Concours Commun post bac S 2000 Concours FESIC

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Concours Commun post bac S 2000. Retrouvez le corrigé Concours Commun post bac S 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 07 mars 2007
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français

Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2000

1. Soitflancfoontiefid´pein:ra

1 1 f(x) =−x+ 1 +. 3|x|+ 1 Detononenseledesbminit´dfieCacseperrbouatnese´r.evit ∗ Vrai Faux On a :D=R. 1 VraiFauxLadroiteΔd’e´quationy=−xtomp`atees+1sytaC. 3 Vrai Faux La courbeCest au-dessus de Δ. 1 1  Vrai Faux Pour toutx >−1, on a :f(x) =−. 2 (x3+ 1)

2. Soitfofalitcn´dnoefiniepar:

1 f(x) =−x. x−1 Vrai Faux La restriction defvretni’l1;0[ella`aeduneb[esttionijec [0 ; 1[ sur−+1 ; ∞[. Vrai Faux La restriction defal`nt’i;1+reavll]e∞[ admet une r´eciproquede´finiesurR;+]1nsdarseualva`te∞[. 1 VraiFauxL’e´quation1+=xadmet une unique solution. x Vrai Faux Pour touta <l’0,nioatqu´ef(x) =aadmet deux solutions distinctes.

3. Soitfioct´endiefinrsulfanoRparf(x) =xsinx,Csa courbe repre´sentativeetΔladroited’e´quationy=x.  Vrai Faux La fonctionfellefi’le´uqve´ir´erentieationdiffy+ycos= 2 x. Vrai Faux La courbeC-scom´tinfinietniopedeoidrlaetunntΔote muns. VraiFauxLadroiteΔesttangente`aCen chacun de leurs points communs.

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4.

 VraiFauxLadroiteΔd’e´quationy=−xnte`asettnaegC.

Soitfcnofnoitfie´dpeinarla

2

f(x(ln) = ln |x|), Dtenoitinfie´ededblemnsnesoCocasvi.entat´esereprurbe ∗ Vrai Faux On aD=R. 1  Vrai Faux Pour toutx∈ D, on a :f(x) = . |x|ln|x| VraiFauxUnee´quationdelatangentea`Cau point d’abscisse e est x−e y= . e VraiFauxPourtousr´eelsaetbe´vafiirtnb > ae, on a :

f(b)−f(a) 1 > . b−ae

5. Pour entier naturel,ncnitno1,onconsid`erelafof n Iur´dfieinse = ]−+1 ; ∞[ par

n f n (x) =xln(1 +x). etonde´signeparC n brrecauosenepe´rdevetitalf n . Vrai Faux Pour toutn1, la courbeC n passe par le point de coor- donn´ees(1;ln2). Vrai Faux Pour toutn1 et pour toutx∈1] , on a[0 ; f n+1 (x) f n (x).  Vrai Faux Pour toutn1, on af(x) = 0. n Pour toutndno,ise´peng1raa n le coefficient directeur de la tangente `aC n au point d’abscisse 1. Vrai Faux La suite (a n est)´mte´goe.eiruq n1

6.Pourtoutre´elmo,auitnoE(elereq’´onncd`si m ) suivante, d’inconnue r´eellex:

2x x e−2e−m= 0.

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7.

3

Vrai Faux L’unique valeur dempour laquellex= 0 est solution de l’´equation(E m ) estm= 0. Vrai Faux Pour toute valeur demuati’´eq,lnoE( m ) admet au moins une solution. Vrai Faux Si−1< m <l,0on(E’´equati m ) a deux solutions positives. Vrai Faux Sim >tauq(noi,0e´’lE m ) a une unique solution.

Onconside`rel’e´quation(E)suivante:

sinx= 3 cos 2x. VraiFauxL’´equation(E)este´quivalentea`l’e´quation

2 (E ) 3 sinx+ sinx−3 = 0. VraiFauxL’e´quation(E)admetquatresolutionsdansR. VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π;π]. VraiFauxL’e´quation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π; 0], 2 2π dont le produit vaut . 9  x −t 8. SoitFtcoidne´nfieiusIr=[0;+lonaf∞[ parF(x) =te dt. 0 (Onnechercherapas`acalculerdirectementF.) Vrai Faux La fonctionFest positive et strictement croissante sur I. 1 Vrai Faux Pour toutt0, on a :tt+ . 4      x 1 5 5 −t−x Vrai Faux On a :td+ e t=−x.+ e 0 4 4 4 5 Vrai Faux Pour toutx∈:I, on a F(x). 4  x ln(2t) 9. Pour, on pose :F(x) = dt. 2 t 1 ln(2x)  Vrai Faux Pour toutx >:0, on a F(x) =−ln 2. 2 x   1 Vrai Faux Pour toutx∈on a; 1 , F(x)<0. 2

