2ème épreuve de mathématiques Option A 1998 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 1998. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 1998 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1998
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français

Extrait

1°- On pose p=n−k+1 et on notetle PGCD depetk, etsle quotient entier dekpart. Montrer que :

I. S. F. A. _________

Concours d'Entrée _______________

Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. E XERCICE 1 (A LGEBRE ) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers ( n,k ) satisfaisant :

k k−1 (1) C=C pour n≥k≥1 . n n+1

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

1998

1998-1999 _________

E XERCICE 2 (S ERIES DE F OURIER ET INTEGRATION ) 2π 1 1°- Soitf unefonction à valeurs réelles définie et de classe C sur[0,2π]que telle f ( t )dt=0 . En utilisant le ∫ 0 développement en série de Fourier des prolongéesà3 , 2 périodique, des fonctionsf etf’ montrerl’inégalité de Wirtinger : 2π2π ' 22 f (s )ds ≥ f ( s ) ds . ∫ ∫ 0 0 Que peut-on dire pourf lorsqu’il y a égalité ?

2°- Soit ( s,t ) un couple d’entiers naturels satisfaisant 2 (2) t+1=s(s+t)  ,t>1s>1 ,.  v    1−1   t  Montrer que le couple ( u ,v ) défini par = vérifie aussi :     u−s1 2     2 v+1=u(v+u) 0<v<t .0<u<s et 3°- En déduire que si(s,t) est un couple d’entiers naturels strictement positifs satisfaisant (2), il existe un entier naturel mtel que : m  t   2 1   1  = .     s 11 1     4°- Déterminer alors l’ensemble des couples ( n, k ) solutions de (1).

2 2 p=t et t+1=s( t+s )

2°- Soit Γ les points d’un arc simple (c’est-à-dire sans 2 point double) fermé de classe C , de longueur 2 π , entourant un domaineV d'unplan affine euclidienP. On choisitA etB deuxpoints distincts de Γ sorte de j G queABpasse par le centre d'inertie G de Γ . On note0   un point du segment [AB] et , j )( 0,i repère un O  →  i orthonormé direct avec j  colinéaireà B  .Enfin on ( Γ ) note γ : [ 0,2 π ] → Γ la paramétrisation de Γ par l’arc longueur orienté positivement ; et parf etg les   composantes dedans le repère ( 0,i, j ) . 2 → π Du fait que B passe parGon a f ( s )ds = 0 . (On ne demande pas de justifier cette égalité : c’est elle qui motive le ∫ 0 choix du repère). On noteA ( V ) l’aire deVet  g ( Γ ) la longueur de Γ (donc  g ( Γ ) =2 π ) justifier les égalités : 2π A(V )=f ( s )g' ( s )ds ∫ 0 2π2π 2 22 g ( Γ ) − 2 A ( V ) = ( f ′ ( s ) − f ( s ) ) ds + ( f( s ) − g' ( s ))ds . ∫ ∫ 0 0 2 En déduire que  g ( Γ ) ≥ 4 π × A ( V ) . Montrer que cette inégalité reste vraie même si  g ( Γ ) est quelconque. Que peut-on dire en cas d’égalité ? E XERCICE 3 (C ALCUL DIFFERENTIEL ) n On rappelle qu’une partieCdeest dite convexe si pour tout couple( x, y )de points deCet tout λ∈ [0,1]le point λ x+ ( 1− λ ) yappartient encore àC. Une applicationf deCdans3est dite convexe si pour tout( x, y, λ )on a l’inégalité :définis précédemment f ( λ x+ ( 1− λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + ( 1− λ ) f ( y ) . L’opposé–f d’une fonction convexefest dite concave. p  −1 1°- Montrer que sif est une application convexe deCdans3etg une application linéaire de  dans  ,g (C ) p −1 est une partie convexe de  etfog une application convexe deg (C )dans3. n Montrer que sifest une application convexe surUun ouvert convexe deet sifest différentiable surU, l’on a, pour tout couple( x, y )de points deU: < ∇f ( x ) , y−x>≤ f ( y ) −f ( x ) , n où∇f ( x )  désignele vecteur gradient def enx et<,> leproduit scalaire usuel de  (Considérer .fle segment sur S= { x+t ( y−x )  t∈[ 0,1] } ) . [ x,y ] Dans ce cas que peut-on dire def ( x)six 0 est un point critique def surU(c’est-à-dire satisfaisant∇f ( x)=0) ? 0 0 1998

2°- Poura constante strictement positive on définit :  12 1 u (x ,x ) −= −  21 1 a a+ x 1 1  a+(x−x ) 2 1  2  .  2 11  u (x ,x )−= − 2 12  a a+1− x 1 2 a+(x−x )  2 1  2

En appliquant la question 1, montrer que u  et u des fonctions concaves sur l’ensemble sont 1 2 2 {( xx , ) ∈ x > x − 2a ;x > − a ; x < 1 + a } . 1 22 11 2 3°-Justifier l’existence du maximum de la fonction s( x, x) = u (x ,x ) + x )x ,u (  surl’ensemble 1 21 1 22 12  1  2 D = ( x, x) ∈ x ∈ [ ,1]; x ∈ [ 0, x ] . Déterminer le point ( x, x) où ce maximum est atteint.  22 11 2  1 2 2   1 4°- La constante a  est maintenant strictement comprise entre 0 et ( 2 + 1 ) . 2 1 Pour chaque x ∈ [ ,1] déterminer le maximum de la fonction fixé, x ,u (x )  etle point x ∈ [ 0, x]  oùil est 2 11 21 2 2 obtenu. On détermine ainsi une fonction x = ϕ ( x) . 1 12 1 De même déterminer pour chaque x ∈ ][ 0, de la fonction le maximum x )x ,u ( et le point x ∈ [ x,1] où il 1 21 22 1 2 est obtenu. On détermine ainsi une fonction x = ϕ ( x) . 2 21 5°- Représenter sur un même dessin dans le cas où a=1  les graphes des fonctions ϕ et ϕ . 1 2 ∗ ∗ Déterminer les coordonnées )( x, x du point intersection de ces deux graphes lorsque a est strictement compris entre 1 2 1 0 et ( 1 + 2 ) . 2 6°-Application :Monsieur Gelati est marchand ambulant de produits de confiserie. Pendant la période des vacances il a l’habitude d’aller s’installer au beau milieu de la promenade qui longe la plage de Mondello. Celle-ci d’une longueur d’environ 1 km attire de nombreux estivants et le commerce est d’un bon rapport. Malheureusement pour Monsieur Gelati cette année arrive un concurrent Monsieur Zizani. Pendant une semaine tous les matins c’est la course pour occuper la position centrale et le second arrivant se trouve réduit à poser son stand à un endroit moins propice. Lassés de cette guerre qui les conduit à se lever de plus en plus tôt, les deux commerçants se rencontrent pour décider une fois pour toute de leur emplacement. Quel accord doivent-ilspasser entre eux pour que celui-ci ait des chances d’être respecté ? En supposant que x  désignela position de Monsieur Zizani, x  cellede Monsieur Gelati, en imaginant que 2 1 u (x ,x ) mesure le profit quotidien de Monsieur Gelati (en fonction des positions respectives des deux concurrents) 1 1 2 et x )u (x ,  leprofit quotidien de Monsieur Zizani, expliquer (brièvement) pourquoi , x)( x la position à est 2 1 21 2 ∗ ∗ choisir si les 2 commerçants font caisse commune, et pourquoi ), x( x la position à choisir s’ils veulent rester est 1 2 indépendants et adopter la règle : personne n’a intérêt à bouger tant que l’autre ne bouge pas.

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