1ère épreuve de mathématiques 2001 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

2001-2002 _________

Concours d'Entrée _______________

- I - Soit la matrice carrée d’ordre 3 1−2−2  1  M= ×−2 1−2 .  3 −2−2 1   3 On note fl’application linéaire associée à la matrice M dans la base canonique de l’espace euclidien R . La 3 notation <u,v> désigne le produit scalaire standard des éléments u et v de. R a- Déterminerles valeurs propres et vecteurs propres de la matrice M. b- Soit e  unvecteur propre de norme euclidienne 1 associé à la valeur propre –1 . Montrer que tout élément 3 u de R peut se décomposer d’une manière unique sous la forme : u= λ(u)e+u ' avec <u',e> = 0 . Donner les expressions de λ(e) puis deλ(v) pour v orthogonal à e. 3 c- Onnote E l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 E={u∈R /<u, f (u)>=0} . (i) Montrerque u∈E siet seulement si λ(u)=.u ' (ii) Soitu et v deux éléments de E . Déduire de (i) que u+v est élément de E si et seulement si u et v sont liés. (On pourra utiliser l’inégalité de Scharwz). 3 (iii) Donnerles sous espaces vectoriels de Rinclus dans E. 3 d - SoitF l’ensemble des éléments de Rdéfini par : 3 F={u∈R /<u, f (u)>≤0} . (i) Montrerque u∈et seulement siF si λ(u)≥u '. (ii) Soit u et v deux éléments de F linéairement indépendants. Montrer que l’élément λ(v)u− λ(u)v n’appartient pas à F. 3 En déduire les sous espaces vectoriels de Rinclus dans F. + + (iii) Onnote E(respectivement F) les éléments u de E (respectivement de F) tels que<u, e>≥0 . +3+  Montrerque F={v∈R /∀u∈E<v, u>≥0} .

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- II -

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On note E l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R On définit l’application T qui à une fonction f de E associe la fonction (notée T(f)) définie sur le segment [0,1] par la relation : x T(f )(x)=.f (t)dt ∫  0 On définit de même l’application S qui à une fonction f de E associe la fonction (notée S(f)) définie sur le segment [0,1] par la relation : x x−t S(f )(x)=(t)dt .e f ∫  0 a- Montrerque les applications T et S sont des applications de E dans E. b- Onnote S  TT et  S lesapplications composées de S et T. Montrer que, pour f élément de E, la fonctionS  TT(f) est égale à S(f)-T(f) et que la dérivée de  S(f) est égale à S(f). En déduire les égalitésS  T=T  S=S−T c- SoitI (f→f ) l’application identique de E dans E. Déduire de b- que les applications I-T et I+S sont des bijections de E dans E réciproques l’une de l’autre pour la composition des applications. En déduire la fonction f de E solution de l’équation : x  f(x) f(t)dt xI (x)(1 x) I(x) (I (x)=1si x∈A , 0 sinon ). − =× [ 0,0.5 [ ×+ − [0.5,1] A ∫  0 L’objet des questions d et e est de proposer une interprétation de l’application S. ième d- Ondésigne par T n le nitéré de l’application T : (f T 2 )=. , TT(T(f )); etc))=T (T(f)) 3 (f )=T(T 2 (f 2 . .... On pose T 0 =I ; T 1 =T.  x Montrer queT (f)(x)=(x−t)f (t)dt . ∫ 2  0 Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 2 on a : n−1 x (x−t) T n (f )(x)=f (t)dt . ∫  0 (n−1)! Indication :on pourra montrer , via un raisonnement par récurrence, que les fonctionsT (f)(x) et n n−1 (x−t) x f (t)dt ont même dérivées. ∫  0 (n−1)! k n x x e e- Montrerque pour tout x de [0,1] et pour tout entier n on a :e−≤ . ∑ k=0 (nk !+1)! T (f) estconvergente et a pour limite Déduire quetout x de [0,1]la série de terme général { n (x) ,n≥1} n e 1 S(f)(x). (On pourra montrer l’inégalitéS(f )(x)−)(x)T (f≤ ×dt ).f (t) ∑ ∫ 0 h h = 1 n!

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- III -

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N* désigne l’ensemble des entiers strictement positifs. Le symbole [ ] désigne la partie entière. On dira qu’un entier a est CE si a est le carré d’un entier et que a est NCE sinon. Soit u la fonction de N* dans N* définie par :  u(a)=asi a est CE.  u(a)=a+  a   si a est NCE.   ième On note u n itéré de la fonctionle n u  défini par : u 2 (a)=uu(u(a)) ; 3 (a)=u(u (a))=; etc..u (u(a)). 2 2 On se propose de montrer que pour a entier strictement positif la suiten→est stationnaire à partir d’unu (a) n certain rang. a- Concluresur la stationnarité de la suite si a est CE. b- Onsuppose que a est NCE. (i) Calculerles suites u n (2) ; u n (3) ; u n (11) ; u n (17) . 2 (ii) Onnote p l’entier  a   et on écrit a sous la formea=p+h .   Calculer u(a) en fonction de p et de h. (iii) Sih est égal à p+1 montrer queu(a) est CE. Conclure. (iv) Onsuppose que h est strictement inférieur à p+1. 2 Montrer quu (a)(p 1)h 1.e u(a) est CE.Conclure. e 2 = ++ −En déduire qu 2h (v) Onsuppose que h est strictement supérieur à p+1. 2 Montrer queu(a) peut s'écrire (p+1)+k avec 0<k<p. En déduire queu (a)est CE.Conclure. 2k+1 c- Onnoteλ(a) la limite de la suite u n (a). (i) Montrerque l’applicationa→ λ(a) de N* dans l’ensemble des carrés d’entiers est surjective. 2 A={a∈N * /λ(a)=eq } (ii) Onnote q t m q le plus petit entier de A q . Calculer m 1 , m 2 , m 3 .  2  q+1   q  Montrer que m q est égal à+.    2 2    ---

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