Deuxième composition de Physique 1999 Classe Prepa PC Ecole Polytechnique

Description

Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Deuxième composition de Physique 1999. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Physique 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999
• École polytechnique

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 mars 2008
• Nombre de lectures: 99
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES PC CONCOURS D’ADMISSION 1999FILIÈRE

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.   

Le thème de ce problème est l’étude de la propagation de l’influx nerveux des invertébrés le long des axones, fibres qui permettent de relier électriquement des parties éloignées de l’organisme. La propagation de l’influx nerveux (ou potentiel d’action) le long d’un axone est conditionnée par la nature de celui-ci. Schématiquement, il s’agit d’un filament cylindrique (appelé axoplasme) entouré d’une membrane très fine constituée d’une double couche lipidique qui le sépare du mi- lieu extérieur. Dans la première partie du problème nous étudierons la propagation d’un signal électromagnétique dans l’axoplasme. La deuxième partie est consacrée à l’étude des propriétés et du rôle de la membrane. Enfin, dans la troisième partie, le signal lui-même est l’objet d’intérêt.

Données numériques

−19 e= 1,6×10C −23−1 k B = 1,38×10J K −7−1 µ 0 = 4π×10H m 8−1 c= 3,00×10m s a= 5µm δ= 7nm −1 σ a = 2S m −2 g m = 9S m ε m = 8ε 0 V E =−70mV

charge élémentaire constante de Boltzmann perméabilité magnétique du vide célérité des ondes électromagnétiques dans le vide rayon de l’axone épaisseur de la membrane conductivité de l’axone conductivité surfacique de la membrane permittivité diélectrique de la membrane différence de potentiel transmembrane au repos

Formulaire  1 - Pour tout champ vectorielA:       rot rotA= grad(divA)−ΔA  2 - Pour tout champ vectorielA,en coordonnées cylindriques(r, θ, z):     1∂A z ∂A θ ∂A r ∂A z 1∂ ∂A r   rotA=−e r +−e θ + (rA θ )−e z r ∂θ∂z ∂z∂r r∂r ∂θ     1∂A θ 1∂A r   ΔA= ΔA r −A r + 2e r + ΔA θ −A θ −2e θ + ΔA z e z . 2 2 r ∂θr ∂θ

3 - Pour tout champ scalairef, en coordonnées cylindriques(r, θ, z):   2 2 1∂ ∂f1∂ f∂ f Δf=r+ + 2 22 r ∂r∂r r∂θ ∂z . 4 - L’équation différentielle   2 2 2 x y+xy−x+n y= 0 oùnest un entier, admet deux solutions particulières linéairement indépendantesI n (x)et K n (x),appelées fonctions de Bessel modifiées, qui ont les propriétés suivantes : + a) Six→0   n 1x I n (x)∼ n! 2   n (n−1)! 2 K n (x)∼(n= 0) 2x K 0 (x)∼ −lnx

b) Six→+∞

x I n (x)∼(1/2πx)e −x K n (x)∼(π/2x)e

De plus : dI 0 dK 0 =I 1 ,=−K 1 , dx dx 3 2.5

1d(xI 1 ) =I 0 , x dx

2 I 0 K 1 I 1 K 0 1.5

1

0.5

1d(xK 1 ) =−K 0 . x dx

2 2.53 0 0.5 1 1.5 x 5 - Équations de Maxwell (milieux conducteurs et diélectriques, non magnétiques) :   divD=ρ,divB= 0     ∂B ∂D     rotE=−,rotB=µ 0 j+ ∂t ∂t

Première partie

Dans cette partie, l’axoplasme sera modélisé par un cylindre homogène infini d’axeOz, de rayona, de conductivitéσ 1 et de permittivité diélectriqueε 1 .Une membrane, d’épaisseur consi- dérée comme négligeable, le sépare du milieu extérieur, homogène et s’étendant jusqu’à l’infini, de conductivitéσ 2 et de permittivitéε 2 .

1.Lors de la propagation de l’influx nerveux, les pulsations observées sont de l’ordre de 3−1−1 10rad s.A ces fréquences, les conductivités mises en jeu sont de l’ordre de2S met les permittivités diélectriques valent à peu près celle de l’eau, soit80ε 0 .

a)Montrez que, dans ces conditions, l’approximation des régimes quasi-stationnaires est valable. Comment se traduit cette approximation pour les équations de Maxwell?

  b)En déduire, par élimination deEetj, l’équation aux dérivées partielles à laquelle obéit  Bdans l’axoplasme et dans le milieu extérieur.

2.On s’intéresse aux ondes transverses magnétiques pour lesquellesB z est nul, possédant de plus la symétrie de révolution autour deOzet telles queB r = 0.

