI:piI=exp(−βIEiI)/ZI(βI)(système Iisolément)exp−β(EI+EII)(système Ifaisant partie de I+II)ijIIpI=jµétatII=expβEiexpβEII=expβEiijZI+II(β)ZI(β)ZII(β)jZI(β)Conclusion : nécessairement βIII. βapparaît comme une variable (intensive) caractéristique de l'échange de chaleur avec l'extérieur. Ceci permet d'identifier β   à (une fonction de) la température.82/5
‰'LiLa thermodynamique retrouvée tnrerptétaoi ntstasiituq eedl é'engrei( nietnr)ed  uystsmè e'scéirtU1AP10=piEi.iEn différentiant :dU=Eidpi+pidEiQWiiCeci est l'expression microscopique du 1erprincipe de la thermodynamique 82/6E3Eδ2E1EQ=iEipdiE'3p3p2E'2'1p1Echaleur3p2p1ptravai'3EE'2'1ElδW=3p2p1ppidEii
La thermodynamique retrouvée 101AP‰Maintenant que nous connaissons le jeu de probabilités des µétats, nous sommes armés pour calculer des moyennes d'ensemble, par exemple l'énergie dans l'ensemble canonique. D'après la loi de Boltzmann : exp(−βEj)=p  jZ U=-ln(Z) βEiexp(βEi)iU=exp(βEi) =-∂βlniexp(βEi)iPour l'entropie statistique: 2/78xep(E)I=piln(pi)=−pi lnβi=piln(Z)piEiiiZiiI=ln(Z)U 
/882La thermodynamique retrouvée I=ln(Z)U  dI=dZZdU +Udβ)dI=Eiexp(βEi)dββexp(βEidEi+βdU +UdβiZiZdI=−Udβ−βδWdU +Udβ=βδQ101APOn est donc bien conduit àidentifier entropiestatistique et entropie thermodynamiquemoyennant l'introduction d'une constante de proportionnalité:  S=kBI  δQQui amène à :  dS=  avec :β=1/kBT  TNous avons donc retrouvé le 2èmeprincipe de la thermodynamique
La thermodynamique retrouvée PA10‰La définition microscopique de l'entropie nous permet d'énoncer un 3ème principe de la thermodynamique (principe de Nernst, 1906) :L'entropie de tout système physique à l'équilibre tend vers zérolorsque la température tend vers zéro.En effetS=kBln(Z)+kBβU kBln(exp(−βE0))+kBβE00se t'lnéreig eud ofdnmaneat.l nU ocorlliarE ùO0impossible d'atteindre le zéro absolu en un temps fini.82/9 eed ec rpniicep se tuqi' lse t1
La thermodynamique retrouvée ‰Dans l'ensemble grand canonique, on démontre aisément de la mêmefaçon :(nZ)UAP101NU−μN=ln(ZGC)N=1lGCS=kBln(ZGC)+μ  ββμTdSéquilibre=kBβ(dU−μdN−δW)  dS=δQ−μdN  TùO  Nsetchimique.βet μso nel t dnoonm cbderse  mvorayieanlb ed sei nptaerntsiicvueel,ss .c aCreactciépiresramtne l t edri'édseenrtvfioiie r rdμau potentiel  ehclaue ruo ed particules, qui impose la valeur de ces variables au système lorsque l'équilibre est atteint.82/01
Fluctuations et limite thermodynamique 101AP‰Dans l'ensemble canonique, les fluctuations d'échange d'énergie avec le réservoir sont données par la variance de l'énergie :22(ΔE)2=piEi2piEi=1exp(βEi)Ei21exp(βEi)EiiiZiZi22OrZ=exp(−βEi)d'où(ΔE)2=1Z212ZiZβZβSachant que U=ln(Z)βSoit :(ΔE)2=Uβ182/1UnlZ12Z1Z)(β=ββ=−Zβ2+Z2β2
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