2ème épreuve de mathématiques Option B 1999 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 1999. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

1999-2000 _________

Concours d'Entrée _______________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B - I - Soit℘un ensemble de N individus noté I 1 ,..,I N . On s'intéresse au caractère "fumeur" ou "non-fumeur" de chaque individu et, pour les individus fumeurs, à la consommation moyenne mensuelle calculée en nombre de cigarettes. Pour l'individu I i on note c i sa consommation en convenant de noter c i =0 si I i est non-fumeur. On noteθ laproportion d'individus fumeurs dans℘m la moyenne des consommations calculée dans et c ∑ i i=1,.., N l'ensemble des individus fumeurs de℘( m=) × θ 1°) Onprélève dans℘un individu avec équiprobabilité. On note C la variable aléatoire égale à sa consommation. Calculer en fonction de N,θet m la probabilité de l'événement C=0 et l'espérance de la variable C. 2°) Onprélève dans℘un échantillon de n individus de telle façon qu'un individu ne puisse figurer plus d'une fois dans l'échantillon. Pour i∈[1,2,..,N] on note E i l'événement "I i appartient à l'échantillon". I désignela variable de Bernoulli égale à 1 si E i E i est réalisé et égale à 0 sinon. a -Que vautI ?Si on suppose que toutes les probabilités Pr(E i ) sont égales, déduire la valeur ∑ i E i = 1,.., N commune à ces probabilités. Montrer également que, si on suppose aussi que les événementsE∩tous équiprobables on a, pour iE sont i j n(n−1) différent de j,Pr(E∩E )= i j N(N−1) b -Montrer que le modèle de tirage avec équiprobabilité des combinaisons de n objets pris dans N satisfait aux deux conditions définies ci-dessus. 3°) SoitM la variable aléatoire égale au nombre d'individus fumeurs de l'échantillon des n individus. Montrer que M peut s'écrireI×I .En déduire l'espérance et la variance de M. ∑ i > i c 0E i = 1,.., N 4°) SoitT la variable aléatoirec×I ∑ i i E i=1,.., N Donner l'espérance de T . En déduire une variable aléatoire d'espérance m. 5°) SoitZ la variable aléatoire définie par :  Z=0 si M=0  c×I  ∑ i i E i = 1,.., N  Z=   M a -Interpréter la variable Z. 1999

 2 b -Sachant l'événement M=k(k>0) donner la probabilité Pr(E i /M=k) pour un individu I i fumeur. En déduire l'espérance de Z conditionnée par l'événement M=k. On note Esp(Z/M=k) cette espérance. ∑ c -Montrer la relation :Esp(Z)=Esp(Z / M=k)×Pr(M=k) . En déduire une expression de la différence k≥0 Esp(Z)-m. Pour obtenir des informations sur le réel m quels sont les avantages d'utiliser T ou d'utiliser Z ? - II - Un mécanisme est composé de deux éléments notés e 1  ete 2 . Durant son fonctionnement le mécanisme est susceptible d'être perturber par des incidents pouvant affecter un les deux éléments. On note : N lenombre aléatoire d'incidents survenant au cours de la période [a,b[ (0<=a<b) ab 1 N lenombre aléatoire de fois où l'élément e 1 est affecté au cours de la période [a,b[ ab 2 N lenombre aléatoire de fois où l'élément e 2 est affecté au cours de la période [a,b[ ab Les hypothèses de stationnarité du phénomène générant les incidents, de non influence des incidents "passés" sur les incidents "futurs" et de non-réalisation simultanée de deux incidents sont modélisées par les conditions suivantes: (i) Pourtout couple(a,b) (a<b)et pour tout réel t positif les variablesN etNont même loi. ab a+t, b+t (ii) Pourtous couples (a,b) et (c,d) tels que les intervalles [a,b[ et [c,d[ soient disjoints les variablesN ab etNsont indépendantes. cd (iii) Lalimite quand t tend vers 0 par valeurs supérieures de la probabilité conditionnelle de l'événement " N=1" sachant " N>0 " est égale à 1. 0t 0t (iv) Onsuppose de plus que, pour tout couple(a,b) (a<b)la probabilitéPr(N=0) eststrictement ab positive. II-A P RELIMINAIRES Pour X variable aléatoire à valeurs entières positives on associe la fonction g définie par : X k ∑  s→g(s)=Esp(s )=Pr(X=k)×s k≥0 1°) Montrerque la fonction g existe pour s∈[0,1]. Que vaut g(0)? k λ −λ 2°) Calculerla fonction g pour X de loi de Poisson :Pr(X=k)=e ,k≥0 ,λ >0 ! + + 3°) Soit{ tX ,∈tg (s),R }un ensemble de variables aléatoires à valeurs entières positives et {∈R }les t t fonctions g associées. On suppose que, pour tout k de N,lim Pr(X=k) existe.On note p k cette limite. t t→0 k Montrer que, pour s∈g (s)[0,1] lim=p s. t ∑ k t→0 k≥0 h k (Indication : On pourra montrer que, pour s<1 la somme Pr( X = h )s est majorée par 1s /( − s ) et peut donc ∑ t h≥k être rendue inférieure àε, indépendamment de t, à condition de prendre k "assez grand").

