2ème épreuve de mathématiques Option B 2002 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 2002. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait



 

     L

υ 1j  

dans lequel υ ij désigne le nombre de contrats de laclassejprévoyant le versement ducapitali. On noteυ j

a = υ ij  i=1

 



L 

L 

convenable deuros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,,a Les assurés sont dautre part rangés dans .b classes dâge : ceux de la classejont la probabilité annuelle de décèsp j avecp j < (1 2j=1,2,,b).  On suppose de plus quau sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles

La répartition desυcontrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant

j

(v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes.

1

Classes



υ 21 



υ a1  υ 1 

υ ib  

υ ab  b 

L

υ 11 

On considère la v.a.r. N ij nombre annuel de décès parmi les υ ij assurés de la cellule (i,j), puisN j



On pose q j =1−p j (j=1,,b) .

b avec ∑ υ j = υ. j=1

aj  υ j 

b nombre total de décèsNdans le portefeuille :N= ∑ N j . j=1

N ij et le

a = i=1

M a

M i

Le portefeuille dun assureur est constitué deυ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple

Total

υ 1b  

υ ij  

Capitaux 1

b





 

υ

contrat en cas de décès de lassuré pendant la période de garantie, que lon prendra égale à une année dans ce problème.

En contrepartie de la garantie offerte, lassuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à lassureur.

PRELIMINAIRES

Un contrat dassurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.

Concours d'Entrée _______________

2002-2003 _________ 

I. S. F. A. _________ 

Total

 



OPTION B

 

2002

a b cellule (i,j), avecS j = ∑ S ij et S= ∑ S j , le montant cumulé pour le portefeuille. i=1j=1

On pourra noter queg M (0)=P(M=0) .

On admettra que les dérivées successives de peuvent être obtenues en dérivant sous le signeΣles termes



Soit S ij la v.a.r. montant cumulé des capitaux versés par lassureur au cours de lannée au titre des contrats de la

) = ∑ P(M=m)u m , série m≥0

M (u)=E(u

La fonction génératrice (f.g.) dune v.a.r.M définie par est

convergente pouru≤ ρ est un réel, où≥1.

b) En déduire la plus grande valeur entière majorantN avec une probabilité au plus égale à 1 %. Comment





II.

Total

5

v.a.r.N(on se limitera à 4 décimales).

avec probabilités de décès :p 1 =0.01 ;p 2 =0.05 ;p 3 =0.10 . a) En utilisant sa loi approchée, donner les tables des probabilités simplesP(N=n) puis cumuléesP(N≤n) de la

4

2

10

7

15



interpréter cette valeur ?

5

Capitaux

Classes

30

1



10



portefeuille (académique) deυ=30 contrats, à 2 capitaux et 3 classes dâge, suivant :

1

1

3

2

 Déterminer le rapport P( M= = m − ) 1 m ) ≥1 ) . En déduire une procédure récursive permettant P( M m dobtenir toutes les probabilitésP(M=m) à partir deP(M=0). Rappeler lexpression deP(M=0) en fonction de

3

paramètres. Quelle serait alors la loi approchée deN?

4. On considère une v.a.r.Mdistribuée selon une loi de Poisson de paramètreλ.

λ.

Pour des raisons évidentes de temps de calcul, les applications numériques seront limitées, dans ce problème, au

Total

5.

I.

1. Préciser le domaine de variation deN.



de la série.

3. Dans quelles conditions pourrait-on approcher les lois des N j  par des lois de Poisson dont on précisera les

N j , puis celles deN.

2. Expliciter les paramètres des lois binomiales suivies par N ij et N j . En déduire lespérance et la variance de



2002





2





1. a) Préciser le domaine de variation deS.

b) DéterminerP(S=0) puis lespérancem=E(S) et la varianceσ 2 =V(S) deS.

c) Soitµ 3 (X)=E   (  X−E(X) ) 3    le moment centré dordre 3 dune v.a.r.X. Montrer que siYetZsont des v.a.r. indépendantes, on a 3 (Y+Z)= µ 3 (Y) +µ 3 (Z) . oefficient dasyγ 1 = µ 3 (S ed ) S. d) En déduire lexpression deµ 3 (S métrie) puis du c σ 3

2. La suite de ce paragrapheII.conduit à la formule récursive de De Pril (1983) donnant la loi (exacte) deS.

a) Déterminer la f.g. dune v.a.r. distribuée selon une loi binomialeB(α, p) .

b) Exprimer S ij en fonction de N ij . En déduire la f.g. de S ij puis celle de S j .



