ICNA - Epreuve optionnelle 2000 Classe Prepa PC ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2000. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié le: 13 juillet 2008
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ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5] [6,7,8,9,10,11] [12,13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22] [23,24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]

1.Une tige métallique homogène OA, de masse m et de longueurl, peut tourner autour d'un axe horizontal Oz. La liaison au niveau de son extrémité fixe O peut être considérée comme parfaite. L'extrémité mobile A Oz glisse sans frottement sur un profil circulaire, de sorte qu'à chaque instant l'ensemble tige/profil assure la fermeture d'un e z C circuit électrique constitué d'un condensateur de capacité C. L'ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme et g i(t) constantB = Be z  suivant l'axe de rotation Oz ( dirigévoir figure ci-contre). On désigne par i(t) la valeur instantanée du courant qui circule θ dans le circuit, parθl'angle formé par la tige et la verticale et B pargl'accélération de la pesanteur. On négligera les chutes de tension dans les parties résistives du circuit. Donner l'expression de la force électromotrice d'induction e(t) qui A apparaît dans le circuit. a) e ( t ) = BA 2 2 d d θ t b) e ( t ) = BA 2 d d θ t c) e ( t ) = B 4 A 2 d d t θ d) e ( t ) = 2BA dt dθ 

2.Exprimer le courant i(t) dans le circuit. a) i ( t ) = 4 BA C 2 d dt 2 2 θ b) i ( t ) = BA 2 2 Cd td θ 

2 2 c) i ( t ) = 2 BAd C dt 2 θ 

d) i ( t ) = BA 2 2 d dt C 2 2 θ

3.Calculer le moment résultant M L (∆) par rapport à l'axe∆= Oz de la force magnétique de Laplace. a) M L (∆) = − B 2 A 4 4 td Cd 2 2 θ b) M L (∆) = − 2 B 2 C A 4 t d d 2 2 θ  M −∆ = A 2 θ c) M L (∆) = − B 2 2 A 2 dt dC 2 2 θ d) L ( ) B 4C 2 d td 2

4.Calculer la pulsationω 1 pendule sachant que le moment d'inertie de lades petites oscillations du tige par rapport à l'axe de rotation∆= Oz vaut I(∆) = 1 3 mA 2 . a)ω 1 = A+ 3m 2 g A 3 b)ω 1 = 2mA+ mg B5 2 A 2 C m B C m ) 1 6 g ω = cω = 4mA+3B 2 A 3 C d) 1 3mA 2 +B mg 2 A 2 C 5.une bobine d'inductance propre L et de résistance négligeable.Le condensateur est remplacé par Calculer la nouvelle pulsationω 2 des petites oscillations du pendule. a) ω = gm3 4 A m + L B 2 L 3 b) ω 2 = 6mgA 4 + mAL 3B 2 L 3  2 A

AC

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c)ω 2 =

3mgA+2B 2 L 2  4mA

d)ω 2 =

mgL+4B 2 A 3 2mA



ICNA - SESSION 2000

6.Un milieu, de constante diélectriqueε 0  de perméabilité magnétique etµ 0  égales à celles du vide, contient, par unité de volume, des nombres égaux n d'ions positifs (charge+e, masse M) et d'électrons (charge−e, masse m) de sorte que dans un volume mésoscopique (macroscopiquement petit) la charge totale soit globalement nulle. On soumet ce milieu à l'action d'un champ électriqueE, d'amplitudeE 0 , de pulsationω, que l'on peut exprimer en notation complexe sous la forme :E=E 0 exp−iωt). On négligera les interactions entre particules. Déduire des solutions forcées des équations différentielles du mouvement d'un ion et d'un électron, l'expression du courant volumiquejqui s'établit dans le milieu. = a)j= − i n ω 2 e 2 2    m M+m M    Eb)j i ne 2    M+m    E ωmM 2 i ne M m c) j= − ne ω    M m +m M    E d) j ω =    m + M    E 7.Le champ électrique de la question précédente est celui d'une onde électromagnétique plane monochromatique de vecteur d'ondek. On noteraBle champ magnétique de l'onde et on négligera son action sur le mouvement des particules chargées du plasma. Des équations de Maxwell écrites en notation complexe, on peut déduire que : a)Les champsEetBsont transverses et orthogonaux entre eux. b)EetBsont orthogonaux entre eux mais seulEest transversal. c)EetBsont orthogonaux mais seulBest transversal. d)EetBsont transverses mais ne sont pas orthogonaux entre eux. 8.Montrer que la relation de dispersion k(ω) du milieu peut se mettre sous la forme : 2 p = k ω 2     1 ω − ω 2     . Exprimerω p (pulsation plasma) et c. c 2 2 