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 3 II-B N 0t On noteϕ(s,t) la fonction g associée à la variableN :ϕ) .(s,t)= Esp(s 0t 1°) Montrerque la fonction t→ϕ(s,t) est croissante et vérifie la propriété: Pour t et t' réels positifsϕ(s, t+t' )= ϕ(s, t)ϕ(s, t' )(Utiliser (i) et (ii)). En déduire queϕ(s,t) peut s'écrire sous tf (s) la formee avecf(0)≠0. (Indication: On utilisera sans démonstration la propriété caractéristique suivante: "Toute application monotone de R dans R telle que, pour tout couple (x,y), h(x+y)=h(x)+h(y) est de la forme : x→h(x)=cx" ) 2°) Montrerque l'on peut écrire : (s, t)−(0, t)f (s)−f (0) + ε= −lim(t) avecε(t)=0 1 (0,t − ϕ) f(0) t→0 (s, t)−(0, t) k 3°) Interpréterà l'aide de la fonctionPr(N=k / N>0)s . ∑ 0t 0t 1− ϕ(0, t) k≥1 f (s) λt(s−1) En déduire 1− =puis ques ,ϕe où(s,t) peut s'écrireλest un réel positif. f (0) Donner alors la loi des variablesN etplus généralement des variablesN 0t ab II-C On noteT lavariable aléatoire "instant du premier incident et d'une manière générale T n la variable aléatoire 1 iéme "instant du nincident. 1°) Exprimerl'événement T≥t àl'aide de la variable aléatoireT .En déduire la loi de la variableN . 1 0,t 1 2°) Exprimerl'événement T<t≤T àl'aide de la variable aléatoireN .En déduire par récurrence que la n n+ t1 0, loi de la variableT admetpour densité la fonction : n+1 n u n+1−λu  u→f (u)= λe I(u) n+1+ R ! II-D Lors de la survenance d'un incident on note p i (i=1,2) la probabilité pour que, l'élément e i seul soit affecté. On note aussi q (égal à 1-p 1 -p 2 ) la probabilité pour que les deux éléments soient simultanément affectés. 1 1°) Exprimeren fonction de p 1 ,p 2 et q la probabilité conditionnellePr(N=k / N=n) ab ab 1 2 En déduire la loi deN .Donner également la loi deN . ab ab 1 212 2°) Onnote V, Vet Vles nombres d'incidents affectant respectivement l'élément e 1 seul, l'élément e 2 seul ab abab et simultanément les éléments e 1 et e 2 pendant l'intervalle [a,b[. Montrer la relation: h+k+l 1 212 (ba) λ −λ −h k l  Pr(V=h∩V=k∩V=l)=p q .e p ab ab ab 1 2 ! !l! 1 212 En déduire l'indépendance des variablesV ,V etV .Donner les lois de ces variables. ab abab 1 2 Déduire la covariance du couple ( N, N). ab ab

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