ICNA - Epreuve commune 2004 Classe Prepa MP ENAC

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve commune 2004. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve commune 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

Questionsli´ees:1a`61te71a`04. La calculatrice personnelle est interdite ; le concours fournit une calculatrice.

PARTIE I

SoitEidneedideielcuilrapport´mension4roesnohtua`eabenm´oreeapsenurotcevecB= (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 die`ocsn.)nOehismmorpendorel’f a,b deE´ennesuota`iuqdoorcodeurteectv 2 2 2 (x, y, z, t) dans la baseBsaicosodnne´se(elevecteurdecoora x+aby+abz+abxb t, +a y+ 2 2 2 2 2 b z+abt, abx+b y+a z+xabt, b +aby+abz+a t) dans la baseBu`o,a,b´efixs.r´eslseesdtno Question 1.La matriceM a,b def a,b dans la baseBefiire´v   2 (a+b0 0) 0 2 0 (a+b) 0 0   a)M a,b = 2   0 0 (a+b) 0 2 0 0 0 (a+b) b)M a,b lempcotssxees´etrtsymtea`qieuicneocffie c)M a,b instrsveleibevnitseacelbisrrtoutematricesyme´rtqieu´reellee d)M a,b lanogaidtseexelp.leabistairtumeraotlbceecomriqum´etcesyseaidtanogasil Question 2.oˆemacarLpelonyiquect´eristχ(λ() = det f a,b −λid) de l’endomorphismef a,b tseup,reriec’´id de´signantl’endomorphismeidentite´ 2 1ab ab b 2 2   1a−abλ b 2 a)χ(λ) = (a+b)−λ 2 2 2 2 0b−a+λ a−b−λ0   2 2 0 0 0a−b−λ 1 1 0 0 2 2 2   ab a−λ b−a+λ0 2 b)χ(λ) =λ−(a+b) 2 2 2 ab b a−b−λ0  2 2 2 b ab0a−b−λ 1−1 0     2 2 2 2 c)χ(λ) =λ−(a+b)λ−a+ b ab λ−a−1   2 ab−b1 1ab ab     2 2 2 2 2 d)χ(λ) =λ−(a+b)λ−a+b 1a−λ b  0−1 1 Question 3.Les valeurs propres de l’endomorphismef a,b sont pour tout couple (a, be)d´reesl   2 2 2 2 a) 0, (a+b) , (a−b) ,a−b   2 2 2 2 b) (a+b) , (a−b) ,b−a   2 2 2 c)i|a+b|,−i|a+b|, (a−b) ,a−b d) (a+b), (a−b), (a+b) (a−b) Question 4.L’endomorphismef a,b a) est diagonalisable car ses valeurs propres distinctes sont orthogonales b) est diagonalisable dans une base orthonormale deEdeesvedeetcepsrurpormre´off a,b c)n’estpasdiagonalisablecarsesvaleurspropresnesontpastoutesdemultiplicite´1 d) ne peut admettre 0 comme valeur propre carf a,b est diagonalisable. Question 5.On supppose dans cette questionaoubnul ; l’endomorphismef a,b admet alors

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Question 6.

Question 7.

Question 8.

Question 9.

Question 10.