ne 2 M+m 1 a)ω p = ( m ) , c= 0  µ 0 M ε 0 µ

ne 2 εM+m 1 = c) ω 0 0 p ( M ) , c= 0 0  µm ε µ

b)ω p = 0 ne ( 2 M M m m) , c= ε 0 µ 0  ε +

d)ω p =

ne 2 M ε ( M +m) , c= 0 m

9.Calculer les vitesses de phase v ϕ et de groupe v g pourω>ω p . a) v ϕ = 2 ωc 2 , v g = c ω ω 2 −ω 2 p b) v ϕ = c ω 2 ω− 2 p , v g = ω − ω p ω c)  v ϕ = 2 ω p ,v c = ω c ω 2 −ω 2 p d) v ϕ = ω 2 ω − c ω 2 , v g = c ω g ω − ω  p 2p p

1  ε 0 µ 0

ωc  2 2 ω − ω p ω 2 −ω 2 p 

10.propagation d'une onde dans un plasma est équivalente à la propagation d'une ondeMontrer que la dans un milieu sans charge ni courant et de permittivitéε. Exprimerε.   a)ε = ε 0     1 ω ω − 2 p 2   b)ε = ε 0     1 ω ω − p     c)ε = ε 0     1 ω − ω 2 2 p     d)ε = ε 0 1− ω ω p 2 2 

11. nLes couches inférieures de l'atmosphère sont constituées d'un gaz neutre d'indice i ≈ Les1 . couches supérieures (ionosphère) sont assimilables à un plasma analogue à celui étudié précédemment.

AC

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

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On définit l'indice ns d'un tel milieu par la relation : n s2 = ε . Une onde plane susceptible de se propager ε 0 dans l'ionosphère aborde la couche ionosphérique sous l'incidence i. Calculer la cosinus de l'angle i t  au-dessus duquel l'onde est totalement réfléchie vers le sol (angle de réfraction limite). a)  cos i t = ω b) cos i t = ω p c) cos i t ω = ω 2 p 2 d) cos i t ω ω = 2 p 2  ω p ω

12.Une plaque horizontalePest animée dans son plan xOy d'un mouvement de translation rectiligne oscillatoire sinusoïdal de pulsationω 500 rad.s = −1 . La vitessev p la plaque est donnée à chaque instant par lade g z relation :v p =v 0 sin(ωt)e x . h Cette plaque est surmontée, sur une hauteur h, d'un fluide visqueux homogène supposé incompressible, de masse Fluide volumiqueρet de viscosité dynamiqueη(voir figure ci- visqueux contre). P e z x p O o n u  r a r s a s  i n m é i g l l e i r g a e  r l  a l  e p s l  a ef q f u e e t  s à d u e n b  o p r l d a . n   O in n f  i n n é i gl d i e g  e s r o a r  t é e g  a q l u e e m l' e o n n t  O e x les effets de la pesanteur. Montrer que, dans ce modèle infini, le champ des vitessesv(x,y,z,t) du fluide peut s'écrire : a)v= v(x,z,t)e x b)v= v(x,y,t)e x c)v= v(x,t)e x d)v= v(z,t)e x  13.Exprimer le force volumique de viscositéf. 2 v a)f ∂ ∂ η= z 2 2 v e x b)f ∂ =η ∂ 2 e x c)f=η ∂ ∂ v z e x d)f ∂ η ∂ = v x e x  x 14.Déduire, de l'équation de Navier-Stokes, l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit la vitesse v. a) ∂ ∂v t ∂ ∂ = η ρ z 2 2 v b) ∂ ∂ v t = η ρ ∂ ∂  v z c) ∂ ∂t v = ρ η ∂ ∂  x v d) ∂ ∂ v t = η ∂ ρ ∂ x 2 2 v 15.physiquement acceptable de cette équation aux dérivées partielles peut se mettre sousLa solution la forme : a) v ( x, z, t ) = v 0 exp   − δ  x    sin    ωt δ − z    b) v ( z, t ) = v 0 exp δ    − z    sin   ω  t− δ z     − c) v(x, t) =v 0 exp   x    sin    ωt δ − x    d) v(z, t) =v 0 sinω    t δ − z      δ 16.Calculerδpourη 2,33 kg.m −1 .s −1 etρ= 1,26.10 3 kg.m −3 . = a)δ mm 5,1b)δ= 7,2 mmc)δ= 2,7 mmd)δ= 4,3 mm = 17.En déduire la puissance moyenne par unité de surfaceP doit fournir l'opérateur pour que entretenir le mouvement de la plaque. ηω d)P=v 2 a)P=v 02 ρη 2 ω b)P=v 02 ρη 8 ω c)P=v 2 0 ρ 4 η 0 2ρ

