2ème épreuve de mathématiques Option B 2005 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 2005. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

2005

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

Durée : 4 heures

Calculatrice autorisée

OPTION B

20052006  _________

Concours d'Entrée _______________

Re´assuranceproportionnelleetnon proportionnelle

Cesujetabordedemanie`retr`essimplifi´eedesquestionsdeprobabilite´sins- pire´esdeproble`mesrencontre´senassurance.N´eanmoins,aucuneconnais- sanceenassurancen’estn´ecessaire,ettouteslesquestionssetraitentavec les outils du programme.

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Notations,de´finitionsetintroduction

Soit (Ω,F, Papecnuse).is´eabilprob MonsieurToulmondeaassur´eseschampscontrelesd´egaˆtscaus´espar ` lessauterellesaupre`sdelacompagnied’assurancesPl`ede´gypt.Acetitre,il apay´euneprimepopru´xee´nee’lnaptfitrapP,eide`lyge´0520t,,ecoenrent s’estengag´eea`remboursertouslesdommagescause´sparlessauterellessur ses champs en 2005. NotonsSlecostd´esˆaeget)dslouene(soruttuˆlato cause´sparlessauterellesdanslechampdeM.Toulmondependantl’anne´e 2005:c’estaussilemontantdesremboursementspay´esparPl`ede´gypta` M. Toulmonde. Comme la valeur deSptsarpe´ivislbaeud´ebutdel’ann´eese’n 2005,onconside`requeSlae´baelera`taioursdvaleansesneturiva R + = [0,+∞[. On supposera dans toute la suite queSnetunsdee´timeadf S 2 surR + , et queE(S)<+∞. Pourassurersaviabilite´,lacompagniePle`de´gyptafixe´laprimepne`au valeurqu’elleespe`replusgrandequelavaleurmoyennedesremboursements: on peut poser p= (1 +ρ a )E(S), ou`ρ a itoslpeel´peapif´rnutset´e.curigrmeceahsee´nedt LacompagniePl`ed´egyptnesouhaitepassupporter`aelleseulelerisque qu’ellecouvreparsoncontratavecM.Toulmonde.Ellefaitdoncappela`une soci´ete´dere´assurance(sorted’assureurdel’assureur),BzzRe,`aquielleva transf´ererunepartiedecerisque.ContrelepaiementparPle`d´egyptd’une sommede´terministep r apeyega`neageR’seBzzrancassuer´ede´te´icosal,ar` Ple`d´egyptunepartieS r ≤ST.uomlnoute´`sMaentseffecmboursemderse.ed Comme pourp´euritegemhcra´scetnedtrinutpelereuiodno,ρ r , tel que

p r = (1 +ρ r )E(S r ).

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Lapartierestanta`lachargedePl`ede´gyptseranote´eS a =S−S r . On notera F a dnoititrape´rednafonctioelS a pouptsˆucole,ruuea’ssaplrtre´,gypted´erPl` etF r celle deS r .urssear´RezzrBeupprotuusrael´tpeecoˆ,l

Enge´n´eral,S r est une fonction deSedicrcstee´el’detul;o’jbteedecetex plusieurscasparticuliers,correspondant`aplusieurs«se´tiart»redencrasuas´e courants. PourPle`d´egypt,lere´sultatfinancierglobalducontratavecM.Toul- monde,etsar´eassurance,pourl’ann´ee2005,s’e´l`evea`

G= (1 +ρ a )E(S)−S+S r −(1 +ρ r )E(S r ),

cere´sultate´tantpositifsiPl`ed´egyptae´t´ebe´ne´ficiairesurcescontrats,et n´egatifsinon. Pourdeuxvariablesal´eatoiresnonpresquesˆurementconstantesetde carre´int´egrable,onrappellelad´efinitionducoefficientdecorr´elationdeX et deYpar Cov (X, Y) corr (X, Y) = p p , Var (X) Var (Y) ou` Cov (X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y) est la covariance deXet deY, et   2 2 Var (X) =E X−(EX)

est la variance deX. LebutdePl`ed´egyptestd’essayerdemaximisersongainesp´ere´touten re´duisantsonrisque.Unefac¸onsimplistederepre´senterlespr´ef´erencesde l’assureurPle`d´egyptestdesupposerqu’ilcherchea`maximiser

E(G)−δVar (G)

ou p E(G)−δVar (G), pouravoirquelquechosed’homog`ene,o`uδ >,0sefit´xe.Lepremierterme p E(Ger,)tnese´rpfitroepeletn,yemoocdneles,−δVar (G) ou−δVar (G), repr´esenteunep´enalite´duea`lavariablite´deceprofit.

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Pre´liminaire

0 1. SoitXetXse’ca`-t-cadeesirtoeal´sa(elbarge´tnie´rrbaelaviredxu 202 dire telles queE(X) etE(Xnpresquesˆuremens)nofitin)steont 0 0 constantes. Pourλ, λ , µ, µmirexerps,el´er

en fonction de

0 0 0 corr (λX+µ, λ X+µ)

Traite´quote-part

0 corr (X, X).

Dansuntrait´eder´eassurancedetypequote-part,lare´partitionducoˆut entrel’assureurPl`ede´gyptetlere´assureurBzzReestproportionnelle.Soit α∈[0,qseu´cdee´peralP`ed´egyptaur´easerusO.ru]1noropprlarideonti suppose donc S r =αS

et S a = (1−α)S. 2. ExprimerF a (x) etF r (x) pour toutx∈Ren fonction def S (Rappelons queF a etF r ontlesfosree´aptrcnitnodsctpeesivioitesnredS a etS r ). 3.De´terminerl’espe´ranceetlavariancedeS a et deS r en fonction de E(S) et Var (S). 4. Calculer corr (S a , S r ). 5.D´eterminerlegainespe´r´edePl`ed´egyptE(G) en fonction deE(S),α, ρ a etρ r . 6.D´eterminerlavarianceVar(Gedcnofnoitgy´eenptePndedl`guiad) αet de VarS. 7. A quelle condition (surE(S(), Var S) etρ r ) la valeur du niveau de r´eassuranceαiuqixampyt`ePlegd´semiurpoE(G)−δVar (G) est-elle nulle?Interpre´tercere´sultat. 8.Lorsquecetteconditionn’estpasv´erifie´e,de´terminerlavaleurduni- veaudere´assuranceαtypmaxiquiopruimes´dgelPe`E(G)−δVar (G). p Dansleresteduproble`me,oncherchera`amaximiserE(G)−δVar (G).

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