Physique Statistique

Eymerich

Description

Paris 7 Physique Statistique
PH 402
EXERCICES
–
Feuille 8 : Statistiques quantiques
1 Mis en examen (mai )
On se propose d’´etablir quelques pr´edictions du mod`ele du gaz parfait concernant le comportement
des pions, des quarks et des gluons a` haute temp´erature.
Les questions pr´eliminaires, ind´ependantes, ont pour but de retrouver des r´esultats ´el´ementaires, donc
fondamentaux, d´ej` a expos´es en cours et n´ecessaires pour la suite. Les questions suivantes deviennent
plus ardues. Les calculs sont toujours simples ; les raisonnements aussi, encore que parfois subtils.
Conseils :
• Soyez ´econome de votre temps. Songez qu’il est inutile de r´ep´eter l’analogue d’un calcul d´ej` a effectu´e
lors d’une question pr´ec´edente.
• Par contre, tout bref commentaire justificatif ou explicatif d’une formule invoqu´ee sera appr´eci´e,
plutˆ ot que d’ass´ener celle-ci brutalement. Montrez que vous en maˆıtrisez les tenants aussi bien que les
aboutissants.
• Enfin, vous pouvez profiter des valeurs des int´egrales suivantes :Z ∞ 3 4x π
dx = ,
xe − 1 150Z ∞ 3 4 4x 7π 7 π
dx = = .
xe + 1 120 8 150
Pr´eliminaires
1. Calculer la densit´e d’´etats ρ(ε) d’une particule de spin z´ero, de masse nulle et d’´energie ε, autrement
dit une particule ultra relativiste (encore autrement dit, une particule pour laquelle la relation entre
´energie et impulsion est ε =|p|c), “libre” dans une boˆıte de volume V.
2. i) Rappeler la d´efinition de l’entropie en physique statistique.
ii) ...

Sujets

• Quark
• Boson de jauge
• Gaz de fermions dégénéré
• Particules indiscernables
• Potentiel chimique
• Enthalpie libre

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Extrait

Paris 7 PH 402 –

PhYŝiQUe SaiŝiQUe EXERCICES Feuille 8 : Statistiques quantiques

1 Miŝ eN eXameN(mai) Onseproposed’e´tablirquelquespre´dictionsdumod`eledugazparfaitconcernantlecomportement despions,desquarksetdesgluons`ahautetempe´rature. Lesquestionspr´eliminaires,ind´ependantes,ontpourbutderetrouverdesr´esultatse´l´ementaires,donc fondamentaux,d´eja`expos´esencoursetn´ecessairespourlasuite.Lesquestionssuivantesdeviennent plus ardues. Les calculs sont toujours simples ; les raisonnements aussi, encore que parfois subtils. Conseils : •u’zqgeonnutiesil´redelitlrete´peSoyconoez´eovrtemedspS.temee’analogued’uncalucdle´`jeaefftc´u lorsd’unequestionpre´c´edente. •cilpxeuofitacfiitlemuorefund’ifatturb,eotnortaPcrejustairmmenefcosereaappniovuqe´r´eci´e, plutˆotqued’asse´nercelle-cibrutalement.Montrezquevousenmaıˆtrisezlestenantsaussibienqueles aboutissants. •iuavtnse:sdesint´egralessfiorpdretavseruelnfiEvon,pousezuv Z ∞ 3 4 x π dx=, x e−1 15 0 Z ∞ 3 4 4 x7π7π dx= =. x e15120 8 + 1 0 PRe´limiNaiReŝ 1.ladeulerCalcate´sttisn’de´ρ(εetd’´enesrgsieenullere,oedamedpsni´ztiarlecud’)epunε, autrement dit une particule ultra relativiste (encore autrement dit, une particule pour laquelle la relation entre e´nergieetimpulsionestε=||c), “libre” dans une boˆıte de volumeV. 2.Ioripe’tnyhiseepntatiquesue.stiqpaR)elepadrlfin´eioitelnd II) Calculer l’entropieS’udemt`ysnstisnitauqitneseulecudesiepedtiariorr(e´esvranoniqueongrandc detempe´ratureTet potentiel chimiqueµ). Exprimer cette entropie en fonction deT,µ(bien suˆr), del’´energiemoyenneE, du nombre moyen de particulesNet du grand potentielJt`ysusde.em III)itetalimodynhermdeiunE´dnalserd,ress’expue,lamiqeoidnJen fonction deT,µ,E,SetN, puis en fonction deµ,Net de l’´energie libreF. IVonsiladeexl’esprleitedel´ffidnereaRpplere)qimanydonE.euengr’le´nuuflei’dimplideshermeent de´duirel’expressiondelapressiondufluidesousformed’uned´erive´epartielledugrandpotentiel,en pre´cisantbienlesvariablesind´ependantesmaintenuesconstantes.Ende´duirel’expressiondugrand potentiel en fonction de la pression et du volume. 3.Pour un gaz parfait de bosons identiques, de spin et de masse nuls, dans un volumeVen,´eprncsee d’unre´servoirdechaleuretdeparticules,dontlatemp´eratureestTet le potentiel chimique nul : I)claCrelue´’liemonergeyennE 0 . II) Montrer que le grand potentielJ 0 roporpts`lennoitaeE 0 . III) Calculer la pressionp 0 . IV)lumeedovtie´ranuippe’enlront,eienfitene’lportclaCrelus 0 . GaZ de iONŝ Lesme´sonsπdensinsperz´uioqsixetnetrtnetsioypes,demassesvoiisenssoboestdon,snsiopuo, + 0− (del’ordrede140MeV),sedistinguantparleurchargee´lectrique:π,πetπ. 4.ecsubitpssnostnonosel’nts,leils’d,peraite´engreiuantit´eciper`aqcedsnoitcae´redsontiear´seipL etd’annihilation,expe´rimentalementav´er´ees,etquitoutesconserventlacharge´electrique.Pourn’en citer que deux : +−+−0 π+π−→2π+ 2π+ 2π , +−+−0 π+π−→3π+ 3π+ 2π ,

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Paris 7, Phy. Stat. 8 : statistiques quantiques.