18.Un générateur de tension parfait alimente un circuit électrique constitué par deux impédances complexes Z g =R g +jX g et Z u =R u +jX u  connectées en série. Quelles doivent être les relations, entre R g et R u d'une part et X g et X u d'autre part, pour que la puissance absorbée par Z u soit maximale ? a)R g = R u b)X g = X u c)X g =−X u d)R g = X  u 19.considère le circuit électrique représenté sur le schéma de la figure ci-dessous constitué d'unOn condensateur de capacité C, d'un résistor de résistance R u et deux bobines identiques d'inductance propre

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ICNA - SESSION 2000

(I)

(II)

L. Ces éléments sont tous connectés en série et les deux bobines peuvent, de plus, être couplés magnétiquement. On peut choisir le sens du couplage grâce à un interrupteur. Dans la position (I) l'inductance mutuelle L M L M est positive tandis qu'elle est négative dans la M position (II). Le coefficient de couplage k=pe L tu L − M L e ) ê L t e r  e c a i j r u c s u t i é t   à e u s n t e a v li al m e e u n r t c é om pa p r r  is u e n   en g t é re n  é 0 r  a e t t e 1 u . r  deforce R (t g R C u électromotrice e ( t ) = E 0 cos (ω t )  50 V efficaces et de de résistance interne R g = 5Ω. Sa pulsationωest telle que les impédances présentées par le condensateur et chacune des bobines non couplée sont respectivement 5Ωet 12Ω. On désire que la puissance consommée dans R u soit maximale. Quelle doit être la valeur de R u ? a)R u = 7Ωb)R u = 5Ωc)R u = 3Ωd)R u = 12Ω 20.Calculer cette puissance maximaleP umax : a)P umax = 125 Wb)P umax = 25 Wc)P umax = 50 Wd)P umax = 75 W 21.Quelle doit être la valeur du coefficient de couplage k ? a)k = 0,512b)k = 0,317c)k = 0,415d)k = 0,792 22.La résistance du résistor vaut maintenant R u = 10Ωfait varier k et éventuellement le sens du. On couplage des bobines. Déterminer la gamme de puissance qui peut alors être fournie au résistor R u . a) 53W≤P u ≤78Wb) 47W≤P u ≤92Wc) 28WP u ≤102Wd)12WP u ≤111W

23.horizontal de section droite S est rempli d'un gaz de masse volumiqueUn cylindre ρ 0 au repos et de coefficient de compressibilité isentropiqueχ S . A l'équilibre le est à la pression atmosphérique P 0 . On notep(x,t) ,   la  s g ur a p z ressionoupressionacoustiqueàl'instant P tdansleplandecotexlorsq p u l ' a u c n e e r  a on d d a e n  s ac le o  us c t a i d q r u e e   d s e e   P 0  +  p(x,t) l p 'a ro p p pr a o g x e i  m d a a t n i s o  n l  e a  c g o a u z s . t  iq O u n e  . s E e n  appliquantle  théorèmedu P 0

centre de masse à une tranche de gaz comprise entre les plans de cote x et x+ déterminer l'équation aux dx, O e x x dérivées partielles liant la vitesse de déplacement v(x,t) de la tranche de gaz considérée à la surpression p(x,t) qui y règne. a)ρ 0 ∂ ∂ v t∂ = ∂p x b)ρ 0 ∂ ∂v t∂ ∂ −= p x c)ρ ∂ ∂ v = − ∂p d)ρ 0 ∂ ∂v x∂ ∂ = t p  0 x∂t 24.En supposant que la tranche de gaz subit une évolution adiabatique réversible au passage de l'onde, écrire une autre équation aux dérivées partielles liant v(x,t) et p(x,t). ∂v ∂p a) ∂ ∂ x v = χ S ∂ ∂ t p b) ∂ ∂ v t = χ S ∂ ∂x p c) ∂ ∂t v ρ −= 0 S ∂ ∂ x p d) ∂x = −χ S ∂t

