Concours Commun post bac S 2001 Concours FESIC

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Concours Commun post bac S 2001. Retrouvez le corrigé Concours Commun post bac S 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 07 mars 2007
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2001

Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementl’espace)est −→−→ rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, , ı) = (Oxy) (respective-   −→ −→−→ ment O, ı, k, = (Oxyz) ).

Exercice 1 SoitfcnitalofI=]esurefiniond´− ∞,1] par

f(x) = 2x1−x etCise´penglTranataesr´taenvetind.Ogente`alacourbeeperrbouacsCau point d’abscissex= 0. 2−3x  a)Pour toutx <1, on a :f(x) =. 1−x 4 3 b)Pour toutx∈I, on a :f(x). 9 c)neenTedertcasi´eauqenoitts´enUy= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.

Exercice 2 Soitfetgsdontincfoesl]ru=Ieisse´nfi− ∞,1] par

−x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e−(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. −x e  b)Pour toutx∈I, on a :f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+∞[. d)ree´inuqueunixtseellIαdans I tel quef(α) = 0.

Exercice 3 Soitfnfieiusr´endioctonaflRpar

x f(x) = (−x+ 3)e,

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etC´esereprurbesacovi.etnta a)Pour toutx >0, on a :f(x)−x+ 3. b)n´equatio’detiordaLy=0estabea`alocruyspmotetC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)eltr´etruoPuomnoitauql’´e=e,f(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.

Exercice 4 Soitfinfierapelafonctiond´   2x x f(xe) = ln−1e +, Dtenotiniefid´desleemnbosneCperebruocas.tiveentar´es a)On a :D=R. −x−2x b)Pour toutx∈ D, on a :f(x) = 2x+ ln (1−e +e ). c)La courbeC’de´uqtaalrdioetadnmoeity= 2xcomme asymptote en +∞. d)La courbeCangequetaralntepamdueintenule`lla`eexa’O(x).

Exercice 5 ∗ Soitfsurlfanotcoidne´nfieiRpar   2 f(x) =xsin. x   4 4 a)On a :f= . π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . kπ c)On a : limf(x) = 1. x→0 d)On a :limf(x) = 2. x→+∞ Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,´enditfin,o0)usr ]0,+∞[ la fonction

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lnx f a, b (x) =ax+b+ x et on noteC a, b asocru.entseivatrebe´epr a)Pour tout couple (a, b)= (0,auit´’qetidedaor0),lony=ax+best asymptotea`lacourbeC a, b . b)Pour tout couple (a, b)= (0,lim0), on a :f a, b (x) =b. + x→0 c)Il existe une unique courbeC a, b ssanpalepotparesocedAtnie´nnodro (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeC a, b aptnpelrpassaoordonn´ointBdecees (1,ntgeanetunnBteandala`ele`llarapetionequaed’´roittedaemtt)0y= 2x.

Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etI n inperaefid´  1 n I n += (1x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx∈[0 ;1], on a : 0ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutn∈N∗, on a : 0I n 2 ln 2. c)La suite (I n ) ∗ et.ssnarciodte´es n∈N d)La suite (I n ) ∗ converge vers 0. n∈N

Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etI n iefinrpa´ed  1 n1−x I n =xe dx. 0 a)On a : I 1 = e−1. b)La suite (I n ) ∗ est croissante. n∈N 1 e c)Pour tout entiern >0, on a :I n . n+ 1n+ 1 d)La suite (I n ) ∗ ne tend pas vers 0. n∈N