a b Montrer que la f.g. S deSsécrit g S (u)= ∏ ∏ p j u i +q j i=1j=1

3. On pose, pour 1≤i≤aetk≥1A(i,k)=(−1) k+1 i j ∑ b =1 υ ij     p q j j     k .

υ ij .

a) Par la dérivée logarithmique de S , montrer queg ′ S (u)=g S (u) ∑ a ∑ A(i,k)u ki−1 ,u<1 i=1k≥1

3

b) En dérivant (s-1) fois (s≥1) cette égalité à laide de la formule de Leibniz 1 , puis en prenantu=0, montrer

min(a,s) [ s i légalité, pours≥1,×P(S=s)= ∑ ∑ A(i,k)P(S=s−ki) où [ désigne la partie entière dex. i=1k=1

4. Application numérique (portefeuilleI.5.).

a) A partir des coefficientsA(i,k) donnés ci-dessous 



k

1

2

3

4

5

6

7



1

1,279106

- 0,131869

0,014156

- 0,001547

0,000171

- 0 000019  ,

0,000002



 i

2

1,928761

- 0,163054

0,015767

- 0,001637 

0,000175

- 0,000019 

0,000002



 n 1 Formule de Leibniz ou la dérivéen ième dun produituvde fonctions : (uv) (n) = ∑ C n α u (α) v (n−α) . α=0 2002

0,00015

0,00005

6

5

0,00303

0,00718

0 ,00043

0,00119

0,05820

0,00001

0,01574

0,03161

0,99993

0,99979

0,99999

0,99998

0,98796

0,99514

0,99817

0,99935





0,94061

0,97222













P(S ≤s)









P(S=s)



4

3

2

1

0

s

Compléter la table des probabilités simples et cumulés deSci-après :



2002

4



b) En particularisant les résultats deII.1., donner les caractéristiquesm,σet 1

de ce portefeuille.

v.a.r.Ssont respectivement données par

+ 2 1 −m  σ   

c) Les approximations Normale etNP (pour Normal Power)(avec correction de continuité) de la loi de la





14





 P (n) (S≤s)Φ  



P (np) (S≤s)   −  Φ   γ 3 1 + γ 9 2 +1+ γ 6     s+ 1 2 − σ m          . 1 1

9

10

7

8

12

13

11

15

14

13

16

15

10

9

12

11

6

5

8

7

2

1

4

3

0,99962

0,99901





0,99999

0,99998

0,99995

0,99986



dannée.

III.En revenant au cas général, on analyse en début dannée le résultat financier (aléatoire) de lassureur en fin

1

17







≤s) 

0,10881

P (np) (S

0,26837

0,46275

0,64474

0,78607

0,97031

0,98639

0,99406

0,99752

de fin dannée.



On noteπle total des primes perçues par lassureur au titre desυcontrats du portefeuille etRla v.a.r. résultat

 On utilisera dans ce paragraphe lapproximationNPde la loi deSdonnée enII.4.c).

a) Interpréter cette contrainte.

fixée.

b) Donner en fonction dem,σet 1 lexpression de la fonction de répartition deR:F(x)=P(R<x). 2. Les choix de lassureur sont dictés par la contrainteP(R<0)≤ εoùεest une (faible) probabilité quil sest

1. a) ExprimerRen fonction deπetS.

(β > compatible avec la contrainte de lassureur ?0) . Quelle est la valeur minimum de

3. La prime demandée à chaque assuré est proportionnelle à son espérance, soit βE ij  la cellule ( dansi,j)

c) Donner la prime totale minimumπ min compatible avec la contrainte. d) Que vaut-elle pour le portefeuilleI.5. siε=0,01 (le quantile dordre 0,99 de la loi NormaleN(0,1)

b) Celle-ci est-elle remplie si la prime demandée à chaque assuré coïncide avec son espérance dindemnisation, soit E ij =E(S ij  la cellule () dansi,j) ?

5

2002

Compléter le tableau de leurs valeurs ci-après.

standard est 2,326).

0,12077

0,24473

0

Que pensez-vous de ces approximations ? s P (n) (S≤s)



0,89041

0,41637



0,99620

0,99918

0,95625

0,98569





0,99986

1





2002

Dans la cadre dun partage de risques avec un « réassureur », lassureur peut souscrire un traité de réassurance

IV.

(dit Stop Loss) de « priorité »L. Par ce traité, le réassureur laisse à la charge de lassureur le montant

 SS≤L S r si =     LS>L 

le complément àSétant, contre paiement dune prime au réassureur, à la charge du réassureur.

1. Donner, en fonction de la loi (exacte) deS, la loi deS r soitP(S r ≤s) puis son espéranceE(S r

) .

2. (Question ouverte). Indiquer comment lassureur pourrait intégrer un tel traité dans sa gestion du risque.

---

6







