Epreuve commune 2004 Classe Prepa MP EPITA

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Examen du Supérieur EPITA. Sujet de Epreuve commune 2004. Retrouvez le corrigé Epreuve commune 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 93
• Langue: Français

Extrait

E.P.I.T.A. Concours 2004 – Mathématiques (3 heures) __________________________________________

Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la forme suivante oùf: [0, 1]→Retk: [0, 1] x [0, 1]→Rdésignent deux fonctions continues données, et oùu: [0, 1]→Rest une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤x≤ 1 : x (1) u(x)−k(x,t)u(t)dt=f(x) . ∫ 0 Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis que la question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solutionu.

x 1°) On pos u(x)=(x−t)u(t)dt pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N. e u 0 (x)=1 , puis n+1n ∫ 0 a)Calculeru 1 (x),u 2 (x),u 3 (x), puis par récurrenceu n (x). b)Calculer la sommeU(x) de la sérieu 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (x) + … n c)Calculer la sommeV(x) de la sérieu 0 (x) –u 1 (x) + … +(–1)u n (x) + … d)Vérifier queUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (2) u(x)−(x−t)u(t)dt=1 . ∫ 0 x (3) u(x)−(t−x)u(t)dt=1 . ∫ 0

x u xx x tu xdtu t 2°) On pose 0 ( )= , puis n+1 ( )=(−) n ( ) pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N. ∫ 0 a)Calculer la sommeU(x) de la sérieu 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (x) + … n b)Calculer la sommeV(x) de la sérieu 0 (x) –u 1 (x) + … +(–1)u n (x) + … c) VérifierqueUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (4) u(x)−(x−t)u(t)dt=x . ∫ 0 x (5) u(x)−(t−x)u(t)dt=x . ∫ 0

x u xf x u tdt 3°) On pose 0 ( )=( ) , puis u n+1 (x)=λ n ( ) pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N(oùλréel donné). ∫ 0 n+1 a)Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonctiong: [0, 1]→R:de classe C n k n x x xt (k) (−) (n+1) g(x)=g(0)+g(t)dt . ∑ k! ∫ 0 n! k =0 b)Etudier les dérivées deu n+1 et en déduire que : n+1n x λ(x−t) t u n1 (x)=f(t)d . ∫ n! + 0 c)En déduire alors (avec les justifications nécessaires) la sommeU(x) de la série de fonctions x u 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (xen fonction de) + …f(x), exp(λx) et exp(−λt)f(t)dt . ∫ 0 d) Endéduire queUest solution de l'équation suivante : x (6) u(x)−λu(t)dt=f(x) . ∫ 0 e) Retrouvercette solution en résolvant une équation différentielle convenable.

4°) Dans cette question, on étudie l'équation générale (1) décrite dans le préambule : x  (1) u(x)−k(x,t)u(t)dt=f(x) . ∫ 0 On prouve d'abord l'existence d'une solutionu(questions a-b-c), puis son unicité (questions d-e). x f x On pose à cet effet u 0 (x)=( ) , puis u(x)=k(x,t)u(t)dt pour 0 ≤x≤ 1 et pourn∈N. ∫ 0 n+1n On admettra que toutes les fonctionsu n de cette suite sont continues sur [0, 1], et on désignera 2 parKetMles maxima des fonctions continues k et f et [0, 1] respectivement.sur [0, 1] a)Montrer par récurrence l'inégalité suivante pour 0 ≤x≤ 1 et pourn≥ 1 : n (Kx) u(x)≤M n n! b)En déduire (avec les justifications nécessaires) que : •la sérieu 0 (x) +u 1 (x) + … +u n (x) + … converge pour 0 ≤x≤ 1. •la sommeU(x) de cette série est continue sur [0, 1]. x c)Exprimer (avec les justifications nécessaires) l'intégrale k(x,t)U(t)dt en fonction deUetf. ∫ 0 En déduire queUest une solution de (1). d)Montrer, siu 1 etu 2 sont deux solutions de (1), qued=u 1 –u 2 est solution de : x d(x)=k(x,t)d(t)dt . ∫ 0 e)Montrer l'inégalité suivante oùDdésigne le maximum de la fonction continue d sur [0, 1] : n (Kx) d(x)≤D . n! En déduire quedest la fonction nulle, puis queu 1 =u 2 . f)Résoudre par la méthode proposée dans cette question les équations intégrales : x 2 (7) u(x)−(x−t)u(t)dt=x . ∫ 0 x 2 (8) u(x)−(t−x)u(t)dt=x . ∫ 0 (On exprimera les solutionsude ces deux équations à l'aide des fonctions usuelles).

5°) Dans cette question, on applique ce qui précède au problème de Cauchy suivant, dans lequel a,b,cdésignent trois fonctions continues de [0, 1] dansRety 0 ,y' 0  deux réels donnés : y′′ =a(x)y′ +b(x)y+c(x)  ety(0) =y 0  ,y'(0) =y' 0 . 2 a) Montrer,parmi les fonctionsyde classe Cde [0, 1] dansRqui vérifienty(0) =y 0 ,y'(0) =y' 0 , queyest solution du problème de Cauchy précédent si et seulement siy"est la solutionude : x u(x)−[a(x)+(x−t)b(x)]u(t)dt=c(x)+y ′ a(x)+(y+xy ′ )b(x). ∫ 0 0 00 b) En déduire l'énoncé et la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz pour ce problème de Cauchy, puis retrouver ainsi les résultats des questions 1° et 2°. c) Résoudre ainsi, compte tenu des résultats de (7) et (8), les problèmes de Cauchy suivants : 2 - y′′ =y+x  ety(0) = 0 ,y'(0) = 0. 2 - y′′ = −y+x  ety(0) = 0 ,y'(0) = 0.

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