2ème épreuve de mathématiques Option A 2002 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2002. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

2002-2003 _________

Concours d'Entrée _______________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 2 1  Soit : (x,y)→F(x,y) une application de  dans  classe deC àsupport compact : c’est-à-dire il existe 2 un compactKdetel que si (x,y) n’appartient pas àK: F(x,y)=0 . 2  Soitla fonction (F) de  dans  définie par : 1∂F∂F (F)(x,y)=(x,y)+i(x,y) .   2∂x∂y   1°) Pour (x,y)≠(0, 0)  onpasse en coordonnées polaires en posant x=cosθ , y=sinθ  et G( ,θ)=F( cosθ, sinθ) . Exprimer (F)(x,y) en coordonnées polaires c’est-à-dire en fonction de, θ , ∂G ∂G ( ,θ) et ( ,θ) . ∂ρ ∂θ 2 2 2°) Onnote (x,y)=x+yla norme euclidienne du vecteur (x,y) et pourε >0 1 ( ε ) = L(F)(x,y)dx dy. ∫∫ (x,y)>ε x + iy  Calculerlim (ε) . + ε→0 PROBLEME  SoitUun ouvert deetfune application deUdans; on dit quefest analytique surUsi pour tout point +∞ n deUexiste une série entière ila Z derayon de convergenceRpositif tel que pour tout strictementz deU ∑ 0n n=0 +∞ n satisfaisant−z<Ron aitf(z)=a(z−z) . ∑ 0n0 n=0 1°) Montrerque si f est analytique sur U : f est indéfiniment dérivable en z sur U . +∞ n Exprimeraen fonction def(ce qui prouve l’unicité de la sérieet dea Zest connu).dès que ∑ n0n0 n=0 +∞ n a(z−z) s’appellele développement def.centré sur ∑ n0 0 n=0 1 2°) Montrerque la fonctionz→est analytique surU=\ 0 . +∞ +∞ n n 3°) Onse donne une série entière de rayonR≠0 :a Z; pour<Rpose ( onz)=a z. Montrer ∑∑ n n n=0n=0 que la fonctiongest analytique sur le disque ouvert de centre 0 et de rayonREn déduire pour . < R la 0 +∞ (n) g(0) (k)n−k relation :g(z)=z (pourk∈). ∑ 0 0 (n−k)! n=k 2002

 2 4°) Soitfune fonction analytique surUouvert connexe non vide de. (On rappelle queUest un ouvert connexe de, s’il est impossible de partitionnerUen deux ouverts non vides disjoints de). 4.1. On noteVdes l’ensemblezdeUoùfa un développement centré enznul, c’est-à-dire identiquement

ayant tous ses coefficients nuls. Montrer queV etU\V (lecomplémentaire de VdansU) sont deux ouverts deU(éventuellement vides). 4.2. On suppose qu’il existe ∈ Utel que(z) = Max locf(z) c’est-à-direqu’il exister>0 tel que : 0 0 z∈U −z<rimplique (z)≤f(z) . 0 0 4.2.1. Montreren utilisant 4.1. que sif(z) = 0 ,fest identiquement nulle surU. 0 4.2.2. Montrer que si(zdifférent de 0 et que pour tout) estkentier supérieur ou égal à 1, , 0 (k) f(z)=0 ,fest constante surU. 0 (k) 4.2.3. Sif(z)≠s’il existe un entier0 etksupérieur ou égal à 1 satisfaisantf(z)≠0 onnoteele 0 0 plus petit entier supérieur ou égal à 1 réalisant cette propriété. Justifier pourzvoisin de 0 a en n−e l’écriture (z)=a+a(z−z)g(z) avecg(z)=1+(z−z) . ∑ 0e0 0 a e n>e iθiθ i θ 0e En posant a=a ea=a e et =z+e justifier, pour z l’écriture :voisin de 0 0e e 0 0 1 iθe i(eθ+θ −θ) 0e0 (z)=e a+aρe(1−U(z)) avecU(z)<. ( 0e ) 2 En choisissant θ = θ pour avoire− θθ + θ=montrer que les0 ,zvoisins de suffisamment e0 0 iθ de la forme=z+ ρevérifient (z)>f(z) . 0 0 En déduire que dans tous les casfest constante surU. 4.3. Soit Ω  un ouvert connexe borné de  , d’adhérencenotée Ω etf: Ω → une fonction continue sur Ω, analytique surΩ montrersurque le maximum deΩ estsurégal au maximum de

l’intersection de Ω et du complémentaire de Ω , c’est-à-dire avec des notations usuelles : Max (z)=Maxf(z) . z∈Ωz∈Ω\Ω iz−iz e − e 2 ch2y − cos 2x 4.4. Pour =x+iy on note (usuellement)sinz = , justifiersinz = . 2i2 sh(v) sin(u) 2 Pour tout (u,v) demontrer que l’on a toujours :≥1≥. v u Calculer le maximum de la fonction→sinz surle disque unité fermé,puis sur le triangle fermé de

sommets (π, 0) , (0,π) , (−π, 0) . En quels points ces maximums sont-ils atteints ? ---

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