25.En déduire la vitesse de propagation c de l'onde dans le gaz. ρ 0 a) c= 1 b) c= ρ 0 χ S c)  c = ρ 0 χ S χ S

d) c= 1 ρ 0 χ S

26.Le gaz est le siège d'une onde progressive plane monochromatique de pulsationω et de vecteur d'ondek i =ke x  propageant  sedans le sens des x croissants et d'une onde plane réfléchie de vecteur d'ondek r = −ke x  se propageant en sens inverse. En notation complexe, les surpressions p i ( x, t )  et p r ( x, t ) associées respectivement aux ondes directe et réfléchie s'écrivent : p i ( x, t ) = p 0i exp [ i (ω t−kx )]  et p r ( x, t ) = p 0r exp [ iωt+kx )] 

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ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

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On note  p ( x, t )l'expression en notation complexe de la surpression résultant de la superposition des deux ondes. L'onde réfléchie provient de la réflexion de l'onde directe sur une paroiP masse m disposée dans le de plan de cote x = 0 et pouvant se déplacer autour de cette position d'une quantitéξ(t) (très petite devant la longueur d'onde de l'onde acoustique) avec une vitesseut)u t)e x . Cette paroi est en outre soumise à l'action d'une force élastique que l'on peut modéliser par un ressort de raideur K et d'une force de frottement visqueuxf= −2αmω 0 ue x  oùα est une constante positive etω 0 ='uqarttemdanO. K à m droite de la paroiP, l'air reste constamment à la pression atmosphérique P 0 . Exprimer l'amplitude complexe u 0 de la vitesse de déplacement de la paroi enrégime forcé. ω + pi S p a) u 0 = mω 0 2 0 − S ω p 2 i0 +2i p α 0r ω 0 ω b) u 0 = mω ω 0 2 0 −ω 2 0i − + 2iα 0r ω 0 ω  iω +i S p p c) u 0 = mω 2 S ω− p i0 2 + p i2 0r d) u 0 = ω 02 ω −ω 0i 2 − + i 0 α r ω 0 ω  0 αω 0 ωm 2 27. r pourOn définit le coefficient de réflexion l'amplitude complexe de la surpression par la relation r= p 0r . Montr r= 1−Aω  A. Exprimerω). p 0i er que l'on peut mettre  1  r sous la forme : +Aω)( ) a) A (ω) = m 2 iρ 0 S 2 ω + 2 2iαω ω b) A ( ) iρ 0 Sω 2 0 ω = kω 0 −ω 0  mkω 2 0 ω− 2 −2iαω 0 ω 0 c) A (ω) = kω 2 ρ − 0 ω 2 mSω +2i 02 αωω d) ( ) iρkSω 2  Aω = 2 2  0 0 mω 0 − ω −2iαω 0 ω

28.Calculer le coefficient de réflexion r 0 lorsque la paroi est maintenue immobile en x = 0. a)  r 0 =0 b)  r 0 =1 c)  r 0 =1 d) r 0 = 1 2

29.Un récipient à parois rigides et calorifugées est divisé en trois compartiments étanches par deux cloisons mobilesP 1  etP 2  pouvant se déplacer sans frottement. La cloisonP 1  estdiathermane que la tandis Parois mobiles cloisonP 2  estadiabatique (voir figure ci-contre). Les I 0 compartiments (1), (2) et (3) contiennent chacun une mole de gaz parfait diatomique. Un générateur électrique fournit de l'énergie au gaz par l'intermédiaire d'un résistor de R 0  (3)(1) (2) résistance R 0 , de capacité thermique négligeable, parcouru par un courant constant d'intensité I 0 pendant une duréeτ. Dans l'état initial, les gaz sont à la même température T 0 et à P 1 P 2 la même pression p 0 . Ils occupent alors chacun le même volume V 0 . On désigne par R la constante des gaz parfaits et par γ = c p  rapport des capacités le c V thermiques massiques à pression constante c p  à volume constant c et V . On fait passer un courant suffisamment faible pour que le système évolue lentement. On arrête le chauffage lorsque la température du compartiment (3) est T 3f =aT 0 avec a > 1. Calculer la pression finale p f en fonction de p 0 , a etγ. a) p f =p 0 a γ/(γ −1) b) p f =p 0 a γ/(1− γ ) c) p f =p 0 a (γ −1)/γ d) p f =p 0 a γ 