Exercice 9 SoitFsuiefin´endioacftolnrRpar  x 2 1−t F(x) =te dt. 1

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a)La fonctionFest positive pour toutxpositif.   1 2 1−x b)Pour toutxr:o,ane´leF(xe) =−1. 2 2 1−x c)Pour toutx,oel:nae´rF(x) =xe−1. d)limOn a :F(x) = +∞. x→+∞ Exercice 10 Onconside`relasuite(S n ) ∗ luterreanneittoutpournie,d´efinnon nul, n∈N par n  k1 2n S n = =+ +. . .+. 2 22 2 n nn n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >0, on a :S n = . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a : 0S n . 2 c)limOn a :S n = 0. n→+∞ d)La suite (S n ) ∗ est croissante. n∈N Exercice 11 Soitfdnoitcnofalrsuiefin´eRpar x f(x) =−1−e. 1  a)Pour toutx−1, on a :−f(x)0. e b)noit’´Luaeqf(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαesquni’unnioutolevitage´uqe´’ledoitlanf(x) =xet on conside`relasuite(u n ionder´erlarelate´nfieiap)decnerrucu n+1 =f(u n ) n∈N pour tout entier natureln, et de premier termeu 0 −1. c)Pour tout entier natureln, on a :u n −1. 1 d)Pour tout entier natureln, on a :|u n −α||u 0 −α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe

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2 iπ 3 Z=−e. 1 + i a)On a :|Z|= 1. iπ b)On a :Z=−(1−i)e . 3 iπ c)Ler´eel−esanutmugrdtneeZ. 12 13iπ d)On a :Z= e. 12

Exercice 13  Sizetzxuontnedgien´dseesopn,oesexplomscremb

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  Z=zz+zz .  a)Siz= 2i etz=−1, alorsZ= 4i. iπ3iπ  b)Siz= eetz= e, alorsZ= 0. 4 4  c)Siz=z, alorsZ= 2|z|.  d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθetzest   le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alors   Z= 2rrcos (θ−θ).

Exercice 14 Soitαetrappalee´rnualletervl’innant0[, π] et (E α coinuenntiuad’on´’qel) complexez

2 z+ 2(sinα)z+ 1 = 0(E α ) a)Pour toutα∈[0, π(nE,]’le´uqtaoi α ) admet deux racines complexes conjugue´esdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα∈[0, π] pour laquelle i est solution de (E α ). c)Pour toutα∈[0, π´’qeauitnoE(],l α ) a pour solutions :

z 1 = sinα−i cosαetz 2 = sinα+ i cosα. d)Pour toutα∈[0, π’le´,]n(ioatquE α ) a pour solutions π π i i− ( 2 ) ( 2 ) z 1 et= ez 2 = e.

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Exercice 15 SoitA,B,Ctroispointsnonalign´esduplanPetGfin´earipelopnidt

−→ 1 −→ 1 −→ AG= AB+ AC. 4 2 a)Le pointGudystneremedtse`estrycelebapotsinpoesr´´end {; (B, 1); (C,2)(A, 1)}. b)L’applicationf:P → Pqui,`atooptutniMdu plan, associe le point  Mranfidpidne´pual −−−→ −−→−→−→  M M=MA +MB + 2MC. estl’homoth´etiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGduselieut[ICgmenlupe,]`oeItsiotnmileeuliduimeltse segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.

Exercice 16 SoitCrae´pee´rtamareprbouacl  t−t x= 2e+ e t−t y= 2e−e o`uleparame`trete´ditcrRSoitM(odnne´sedeorcoa;b) un point deC. −→ a)Le vecteurv(dee´sedonncoorb, a) est un vecteur directeur de la tangentea`Cau pointM. b)SoitNiotnedocroodnne´(eslepb;a) etTe´dtpinfilerainpo −→−−→−→ OT= OM+ ON . Alors la droite (M Testl)erbuocala`etnegnataCau pointM. c)La courbeCensineacnoe´trqe´’itauacourbednuedanslsectnoet 2 2 x−y= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).

Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsqu’onde´signeparS 1 , S 2 . . ,S, . n , ...Aude´part,lesacS 1 ; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S 1 , que l’on place dans le sac S 2 . Puis, on tire au hasard un jeton du sac S 2 , que l’on place dans le sac S 3 , et ainsi