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ln(2x) 1 Vrai Faux Pour toutx >0, on a :F(x) =− −+ ln(2) + 1. x x Vrai Faux On a : limF(x) = ln(2) + 1. x→+∞   1 1 2 2 10. On pose : I =tcos (πt) dtet J =tsin (πt) dt. 0 0 Vrai Faux On a : I>0 et J>0. Vrai Faux On a I + J = 1.  1 Vrai Faux On a : I−J =tcos(2πt) dt. 0 1 Vrai Faux On a : I = J = . 2

4

11. Soit (a n ) et (b n erldsmee´eliereuirppsrea´enlfideu)tesrxsui n∈Nn∈N termea 0 = 2, b 0 = 4, respectivement et les relations, pour tout entier natureln, 1 1 a n+1 = (a n + 3b n ) etb n+1 = (3a n +b n ). 4 4 Ond´esigneparA n etB n lespsdelointroeia’ex’dbatne´seissca n etb n respectivement. Vrai Faux La suiteu n =a n +b n est constante. Vrai Faux La suitev n =a n −b n e.ntgeernvoceuqsiertee´nmuotet´iugse Vrai Faux Pour toutn∈N, les segments [A n B n ]o,limeIueieltnmeˆm qui est le point de (Ox) d’abscisse 3. 1 1 Vrai Faux Pour toutn∈N:, on a a n = 3−etb n = 3 + . n n 2 2 1 12. Soit (u n treiemre israon deetempr moe´gee´euedrtqi)suitune n∈N 3 u 1 = 2. Pour tout entiern1, on posev n = ln (u n ). 2 Vrai Faux Pour toutn1, on au n = . n 3 Vrai Faux La suite (v n ,taesthrietm´d,reqieuni)aos−ln(3). n∈N Vrai Faux Pour toutn:1, on a   n  1 u k =u 1 +u 2 +∙ ∙ ∙+u n = 3 1−. n+1 3 k=1

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Vrai Faux Pour toutn1, on a : n  1 1n v k = (v 1 +v 2 +∙ ∙ ∙+v n ) = ln(2)−ln(3). n n2 k=1

iθ 13.Pourtoutr´eelθ∈[0 ; 2π[, on poseZ(θ) = 1 + e . On a :   π π i Vrai FauxZ= e . 3 3 Vrai Faux pour toutθ∈2[0 ; π[,Z(θ) =Z(−θ).   θ θ i Vrai Faux pour toutθ∈[0 ; 2π[,Z(θcos e ) = 2 . 2 2 θ Vrai Faux pour toutθ∈[0 ; 2π[, arg[Z(θ[2)] = π]. 2

14.

Soit(E)l’´equationd’inconnuecomplexe

z:

2 z−4z−5 = 0. Vrai Faux Siz 0 est solution de (E), alorsz 0 est aussi solution. VraiFauxL’´equation(E)admetunesolutionimaginairepure. VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsre´elles. VraiFauxL’e´quation(E)admetexactementdeuxsolutionsdansC.   1 15. Soita∈;)l(Eeteitauqe´’ocni’dnocompnnuelexez: e 2 z−2zln(a) + 1 = 0.

5

Ond´esigneparMetNles points du plan dont les affixes sont les racines de (E). Vrai Faux Les pointsMetNosystnte´muqiresparrapport`al’xaree´le (Ox). Vrai Faux Les pointsMetNistnosrusse´utrclelecentredeceeOt de rayon 1. Vrai Faux Il n’existe aucune valeur deatelle queMetNsoient sym´etriquesparrapporta`l’origine.

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16.

SoitAlepointduplandecoordonn´ees(−1 ; 0). Vrai Faux On a : AM <2.

6

Pournentier naturel non nul, on note (C n ap:rm´etr´eeluarcboepara)  x(t) = sin(t) , y(t) = cos(nt) autrement dit, l’ensemble des pointsM(tee(sno´noodrd)cen(sit),cos(nt)), pourt∈R. Vrai Faux La courbe (C 1 ) est un cercle. 2 Vrai Faux La courbe (C 2 arapolab’´eduaeqitno)ltsey= 1−2x. Vrai Faux Pour toutn1, l’axe (Oytr´eymes(urpoiedexatse)C n ). Vrai Faux Pour toutn1,(C n ) admet au point M(0) une tangente paralle`le`al’axe(Oy).

17. Pourm∈Rt`emelinerelesysvina,ta`e´iaerusniertauq-nocnocn`diso, nuesa, b, c, d:  a+b−c+ 2d= 2   2a+ 4b−6c+ 2d= 0 S m −a+b−3c−9d=−1   a−2b+ 5c+ 13d=m+ 2 Vrai FauxPourm=−,2elystse`emS m admet un unique quadruplet solution. Vrai Faux Pourm=−eemt`yses,l2S −2 e´tinfinienutemdadequa- druplets solution, qui sont de la forme : (7−k; 2k−3 ;k−u`o)1 k∈R. VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonne´es:   x= 7−k y= 2k−3 ou`kde´rctiR, est un plan.  z=k VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonn´ees(x, y, z) telles quex= 7−zest une droite.

18.Dansleplan,onconsid`ereuntriangle(ABC)etonnote: Glebarycentredusyst`eme{(A, 3), (B, 1), (C, 1)};