Plus précisément, on cherche des solutions sous forme d’ondes planes se propageant dans la di- rectionOz, la composante orthoradiale du champ magnétique s’écrivant en notation complexe : B θ (r, z, t) =B θ (r) expi(ωt−kz). L’axoplasme est parcouru par un courant dont l’intensité totaledans la directionOzest notéei(z, t) =i 0 expi(ωt−kz).

2 2 a)Écrire l’équation vérifiée parB(r). On poserak=k+iµ 0 σω. θ

b)Les longueurs d’onde typiques de l’influx nerveux sont de l’ordre de 1 mm. Montrer  qu’alorsk∼k .On utilisera cette approximationdans toute la suite du problème.

c)?Quelle est la traduction de cette approximation au niveau des équations de Maxwell Quel est le phénomène physique associé que l’on néglige alors?

d)Donner les expressions deB(r)dans l’axoplasme et dans le milieu extérieur à l’aide θ des fonctions de BesselI 1 etK 1 et en fonction dei 0 et dea.

3.On souhaite déterminer les particularités du signal associé à l’expression du champ ma- gnétique obtenue à la question précédente.

a)Montrer que, à l’extérieur de l’axoplasme, circule un courant total exactement opposé à celui circulant à l’intérieur.

b)Déterminer les composantes non nullesj z etj r de la densité volumique de courant   jà l’intérieur et à l’extérieur de l’axone. En déduire les composantes du champ électriqueE.  Montrer queEdérive d’un potentiel scalaireψ.

4.Soitv(z, t)la différence de potentielψ int −ψ ext entre l’intérieur et l’extérieur de la mem- brane à sa surface (r=a).

a)En considérant cette différence de potentiel enzet enz+dz, obtenir une relation entre la différence de potentielv(z, t)et les composantes du champ électriqueE 1z (a, z, t)juste à l’intérieur de la membrane etE 2z (a, z, t)juste à l’extérieur de celle-ci.

 b)Montrer que la composante longitudinale deEde part et d’autre de la membrane, en r=a ,se met sous la formeE 1z (a, z, t) =Z 1 i(z, t)dans l’axoplasme etE 2z (a, z, t) =−Z 2 i(z, t) dans le milieu extérieur.Donner les expressions deZ 1 etZ 2 .

c)Le rayon d’un axone est de l’ordre de 5µm. En déduire des expressions approchées de Z 1 etZ 2 , montrer queZ 2 Z 1 et donner une évaluation numérique deZ 1 . ∂v d)se met sous la forme :Montrer que ∂z ∂v =−r a i(z, t) ∂z oùr a est une grandeur que l’on exprimera en fonction deaet deσ 1 .

e); montrer qu’il se généraliseCe résultat a été obtenu pour des ondes planes sinusoïdales à un signal en forme d’onde plane quelconque se propageant dans la directionOzmoyennant certaines conditions que l’on précisera.

Deuxième partie

On considère maintenant le rôle de la membrane dans la propagation de l’influx nerveux. Son épaisseurδest très petite devant le rayonade l’axoplasme, ce qui permet d’utiliser pour son étude une géométrie localement plane. On noterarla coordonnée dans la direction perpen- diculaire au plan de la membrane.

1.L’axoplasme et son extérieur contiennent des ions dont les concentrations sont différentes de part et d’autre de la membrane.

Exprimer la densité de courant électriquej D associé à la diffusion d’un type d’ion de charge Zeà travers la membrane,Détant le coefficient de diffusion etn(r)la concentration ou nombre d’ions par unité de volume.

 2.Placé dans un champ électriqueE,un ion de chargeZeacquiert une vitesse limiteu m E oùu m ; cette mobilité est reliée au coefficient de diffusion parest la mobilité de l’ion considéré la relationD=u m k B T /Ze, oùk B désigne la constante de Boltzmann.

SoitE(r)un champ électrique perpendiculaire à la membrane; quelle est l’expression de la densité de courant électrique de conductionj E pour le type d’ion de la question précédente?

3.On suppose l’équilibre réalisé pour ce type d’ion.

a)Montrer alors que la différence de potentiel entre l’axoplasme et le liquide extérieur, V i = (ψ int −ψ ext )se met sous la forme e´q   k B T n ext V i = ln Ze n int oùn int etn ext sont les nombres d’ions par unité de volume de part et d’autre de la membrane. Interprétez cette relation en terme de facteur de Boltzmann.

+ +◦ b)Le rapportn ext /n int vaut 10 pour les ions Naet 0,04 pour les ions Kà 25C. Calculer les différences de potentiel à l’équilibreV Na+ etV K+ qui leur sont associées.