a)deuxvaleurspropresdistinctesdemultiplicite´2 b)uneseulevaleurpropredemultiplicite´4 c) 0 pour valeur propre unique lorsquea=b d) quatre valeurs propres distinctes. Onsupposedanscettequestionlesr´eelsaetbnon nuls, l’endomorphismef a,b admet, 2 2 lorsquea=b a) une seule valeur propre triple et une valeur propre simple b) une valeur propre double et deux valeurs propres simples 2 2 et lorsquea6=b c) quatre valeurs propres simples 2 2 d) deux valeurs propres simples et une valeur propre double (b−a). La baseBesabhtroseenutedteurevecpresspro´meenoroe´deofmrf a,b pour les couples (a, b) tels que a)a= 0 etb6=0 b)a=b= 0 uniquement c)a6=0 etb6=0 d)b= 0 etaquelconque Une base orthonormale deEroprurspecteedeve´mrofseedf a,b falallmiu´itdeeenotssecte de vecteurs (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 d´efinispra:) a)ε 1 = (1,1,1,1) ;ε 2 = (1,−1,−1,1) ;ε 3 = (0,1,−1,0) ;ε 4 = (1,0,0,−1) pour tout couple 2 2 2 (a, b)∈Rtel queab6=0 eta6=b 1 1 1 1 b)ε 1 = (1,−1,−1,−1) ;ε 2 = (1,−1,−1,1) ;ε 3 = √ (0,1,−1,0) ;ε 4 = √ (1,0,0,−1) 2 2 2 2 2 2 2 pour tout couple (a, b)∈Rtel queab6=0 eta6=b 1 1 1 1 c)ε 1 = (1,1,1,1),ε 2 = √ (0,1,−1,0) ;ε 3 = (1,−1,−1,1) ;ε 4 = √ (−1,0,0,1) pour 2 2 2 2 2 tout (a, b)∈R 1 1 1 1 d)ε 1 = (1,1,1,1) ;ε 2 = (1,−1,−1,1) ;ε 3 = √ (0,1,−1,0) ;ε 4 = √ (1,0,0,−1) 2 2 2 2 2 2 2 uniquement pour les couples (a, b)∈Rtels queab6=0 eta6=b  √  1 0 1−2 √ 1 1 2−1 0  √  La matriceP´dfieinpera:P=   2 1−2−1 0 √ 1 0 1 2 a) est une matrice orthogonale b) n’est pas une matrice orthogonale   2 (a+b0 0) 0 2 0 (a−b) 0 0 −1   c) est une matrice de passage telle queP M a,b P= 2 2   0 0a−b0 2 2 0 0 0a−b d)estunematriceinversibleetsyme´trique. SoitQunemcesyatriuqirte´mogohtroentdolenaonolscleenssnodtseevtcuersdel’endomor-   1 1 1 1 1−1−1 1   phismef a,b de la formeQ=c   1−1α γ 1 1γ β on a alors

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Question 11.

Question 12.

Question 13.

Question 14.

a)α;= 1 β=γ=−1 etcconqquele´leuer 1 b)α=γ= 1 ;β=−1 etc= 2 1 c)α;= 1 β=γ=−1 etc= 2   2 (a+b) 0 0 0 2 0 (a−b0) 0   d)QM a,b Q= 2 2   0 0b−a0 2 2 0 0 0b−a On suppose dans cette question|a| 6=|b|. SoitVun vecteur deEde composantes (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) dans la baseB; le vecteurXdeEtel quef a,b (X) =Va pour composantes dans la baseB le 4-uplet (x, y, z, t:ipar´)edfin    1 2 2  x=a v 1 +abv 2 +abv 3 +b v 4 v 1 2 x= 2 2 (a−b) 2 (a+b)   1 v 2 2 2  y=abv+a v+b v+abv 4   2 1 2 3  y= 2 2 (a−b) 2 (a−b) a) b)  1  v 3 2 2 z= z=abv 1 +b v 2 +a v 3 +abv 4 2 2 2 2 2 a−b (a−b) v 4    1  t= 2 2  2 2  t=b v 1 +abv 2 +abv 3 +a v 4 a−b 2 2 2 (a−b) et la matrice Com (M) ayant pour coefficients les cofacteurs des coefficients deMre´vifie −1 c) Com (M) = (detM).M   2 2 a−ab−ab b 2 2   2 −bab a −ab 2 2  d) Com (M) =a−b 2 2   −aab b −ab 2 2 b−ab−ab a On noteMl’ensemble des matricesM a,b des endomorphismesf a,b balasepoap`artrrapB 2 lorsque les couples (a, bentcriv)d´eR. SoientM a,b etM a ,b 2 matrices deM 0 0 0 0 0 0 a)M a,b +M a ,b ∈ Mb)M a,b M a ,b =M A,B ∈ MavecA=ab+baetB=aa+bb 0 0 0 0 0 0 0 0 c)M a,b M a ,b =M A,B ∈ MavecA=aa+bbetB=ab+ba 0 0 d)M a,b M a ,b ∈/M 0 0 SoitP a,b nfieip,uoˆnmodee´ple(rtoutcouontilypolancfoa, brap)slee´redP a,b (x) =a+bx.   n 2 Le resteR n (x) de la division euclidienne de (P a,b (x)) parx−1 est pour tout entiern>2 d´efinipar: n n n n a)R n (x) = (a−b() + a+b[() + a−b)−(a+b) ]x 1 1 n n n n b)R n (x) = [(a−b)−(a+b) ] + [(a−b() + a+b) ]x 2 2 et on a n c)M=M 1 n n 1 n n a,b [(a−b)−(a+b) ],[(a−b) +(a+b) ] 2 2 n d)M=M n n n n 1 1 a,b [(a−b) +(a+b) ],[(a−b)−(a+b) ] 2 2 Onsupposedore´navantl’endomorphismef a,b e´isotdnuoojngtenonbtifeijecarspurM a,b la matrice def a,b dans la baseB. Le rang def a,b est : a) 1 car les quatre colonnes deM a,b selagneo´st

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