30.Calculer le volume V 3f gaz dans le compartiment (3) en fonction de Vdu 0 , a etγ. a) V 3f =V 0 a ( 1 −γ ) b) V 3f =V 0 a −1 /γ c) V 3f =V 0 a −γ d) V 3f =V 0 a 1 / ( 1 −γ ) 

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31.Exprimer le volume final V 1f gaz dans le compartiment (1) en fonction de Vdu 0 , a etγ. a) V 1f = 2 V 0 3−a (1−γ ) b) V 1f = 2 V 0 3−a −γ  0−1 / c) V 1f = 2 V 0 3−a 1 /(1−γ ) d)V 1f =3 V 2 −a γ 

32.En déduire la température finale T 1f du gaz dans le compartiment (1) en fonction de T 0 , a etγ. a) T 1f = T 2 0 a γ 3−a −1 /(γ −1) b) T 1f = T 2 0 a γ/(γ −1) 3+a 1 /(γ −1)  c) T 1f = 2 T 0 a γ 3−a −1 /γ d) T 1f = T 2 0 a γ/(γ −1) 3−a 1 /(1−γ ) 

33.Calculer le travail W g fourni par le générateur. a) W= R ( 1f + 3f −3T 0 ) g γ − 2 1 TTb) W g γ = R −1 (T 1f +T 3f +T 0 )  W= R ( 1f 3f T 0 )+ − c) W g γ = R −1 (T 1f −T 3f +T 0 )d) g γ − T3T3 1 2

34.Calculer la variation d'entropie∆S du système constitué par l'ensemble des gaz des trois compartiments. ∆ =    1f  +  ln   2V 1f   a) S R     γ 1 −1 nl  T T 0   V 0      b)∆S=2R γ     1 − n 1 l    T T 1f 0   +  ln    V V 1f 0         c)∆S=R     γ γ− ln 1    T T 1f   +  ln    V V 1f 0        d)∆S=2R     ln    T T 1f 0    +ln    V V 1 0 f         0

35.Calculer l'entropie totale S p  dans le système constitué par l'ensemble des gaz et du produite résistor.   a)  S p =0 b)  S p = ∆S c)  S p = −∆S d)S p =2R ln   T T f1 0   

36.L'objectif d'un microscope est constitué de deux miroirs sphériques M 1  M et 2  même centre O de (voir figure ci-contre). Le miroir M 1  estconcave et l'on désigne par R 1 =S 1 O la valeurqieuéthmitarde son rayon de courbure. Le miroir est percé d'une ouverture circulaire centrée sur son sommet S 1 . Le miroir M 2 de sommet S 2  est M 2 F convexeet R 2 =S 2  la valeurO représenteeuartimhtéqi i de son rayon de courbure. Il existe entre les valeursarith- O S 2 S 1 métiquesdes deux rayons la relation : R 2 = kR 1 avec k < 1. La lumière qui provient d'un objet se propage d'abord de gauche à droite, se réfléchit sur M 1  puis sur M 2  pour M 1 traverser enfin l'ouverture pratiquée dans M 1 . La dimension de M 2 est suffisamment petite pour que l'on puisse considérer que ce miroir n'occulte pratiquement pas les rayons lumineux provenant d'un objet placé devant lui. Un objet étendu est placé dans le plan de front passant par O. Trouver la position OA i  point A du i  conjugué de O par rapport à l'ensemble des deux miroirs. a) OA i =0b) OA i =R 2 c) OA i =R 1 d) OA i = (k+1)R 1  37.Quel est dans ce cas le grandissement transversal G t de ce système optique ? a)G t = 1b)G t =−1c)G t = 2d)G t =−2 38.On admettra que le système constitué par l'ensemble des deux miroirs est équivalent à une lentille mince L dont le centre optique est confondu avec le point O.

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