4.On considère maintenant le régime stationnaire où toutes les concentrationsn i (r)sont indépendantes du temps.

a)Montrer que pour l’ion de type(i),la densité totale de courant électriquej i ne dépend pas der.

b)Montrer quej i est reliée à la différence de potentielvà travers la membrane par une relation de la formej i =g i (v−V i )oùg i est la conductance de la membrane par unité de sur- face pour l’ion considéré etV i la différence de potentiel transmembranaire de l’ion à l’équilibre. Donner un schéma électrique équivalent à l’ensemble {membrane, ion}.

c)Donner l’expression de la densité de courant électrique à travers une membrane séparant Nespèces ioniques. Définir le potentiel à l’équilibreV E et la conductance équivalenteg m de la membrane.

d)On observe que la différence de potentiel à l’équilibre entre l’axoplasme et le liquide extérieur vautV E =−70mV . En utilisant les données numériques de la question3.b), détermi- ner laquelle des deux espèces ioniques en présence transportera le plus de courant au voisinage du potentiel d’équilibre.

5.La membrane est constituée d’un matériau diélectrique de permittivitéε m . Son modèle doit aussi comporter un condensateur de capacité surfaciquec m .

a)Donner l’expression dec m et dej c , densité de courant associée à cet effet capacitif. Quel est maintenant le schéma électrique équivalent à l’ensemble {membrane, ion}?

b)Calculerc m pour une membrane d’épaisseur 7 nm et de permittivité diélectrique 8ε 0 .

Troisième partie

1.En effectuant un bilan de charge électrique pour une longueurdzde l’axone cylindrique, donner la relation liant la densité de courant électrique totale à travers la membrane et l’intensité

du courant parcourant l’axoplasmei(z, t).

2.a)Dessiner le schéma électrique équivalent à une tranche d’axone de longueur dz.

b)Montrer que la différence de potentiel transmembranairev(z, t)obéit à l’équation :

2 ∂ v∂v 2 λ−τ−(v−V E ) = 0 2 ∂z ∂t oùλetτsont deux paramètres dont on donnera les expressions.

3.a)Déterminer les solutions indépendantes du temps de l’équation précédente; déterminer de même les solutions indépendantes dez.

b)En déduire une interprétation physique des paramètresλetτ. Les calculer numérique- ment à l’aide des données antérieures.

Expérimentalement, on constate que lorsque l’axone est excité avec une tension supérieure de 20 mV au potentiel d’équilibre, un signal se propage appelé « potentiel d’action ». En un point, la différence de potentielvvarie de sa valeur au repos(V E =−70 mV)à+40mV avec retour rapide à l’équilibre. La vitesseuet la forme du signal sont indépendantes de la tension d’excitation. On dit que la propagation du signal est un phénomène de tout-ou-rien : pas de réponse en-dessous du seuil, une réponse normalisée au-dessus et ce quelle que soit la tension excitatrice.

Pour expliquer ce phénomène, il faut supposer que la conductance de la membrane passe d’une valeur basse en-dessous du seuil à une valeur beaucoup plus grande au-dessus. Si l’on ne s’intéresse qu’à la propagation du front de montée du signal, la relation donnant la densité de courant électrique à travers la membrane (hors effets capacitifs) prend la forme :  g m VsiVV < 1 j(V) = g(V−V 2 )siV >V 1 oùV=v−V E . Dans la suite, on négligerag m carg m g.

4.Écrire l’équation différentielle qui lieVetj.

5.Le front de montée se propage sans déformation à vitesseuconstante, avecu >0;Vne doit donc dépendre que de la variables=z−ut.

a)Réécrire l’équation précédente en variablespour les deux étatsV <V 1 etVV > 1 . Montrer que le premier correspond às >0et le second às <0.

b)Montrer qu’alorsV(s)est de la forme : A 1 exp(−γ 1 s) +B 1 siV <V 1 A 2 exp(+γ 2 s) +B 2 siV >V 1 Donner les expressions des constantesA 1 , B 1 , A 2 , B 2 , γ 1 etγ 2 en prenant comme conditions aux limitesV=V 1 pours= 0,etV→0lorsquez→+∞àtfixé.

6.L’intensité dans l’axonei(s)doit être continue ens= 0. Quelle relation cela impose-t-il entreγ 1 etγ 2 ?

7.En déduire que la vitesse de propagation du front de montée du signal est donnée par :   2 g(V 2 −V 1 ) 2 u= 2 2πar a c m V 1 V 2 Comment la vitesse de propagation du front de montée du « potentiel d’action » dépend- t-elle du rayonade l’axone?

8. Application numérique. La conductancegde l’état actif de la membrane vaut environ200 −2 S m. On observe expérimentalement queV 1 = +20mV etV 2 =V−V E . En utilisant les + Na données numériques des parties précédentes, calculer la vitesse de propagationu. Quelle vitesse maximale peut-on atteindre dans un axone géant d’invertébré ayant 0,2 mm de rayon?

∗ ∗ ∗