Iuov-sdu´eezisontindseelcsnoideu,suqleeschimiqequilibr´sedsiolsedzessinaonscouevquceespa`r)’D pour les potentiels chimiquesµ 0 ,µ + etµ − ?reibgazdd’una`snoipeliuqe´’l +− II)ssleelQurbmoomsesneysint´egralesdesnnoltsexerpseisnoN + etN − des pionsπetπdans + ungazdepionsa`l’e´quilibreavecunr´eservoirdechaleur(tempe´ratureT, ouβ), et de particulesπ − etπ(potentiels chimiquesµ + etµ − ) ? IIIE)eitnhcslqimiseuuertnentceseae´nemensairpotetlesriude´dnagnu’uqensioepzdemalobgl µ 0 =µ + =µ − = 0. Danslesconditionsdetemp´eraturequinousint´eressent,onpeutsepermettredene´gliger: •la masse du pion ; •lentsie´ngamored)euqitcutiarsps.leitnorecaeullmstuortees(flectet´e On´etudiedoncdor´enavantungazdepionsglobalementneutrequel’onpourraconsid´erercommeun gaz parfait ultra-relativiste de bosons de trois types. 5.rgnemoiennyeeoMertneuqre´’lE π (T,Vensituationgrand)udagdzpeoisnreriecuqinonac´’stuepe E π =d π E 0 :uo`, •d π est un´eg´RdedReSceN´eTcUeafceeN;lavaleurdonnereztnodsuovipse,snoifiecedqup´,s •E 0 (T ,Vsen)ts(’slaed´neluamssteedpsnis,deiquedentonsisobedtiafrapzagn’uednnyemoiergne lesmeˆmesconditionsdetemp´erature,depotentielchimique,etdevolume). 6.tEbailrl’expressionintrge´delaarguopdnnttelieJ π cieslui-uecererqlea`oinnoptrptoret,ntmoE π . Calculer la pressionp π du gaz de pions, et l’exprimer en fonction de la pressionp 0 (T) du gaz de bosons identiques. 7.Montrer que l’entropie du gaz de pions peut s’exprimer en termes deE π etTdu´eeirnueuqitnemdnE. l’expressiondel’entropieparunit´edevolume,s π inurapeiportne’ldeontincfoen,umeevolt´eds 0 (T) du gaz de bosons identiques. 8.Subtil : Montrer que l’approximation classique de Maxwell-Boltzmann n’est jamais valide pour le gaz de pions. GaZ de feRmiONŝ UlRa-RelaiViŝeŝ Onconsid`eremaintenantungazdefermionsdespin1/mpteteauAh2.´erature,cegazcotneitnne −+ g´ene´raldesparticulesetdesantiparticules,disonsdese´lectronseet des positronse, susceptibles ellesaussideparticipera`desr´eactionsdecre´ationetd’annihilationconservanttoujourslacharge; par exemple : −+−+ e+e−→2e+ 2e .

9.I) Quelle condition doivent satisfaire les potentiels chimiquesµ − etµ + tcorsnteopisrtnoesddes´ele cegaz`al’´equilibre? IItne´noisseedrglatlesssonessiexprelleuQ)sn’domeyrbsensmodeponsetctro´ele,snortisN − etN + , danscegazen´equilibreavecunr´eservoirdechaleur,d’e´lectronsetdepositrons(temp´eratureβ, potentiels chimiquesµ − etµ + respectivement). IIIpourungazdefermino-snaitefmroisneu,ne,trl’`aqu´ebilio,er:ane´dnE)euqeriudµ − =µ + = 0. 10.egtcanavenr´dogeasivne’nnOte.iviselattrarsalulscedenazauq Igrnedcanemgienoy´’lrrenelaC)elucnanoqieuE f (T ,V) du gaz neutre de fermions. II´etteceupeigrene)rqrentMolsfaseuoroemncoreuteettresemE f =d f f E 0 `u,o: •ftcaf`ruee´damreteunsteisnpuaqrmteinceudltefsuiaqteiun’elrnqouaiaparfforvii`eendtau ob´eissanta`lastatistiquedeFermiplutoˆtquecelledeBose-Einstein, •d f edec’eel`esptydesdpeuaonbmeruapsnitener,li´ed´etermiesern´´e`ae,ncceetcafnutge´dedrues particulesconsid´ere´e, •E 0 (T ,Vpee´ce´rede´nemmt.nimrete´dseuqitndesionosebzdgadugreie´ents’le) 11.Comme auparavant, exprimer le grand potentielJ f en fonction deE f isnote,uiedd´enesprlarep f ainsiquel’entropieparunite´devolumes f , en fonction dep 0 ets 0 respectivement. TRaNŝiiON aU laŝma QUaRkŝ-glUONŝ Onsedemandemaintenantcequelemode`ledugazparfaitpeutdired’ungazdequarksetdegluons ultra-relativistesobtenusa`partird’ungazdepionsglobalementneutre.